龔志強(qiáng)，羅勇鋒, ，賀夢冬

(1. 中南林業(yè)科技大學(xué) 數(shù)學(xué)物理研究所，湖南 長沙，410004；2. 中南大學(xué) 粉末冶金研究院，湖南 長沙，410083)

近年來，人們深入研究了低維體系中電子的輸運(yùn)性質(zhì)[1-2]。低維體系中與電子的輸運(yùn)性質(zhì)相類似的熱輸運(yùn)性質(zhì)也受到越來越多研究者的關(guān)注。當(dāng)溫度趨近于 0 K時(shí)彈性聲子熱導(dǎo)應(yīng)該是量子化的，其值為(其中，kB為玻爾茲曼常數(shù)，h為普朗克常數(shù)，T為熱力學(xué)溫度)，且該值與一維量子線的幾何細(xì)節(jié)無關(guān)。若低維量子結(jié)構(gòu)的特征尺寸小于聲子的平均自由程，則聲子被一支支離散的振動(dòng)模所輸運(yùn)，量子器件的結(jié)構(gòu)以及尺寸對(duì)聲子輸運(yùn)和熱導(dǎo)起了至關(guān)重要的作用。為了深入理解聲子輸運(yùn)以及熱導(dǎo)在低維體系中的特點(diǎn)，很多研究者研究了各種具有不光滑連接[5-9]、粗糙表面[10]、結(jié)構(gòu)缺陷[11]和凸凹結(jié)構(gòu)[12-15]的納米結(jié)構(gòu)以及硅納米線[16]、石墨帶[17-20]、碳納米管[21-22]和一維鏈[23]熱輸運(yùn)性質(zhì)。在極低溫度下，聲子輸運(yùn)與熱導(dǎo)由6支最低的振動(dòng)模(包括4支聲學(xué)模(即膨脹模、扭轉(zhuǎn)模、2支彎曲模)和2支光學(xué)模(或2支剪切模))提供。由于計(jì)算模擬困難，大多數(shù)研究者集中對(duì)二維結(jié)構(gòu)的SH波和一維結(jié)構(gòu)的膨脹波進(jìn)行研究，對(duì)其他5支振動(dòng)模的研究較少。Rego等[3]研究了各種量子結(jié)構(gòu)中最低膨脹模的輸運(yùn)性質(zhì)與熱導(dǎo)的特點(diǎn)；Tanaka等[24]進(jìn)一步研究了 6支最低的振動(dòng)模在catenoidal形納米結(jié)構(gòu)中的熱輸運(yùn)特點(diǎn)；Peng等[25]修正了最低的膨脹模與扭轉(zhuǎn)模在一維量子體系中的色散關(guān)系。研究結(jié)果表明：最低的4支聲學(xué)模的截止頻率應(yīng)為0 Hz，且與結(jié)構(gòu)的幾何外形無關(guān)。在此，本文作者研究含非均勻散射結(jié)構(gòu)的量子線中6支最低彈性聲子模的輸運(yùn)系數(shù)與熱導(dǎo)性質(zhì)，比較由最低6支振動(dòng)模所提供的熱輸運(yùn)性質(zhì)的不同特點(diǎn)。

1 理論模型和公式

非均勻結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，其材料設(shè)為GaAs,彈性模量和密度 ρ分別為 12×1010N/m2和 5.317 6 t/m3。區(qū)域Ⅰ是溫度為T1的熱庫，區(qū)域Ⅲ是溫度為T2的熱庫；區(qū)域Ⅱ是聲子的散射區(qū)域。假設(shè)溫度差 δT很小(δT=T1-T2＞0), 在計(jì)算中可以用平均溫度 T(即(T1+ T2)/2)代替區(qū)域Ⅰ，Ⅱ和Ⅲ中的溫度。在彈性散射近似下，熱導(dǎo)表達(dá)式可以寫成：

