唐進(jìn)元，陳興明，羅才旺

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙，410083)

漸開線圓柱齒輪傳動(dòng)因其結(jié)構(gòu)緊湊、便于制造和維護(hù)以及傳動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用，在齒輪傳動(dòng)中，由于安裝誤差和彈性變形的影響，使齒面發(fā)生邊緣接觸和應(yīng)力集中，易造成齒面失效[1]。齒向修形能降低對(duì)安裝誤差的敏感度，減少齒頂嚙合沖擊及噪聲，改善齒輪軸向彎曲和扭轉(zhuǎn)變形而造成的載荷集中，使載荷沿齒向分布均勻，提高齒輪嚙合性能[2-6]。Alfonso等[7-8]研究了用齒條加工齒向修形斜齒輪的 TCA分析；Litvin等[9-12]研究了用砂輪加工齒向修形斜齒輪的TCA分析和接觸應(yīng)力分析。國內(nèi)相關(guān)研究主要集中在齒向修形量的確定及其實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析[1,13]，針對(duì)齒向修形齒輪接觸特性的TCA分析文獻(xiàn)還極為少見。本文作者從齒面接觸分析(TCA)的角度研究齒向修形，為節(jié)約制造成本，研究主動(dòng)輪小輪齒向修形，從動(dòng)輪大輪不修形的傳動(dòng)形式。首先根據(jù)齒輪鼓形修形原理，結(jié)合漸開線方程推導(dǎo)了鼓形齒輪的齒面方程；然后構(gòu)建存在安裝誤差的齒面接觸分析模型，對(duì)接觸點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值仿真分析，實(shí)現(xiàn)了鼓形修形齒輪的接觸軌跡的可視化，研究了鼓形修形參數(shù)及不同安裝誤差項(xiàng)對(duì)接觸軌跡的影響規(guī)律。

1 齒面方程推導(dǎo)

1.1 齒向鼓形修形小輪齒面方程

本文提出一種等半徑圓弧鼓形齒新齒面結(jié)構(gòu)，如圖1所示，圖1中虛線表示修形后的齒廓、實(shí)線表示修形前的齒廓，修形齒面由原來的漸開線上的任意點(diǎn)p沿著漸開線的法線方向齒面內(nèi)部偏移lp。圖2所示為修形小輪齒頂面投影圖。坐標(biāo)系統(tǒng)S1(x1, y1, z1)固定在小輪上，y1與相鄰兩齒槽的對(duì)稱線重合，z1與齒輪軸線重合，原點(diǎn) O1取在齒寬的中點(diǎn)位置，Δl為最大鼓形量，Rg為鼓形半徑，b為齒寬，Δw為鼓形中點(diǎn)與齒寬中間位置的偏差，當(dāng)Δw不為零時(shí)，齒面將是非對(duì)稱的鼓形，對(duì)于齒廓上的一點(diǎn) p，設(shè)其鼓形量為lz沿齒向的坐標(biāo)值z(mì)p，從圖2所示關(guān)系可以得到：

圖1 小輪鼓形修形Fig.1 Drum modification of pinion

圖2 修形小輪齒頂投影Fig.2 Tip projection of modified pinion

聯(lián)立式(1)和(2)得到齒廓上點(diǎn)p的鼓形量lp的表達(dá)式，當(dāng)齒寬b，最大鼓形量Δl和偏差Δw給定后，lp只是軸向參數(shù)u1的函數(shù)。

圖3所示為修形齒輪的齒向投影。圖中，η_η為修形前的漸開線齒廓；α_α 為修形后齒廓。η_η在S1中可以表示為：

圖3 小輪齒向投影Fig.3 Tooth projection of modified pinion

當(dāng) η_η 上任意點(diǎn) p沿著 n1負(fù)方向往 α_α 偏移 lp時(shí)，偏移量在x1和y1方向上滿足下列關(guān)系：

由于是齒向修形，所以齒寬方向的坐標(biāo)值z(mì)1與u1是一致，聯(lián)立式(3)和(4)得到修形后的齒面方程為：

小輪齒面單位法矢為：

其中：rb1為基圓半徑；rb1為分度圓半徑；u1為沿小輪齒向方向的齒面參數(shù)；θ1為漸開線參數(shù)；為齒槽參數(shù)； in vα= tanα- α 為漸開線函數(shù)；α為壓力角。