其中：τm(ω)為熱庫Ⅰ的第m支模經(jīng)過區(qū)域Ⅱ后進(jìn)入熱庫Ⅲ的透射系數(shù)；ωm為第m支模的截止頻率；。計(jì)算熱導(dǎo)的中心問題是計(jì)算聲子的輸運(yùn)系數(shù)6支最低振動(dòng)模的運(yùn)動(dòng)控制方程以及對(duì)應(yīng)的色散關(guān)系如下。

圖1 非均勻結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Diagram of uneven structure

1.1 膨脹模

膨脹模的運(yùn)動(dòng)控制方程為：

式(3)表明：最低膨脹模的截止頻率與散射區(qū)域的形狀無關(guān)且總為0 Hz，是聲學(xué)模。

1.2 扭轉(zhuǎn)模

扭轉(zhuǎn)模的運(yùn)動(dòng)控制方程為：

其中：C為一維量子線中位置x處的扭轉(zhuǎn)剛度；?θ/?x為由于沿一維量子線方向溫度變化引起的角位移梯度；I(x)為量子線中位置x處扭轉(zhuǎn)力矩。假設(shè)角位移為平面波，將平面波代入式(4)可得扭轉(zhuǎn)模的色散關(guān)系為：

式(5)表明：最低扭轉(zhuǎn)模的截止頻率為0 Hz與結(jié)構(gòu)無關(guān)，扭轉(zhuǎn)模為聲學(xué)模。

1.3 彎曲-剪切模

根據(jù)Timoshenko-Goofier原理，若不考慮重力的影響，一維量子線在z方向或者y方向相對(duì)中心平面的位移w(z)或者w(y)是剪切力與彎曲力矩的耦合引起的?？紤]到剪切模與彎曲模的耦合作用，w(z)或者w(y)相對(duì) x的斜率 ?w ( z)/?x 或者 ?w ( y)/?x 由彎曲影響對(duì)應(yīng)的位移ψ和剪切影響引起的位移γ組成。據(jù)Timoshenko-beam原理，在y方向的運(yùn)動(dòng)控制方程可寫成：

其中：G為剪切系數(shù)；κ為調(diào)整系數(shù)，與橫截面的形狀有關(guān)，若橫截面為矩形，則調(diào)整系數(shù)為0.833。假設(shè)w(y)和ψ(y)為平面波，其值分別為：

將式(8)和(9)代入式(6)和(7)，可得平面波的振幅比率為：

解方程(6)，(7)和(10)，可得方程的色散關(guān)系為：

其中：k(y)-是y方向的截止頻率為0 Hz時(shí)的聲學(xué)彎曲模式；k(y)+是y方向的截止頻率為的剪切模式；I(x,y)為 y方向的力矩慣量，其值為

類似地，可以求得z方向彎曲-剪切模的運(yùn)動(dòng)控制方程。z方向的力矩慣量為量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)x坐標(biāo)處的橫向?qū)挾取?/p>

為了求得每支振動(dòng)模通過非均勻散射區(qū)域的輸運(yùn)系數(shù)，將非均勻散射區(qū)域沿x方向分成很多具有相同橫截面的小矩形，根據(jù)位移ψ和應(yīng)力在各界面處連續(xù)的邊界條件，利用散射矩陣方法即可求出膨脹模輸運(yùn)系數(shù)。類似地，根據(jù)角位移和扭矩在各界面處連續(xù)的邊界條件求出扭轉(zhuǎn)模輸運(yùn)系數(shù)。根據(jù)相對(duì)量子線中心平面的橫向位移、剪切應(yīng)力、角位移、彎曲力矩在界面處連續(xù)的條件，可求出彎曲-剪切模的輸運(yùn)系數(shù)。

2 數(shù)值結(jié)果和分析

圖2所示為6支最低振動(dòng)模的輸運(yùn)系數(shù)隨頻率的變化關(guān)系。從圖2(a)～2(d)可見：對(duì)于理想的量子線，由于不存在不均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射影響，6支最低彈性聲子模的輸運(yùn)概率總為 1；當(dāng)ω→0時(shí)，即使存在非均勻散射結(jié)構(gòu)，4支最低聲學(xué)模輸運(yùn)概率也都趨于 1。這是由于這些低頻聲學(xué)聲子的波長遠(yuǎn)大于非均勻散射結(jié)構(gòu)的尺寸，結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射非常小，聲子可以在散射區(qū)域中自由輸運(yùn)。隨著非均勻散射結(jié)構(gòu)半徑的增加，非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射也隨著增強(qiáng)，同時(shí)，散射聲子與入射聲子相互作用，導(dǎo)致聲子的輸運(yùn)曲線呈現(xiàn)不規(guī)則的峰-谷結(jié)構(gòu)，透射曲線振蕩越來越嚴(yán)重。比較4支最低聲學(xué)聲子的透射譜發(fā)現(xiàn)：在低頻區(qū)域，非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)扭轉(zhuǎn)模的散射較強(qiáng)；隨著入射聲子頻率的增加，非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)壓縮模以及y方向的彎曲聲學(xué)模的散射較強(qiáng)。數(shù)值模擬結(jié)果表明：y方向的彎曲-剪切模的輸運(yùn)系數(shù)與散射區(qū)域非均勻散射結(jié)構(gòu)聯(lián)系緊密，非均勻散射結(jié)構(gòu)的散射導(dǎo)致這些聲子的透射譜出現(xiàn)劇烈振蕩行為；而z方向的彎曲-剪切模的透射譜受結(jié)構(gòu)的影響很小且接近于1。這是由于研究的量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)在 z方向是一致厚度，而 y方向結(jié)構(gòu)外形為非均勻散射結(jié)構(gòu)。從圖2(e)～2(f)可見：2支光學(xué)模的透射譜存在不一致的大于0 Hz的截止頻率。這是由于 y與 z方向的光學(xué)模分別存在與的截止頻率，而y方向的光學(xué)模的截止頻率小于z方向光學(xué)模的截止頻率，從而導(dǎo)致這 2支光學(xué)模的透射譜的起振頻率不一致。

圖2 膨脹模、扭轉(zhuǎn)模、y方向聲學(xué)彎曲模和z方向聲學(xué)彎曲模、y方向剪切模和z方向剪切模的輸運(yùn)概率隨頻率的變化Fig.2 Relationship among transmission and ω corresponding to dilatational mode, torsional mode, acoustic-flexural mode in y direction and acoustic-flexural mode in z direction

圖3 約化熱導(dǎo)隨溫度的變化關(guān)系Fig.3 Relationship between thermal conductance and temperature

圖4 聲學(xué)彎曲模的約化熱導(dǎo)隨溫度的變化Fig.4 Relationship between acoustic-flexural mode and temperature