1.2 大輪齒面方程

如圖4所示，坐標(biāo)系S2(x2, y2, z2)固定在大輪上，y2與相鄰兩齒槽的對(duì)稱線重合，z2軸與大輪軸線重合且垂直齒面向外，由于大輪齒面是不修形的漸開線，容易得到其齒面方程：

圖4 大輪齒向投影Fig.4 Tooth projection of modified gear

單位法矢為：

2 含安裝誤差的輪齒接觸分析(TCA)模型與方法

2.1 輪齒接觸分析坐標(biāo)系的確定

經(jīng)過如下步驟建立鼓形小輪與標(biāo)準(zhǔn)大輪存在安裝誤差情況下的接觸坐標(biāo)系：

(1) 使用鼓形齒輪軸線與標(biāo)準(zhǔn)直齒輪軸線建立軸線平面；垂直平面為過鼓形齒輪軸線并垂直于軸線平面的平面。

(2) 以鼓形齒輪軸線中點(diǎn)為原點(diǎn)，鼓形齒輪軸線為z軸，軸線平面為坐標(biāo)系xz平面，建立絕對(duì)坐標(biāo)系σf(Of, xf, yf, zf)。

(3) 平移絕對(duì)坐標(biāo)系σf的原點(diǎn)Of到標(biāo)準(zhǔn)直齒輪軸線中點(diǎn)得到只有中心距偏差而無平行度偏差的標(biāo)準(zhǔn)直齒輪位置參考坐標(biāo)系再將坐標(biāo)系進(jìn)行偏轉(zhuǎn)(偏轉(zhuǎn)角度為軸平面內(nèi)垂直平面內(nèi)得到含有中心距與平行度偏差的標(biāo)準(zhǔn)直齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)參考坐標(biāo)系

由上述建立齒輪接觸坐標(biāo)系的過程可知接觸分析時(shí)鼓形齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系S1的z軸與絕對(duì)坐標(biāo)系σf的z軸重合，標(biāo)準(zhǔn)直齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系S2的z軸與坐標(biāo)系的z軸重合，如圖5所示。

結(jié)合前文的齒面方程與確立的接觸坐標(biāo)系系統(tǒng)，可以寫出在絕對(duì)坐標(biāo)系σf下，參與嚙合兩齒輪的齒面方程：鼓形小輪齒面方程和標(biāo)準(zhǔn)大輪輪齒面方程=C·(B ·r2)。r1和 r2分別為小輪和大輪在各自固聯(lián)坐標(biāo)系中的齒面方程；A和B分別為鼓形齒輪、標(biāo)準(zhǔn)直齒輪固聯(lián)坐標(biāo)系 S1和 S2到坐標(biāo)系σf和的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣；C為標(biāo)準(zhǔn)直齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)參考坐標(biāo)系到絕對(duì)坐標(biāo)系σf的轉(zhuǎn)換矩陣。

圖5 含安裝誤差的接觸分析坐標(biāo)系Fig.5 Contact analysis coordinates with alignment errors

其中：γ1和γ2分別為小輪和大輪的轉(zhuǎn)角；η和μ分別為軸平面內(nèi)及垂直平面內(nèi)兩齒輪軸線的平行度誤差；Δa 為中心距安裝誤差。

2.2 接觸軌跡求解

根據(jù)齒輪嚙合原理[14]，2個(gè)齒面和要能夠保持連續(xù)的切觸一定要滿足它們的位置矢量和單位法矢時(shí)刻相等：

3 算例及分析

根據(jù)上述分析，采用一對(duì)實(shí)際齒輪來研究安裝誤差及鼓形參數(shù)對(duì)鼓形修形齒輪接觸軌跡的影響規(guī)律。實(shí)例計(jì)算中使用的齒輪模數(shù) m=4，小輪齒數(shù) z1=17，齒寬b1=42 mm，大輪齒數(shù)z2=33，齒寬b2=42 mm，壓力角α=25°。

3.1 安裝誤差對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡的影響

取Δl=0.05 mm、Δw=0 mm，考慮到在工程實(shí)際中每種安裝誤差都可能存在，因此在研究不同安裝誤差項(xiàng)對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響時(shí)只變動(dòng)所要研究的安裝誤差，另外兩項(xiàng)安裝誤差為固定的非零值。具體的各項(xiàng)安裝誤差取值如表1所示。工況A為沒有安裝誤差的理想安裝，作為其他工況的參照；B，C和D 3種工況用來研究軸平面內(nèi)軸線平行度誤差對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響；E，F(xiàn)和G 3種工況用來研究垂直平面內(nèi)軸線平行度誤差對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響；H，I和J 3種工況用來研究中心距誤差對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響，求得的接觸軌跡如圖6～8所示。

表1 安裝誤差取值表Table 1 Table of alignment errors values

圖7 垂直平面內(nèi)平行度對(duì)接觸軌跡的影響Fig.7 Effect of vertical plane parallel to contact path

圖8 中心距偏差對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡的影響Fig.8 Effect of center distance deviation to contact path of drum gear

由圖6可見：無安裝誤差時(shí)齒輪的接觸軌跡位于輪齒齒寬中間位置，隨著軸平面平行度誤差的增大接觸軌跡逐漸偏離了齒寬中間位置?？梢娸S平面內(nèi)軸線平行度偏差的增加會(huì)使齒輪的接觸軌跡偏離齒寬中間位置的距離增大；但是接觸軌跡偏離增加的幅度有減少的趨勢；說明隨著軸平面內(nèi)軸線平行度偏差的增大，接觸軌跡對(duì)其敏感度在降低。

由圖7可知：隨著垂直平面內(nèi)軸線平行度偏差的增大，接觸軌跡偏離齒寬中點(diǎn)距離也相應(yīng)增大，并且發(fā)現(xiàn)各個(gè)接觸軌跡的間距基本不變，可見接觸軌跡對(duì)垂直平面內(nèi)軸線平行度偏差的敏感度基本上沒有變化。

由圖8可見：含安裝的誤差的鼓形修形齒輪接觸軌跡基本重合在一起，說明中心距誤差的變化對(duì)接觸軌跡位置基本沒有影響，這一點(diǎn)與未修形的標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪是一致的。

圖9 軸平面內(nèi)軸線平行度偏差與垂直平面內(nèi)軸線平行度偏差對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡影響的對(duì)比Fig.9 Contrast of effects of axial plane parallel and vertical plane parallel to contact path

采用無安裝誤差、軸平面內(nèi)平行度誤0.02 mm和垂直平面內(nèi)軸線平行度偏差0.01 mm 3種工況進(jìn)行對(duì)比，如圖9所示。由圖9觀察發(fā)現(xiàn)：垂直平面內(nèi)平行度軸線偏差0.01 mm工況使接觸軌跡偏離齒寬中心稍遠(yuǎn)。說明垂直平面內(nèi)平行度偏差對(duì)接觸軌跡的影響比軸平面內(nèi)軸線平行度偏差對(duì)接觸軌跡的影響要大得多，就計(jì)算的結(jié)果來看應(yīng)該在兩倍以上。

3.2 鼓形參數(shù)對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響

取安裝誤差Δa=0.02 mm，Δb=0.02 mm，Δc=0.01 mm，最大鼓形量Δl及Δw的取值如表2所示。工況K，L和M研究最大鼓形量對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響，工況N，P和Q研究鼓形中心與輪齒中心偏差Δw對(duì)鼓形齒接觸軌跡的影響。

表2 鼓形參數(shù)取值表Table 2 Table of drum parameters values

圖10所示為鼓形量對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡的影響。由圖10可見：隨著鼓形量的增大接觸軌跡逐步向輪齒中間位置靠近。但是鼓形量取0 mm與取0.04 mm時(shí)兩接觸軌跡之間間距要大于取0.04 mm與取0.08 mm時(shí)兩接觸軌跡之間間距，說明隨著最大鼓形量的增大鼓形齒接觸軌跡對(duì)其的敏感度在降低，所以只調(diào)節(jié)鼓形量的大小對(duì)控制鼓形齒接觸軌跡的作用是有限的。