為了進(jìn)一步研究低溫下4支最低聲學(xué)模對(duì)熱導(dǎo)的貢獻(xiàn)，研究了4支聲學(xué)單模的熱導(dǎo)隨溫度的變化，結(jié)果如圖4所示。從圖4(a)和4(d)可以看出：對(duì)于壓縮模與z方向的聲學(xué)彎曲模，不管波導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)量級(jí)是微米級(jí)還納米級(jí)，當(dāng)溫度趨近于0 K時(shí)，都存在數(shù)值為 4 π2T /(3h)的量子化熱導(dǎo)平臺(tái)；而隨著溫度的增大，高頻聲學(xué)聲子被激發(fā)，由于非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)高頻聲學(xué)聲子的散射不能忽略，導(dǎo)致聲子熱導(dǎo)平臺(tái)被破壞，被下降的熱導(dǎo)曲線所代替；隨著波導(dǎo)結(jié)構(gòu)數(shù)量級(jí)從微米級(jí)向納米級(jí)發(fā)展，非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射減弱，導(dǎo)致量子化熱導(dǎo)平臺(tái)增長。從圖4(b)和4(c)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的數(shù)量級(jí)在微米級(jí)時(shí)，對(duì)于扭轉(zhuǎn)模與y方向的聲學(xué)彎曲模，即使溫度下降到10-4K，也不能觀察到量子熱導(dǎo)現(xiàn)象。要觀察到量子熱導(dǎo)現(xiàn)象，需要更低的溫度。而隨著隨著波導(dǎo)結(jié)構(gòu)尺寸數(shù)量級(jí)從微米級(jí)過渡到納米級(jí)，當(dāng)溫度趨近于0 K時(shí)，這2種模式在溫度較低時(shí)能觀察到量子化熱導(dǎo)現(xiàn)象。這些研究表明：在低溫下，當(dāng)熱導(dǎo)為4倍量子化熱導(dǎo)的出現(xiàn)與結(jié)構(gòu)尺寸的數(shù)量級(jí)密切相關(guān)；當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸的數(shù)量級(jí)從納米級(jí)向微米級(jí)發(fā)展時(shí)，4倍量子熱導(dǎo)平臺(tái)很難被觀察到。這主要是扭轉(zhuǎn)模與y方向的聲學(xué)彎曲模的熱導(dǎo)量子化難以實(shí)現(xiàn)的結(jié)果。

當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸為納米級(jí)時(shí)，約化熱導(dǎo)以及各單模熱導(dǎo)隨溫度T的變化關(guān)系如圖5所示。從圖5可見：對(duì)于理想的量子線，當(dāng)溫度趨近于0 K時(shí)，存在數(shù)值為4倍量子熱導(dǎo) 4 π2T /(3h)的理想量子平臺(tái)，這是由被激發(fā)的 4支最低聲學(xué)模各自提供熱導(dǎo)量子值π2T /(3h)的結(jié)果；隨著溫度的增大，2支剪切模被激發(fā)，總的熱導(dǎo)隨溫度的增加而單調(diào)增加。若理想量子線中存在量子點(diǎn)散射區(qū)域，則熱導(dǎo)平臺(tái)由于量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射而被破壞，被下降的熱導(dǎo)曲線所代替。由于結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射程度隨著量子點(diǎn)半徑的增大而增強(qiáng)，熱導(dǎo)曲線隨著量子點(diǎn)半徑的增加而下降得越嚴(yán)重。然而，當(dāng)溫度趨近于0 K時(shí)，熱導(dǎo)量子平臺(tái)仍然存在。這是由于長波長聲學(xué)聲子波長遠(yuǎn)大于納米結(jié)構(gòu)尺寸，結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射可以忽略。從圖 5(b)可見：單支聲學(xué)模的熱導(dǎo)隨著溫度的變化表現(xiàn)不同的熱導(dǎo)行為；扭轉(zhuǎn)模對(duì)量子點(diǎn)散射區(qū)域最敏感，熱導(dǎo)下降的幅度也最大，而z方向的聲學(xué)彎曲模由于一致厚度結(jié)構(gòu)對(duì)它散射很小而導(dǎo)致其熱導(dǎo)值接近量子熱導(dǎo)π2T /(3h)；當(dāng)溫度趨近0 K時(shí)，4支聲學(xué)模的熱導(dǎo)曲線存在4個(gè)理想的量子熱導(dǎo)平臺(tái)(其值為 π2T /(3h))。而對(duì)于剪切模，由于存在大于0 Hz的截止頻率，當(dāng)溫度趨近0 K時(shí)，熱導(dǎo)由于這2支剪切模沒有被激發(fā)而熱導(dǎo)為0 W/(m2·K)；隨著溫度的增加，剪切模被激發(fā)，熱導(dǎo)隨著溫度的增加而單調(diào)增加。由于存在不相等的截止頻率，導(dǎo)致2支剪切模的熱導(dǎo)激發(fā)溫度不一致，從而導(dǎo)致這2支剪切模的熱導(dǎo)曲線不重合。