圖10 鼓形量對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡的影響Fig.10 Effect of drum amount to drum gear contact path

圖 11所示為鼓形中點(diǎn)位置對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡的影響。由圖11可見：鼓形齒輪的接觸軌跡位置隨著Δw的變化在齒寬方向上移動(dòng)非常明顯。并且通過調(diào)整Δw的取值，可以使存在安裝誤差情況下的接觸軌跡與無安裝誤差時(shí)鼓形齒的接觸軌跡重合，說明可以通過調(diào)整鼓形中點(diǎn)的位置來控制接觸軌跡位置，這對(duì)于齒輪的高精度安裝和調(diào)整有著重要意義。

圖11鼓形中點(diǎn)位置對(duì)鼓形齒輪接觸軌跡的影響Fig.11 Effect of drum midpoint to contact path

3.3 實(shí)驗(yàn)分析

應(yīng)用商用有限元軟件 CATIA仿真分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證本文提出的修形方法的可行性。為方便進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采用實(shí)驗(yàn)室已有的齒輪箱的一對(duì)齒輪，對(duì)主動(dòng)輪進(jìn)行鼓形修形，從動(dòng)輪不修形，各項(xiàng)修形參數(shù)和安裝誤差如表3所示。

表3 鼓形參數(shù)與安裝誤差取值表Table 3 Table of drum parameter and alignment errors values

將主動(dòng)輪修形的齒輪對(duì)安裝到中心距可調(diào)的齒輪箱中，如圖12所示。調(diào)節(jié)齒輪安裝誤差為軸平面(由兩相嚙合齒輪軸所決定的平面)內(nèi)的平行度誤差，在相嚙合齒輪齒面涂上紅丹粉，讓齒輪對(duì)在輕載條件下(負(fù)載為磁粉制動(dòng)器)進(jìn)行嚙合傳動(dòng)，一段時(shí)間后得到齒面接觸印痕如圖13所示。

圖12 加載接觸分析實(shí)驗(yàn)裝置Fig.12 Loaded contact analysis experiment device

圖13 接觸印痕Fig.13 Contact prints

按前面所述的方法，建立有安裝誤差、含齒向修形的齒面方程，進(jìn)行嚙合接觸分析，把得到的離散點(diǎn)導(dǎo)入到 CATIA中建立齒輪接觸可視化模型如圖 14所示。

圖14 加載接觸分析接觸軌跡Fig.14 Contact path of loaded contact analysis

將圖13與圖14進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)：齒輪對(duì)滾的接觸印痕與加載接觸分析的接觸印痕在位置上基本相符的，說明本文給出的理論方法是正確的。

4 結(jié)論

(1) 齒輪中心距誤差對(duì)鼓形齒接觸軌跡的偏移基本上沒有影響；軸平面內(nèi)及垂直平面內(nèi)平行度誤差都會(huì)使鼓形齒的接觸軌跡產(chǎn)生偏移。

(2) 垂直平面軸線的平行度誤差對(duì)接觸軌跡的影響較軸平面內(nèi)平行度誤差要大得多。

(3) 在相同的安裝誤差下，隨著鼓形量增大，接觸軌跡逐漸向齒輪齒寬中間位置靠近，但是它對(duì)鼓形量的敏感度逐步降低，說明只利用鼓形量對(duì)鼓形齒接觸軌跡的控制作用是有限的。

(4) 鼓形中點(diǎn)的位置將直接影響鼓形齒的接觸軌跡的位置。故在生產(chǎn)實(shí)踐中可以通過調(diào)整鼓形中點(diǎn)的位置來精確控制接觸軌跡的位置，使接觸軌跡處于最佳位置，這是本文提出的等半徑圓弧鼓形修形齒面的優(yōu)點(diǎn)之一。

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