圖5 約化熱導(dǎo)與各單模隨溫度的變化Fig.5 Relationship among thermal conductance, single thermal conductance and temperature

圖6 約化熱導(dǎo)和單模熱導(dǎo)隨半徑的變化Fig.6 Relationship among thermal conductance, single reduced thermal conductance and radius

在一定溫度下，約化熱導(dǎo)隨非均勻散射結(jié)構(gòu)半徑的變化關(guān)系如圖6所示。從圖6(a)可見：當(dāng)溫度很低時(shí)，約化熱導(dǎo)隨半徑的變化很小。這是由于在極低的溫度下僅僅長波長聲波被激發(fā)；隨著溫度的升高，更多波長較短的聲學(xué)波被激發(fā)，導(dǎo)致非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)聲子的散射增強(qiáng)，從而引起熱導(dǎo)隨半徑的變化更加明顯。從圖6(b)～6(d)可見：在不同溫度下，各支單模的熱導(dǎo)隨半徑的變化而變化；當(dāng)溫度很低且非均勻散射結(jié)構(gòu)半徑與波導(dǎo)結(jié)構(gòu)接近時(shí)，存在理想的量子熱導(dǎo)平臺(tái)；隨著結(jié)構(gòu)尺寸的增加，結(jié)構(gòu)尺寸對(duì)聲子的散射增強(qiáng)，熱導(dǎo)平臺(tái)被下降的熱導(dǎo)曲線所代替。從圖6(b)可見：低溫下扭轉(zhuǎn)模的熱導(dǎo)下降最快，這是由于當(dāng)溫度很低時(shí)，僅僅低頻聲學(xué)聲子被激發(fā)，而在4支聲學(xué)模中，結(jié)構(gòu)對(duì)低頻區(qū)域扭轉(zhuǎn)模的聲子散射最大。比較圖6(b)，6(c)和6(d)可見：隨著溫度的增加，壓縮模與y方向的彎曲聲學(xué)模對(duì)半徑的依賴更明顯。這是在高頻區(qū)域，非均勻散射結(jié)構(gòu)對(duì)這2支模的散射大于其他聲學(xué)模的散射所致。

3 結(jié)論

(1) 利用散射矩陣方法研究了低溫下與 6支最低彈性聲子模相關(guān)的輸運(yùn)概率與熱導(dǎo)性質(zhì)。當(dāng)入射聲子的頻率趨近于0 Hz時(shí)，4支最低的聲學(xué)聲子模的輸運(yùn)概率與結(jié)構(gòu)參數(shù)無關(guān)，且都接近于 1；而它們的高頻聲子與結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，且表現(xiàn)不同的輸運(yùn)性質(zhì)。

(2) 量子波導(dǎo)中低溫下熱導(dǎo)為 4 π2T /(3h)的4倍量子熱導(dǎo)平臺(tái)以及各聲學(xué)振動(dòng)模的熱導(dǎo)為π2T /(3h)量子熱導(dǎo)平臺(tái)與波導(dǎo)結(jié)構(gòu)數(shù)量級(jí)以及非均勻散射結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān)，各單模的熱導(dǎo)與結(jié)構(gòu)參數(shù)以及溫度密切相關(guān)且表現(xiàn)不同的熱導(dǎo)行為。

(3) 在低溫下，扭轉(zhuǎn)模的熱導(dǎo)受非均勻散射結(jié)構(gòu)影響最大；隨著溫度的增大，膨脹模與y方向彎曲聲學(xué)模的熱導(dǎo)受非均勻散射結(jié)構(gòu)影響最大。2支剪切模由于截至頻率大于0 Hz而導(dǎo)致熱導(dǎo)在溫度趨近于0 K時(shí)為0 W·m2/K；隨著溫度的增加，2支剪切模熱導(dǎo)單調(diào)增加。

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