井筒套管對井間電磁成像測井信號傳輸?shù)挠绊?/h1>
2012-07-30 06:49:30陳林如
電波科學(xué)學(xué)報(bào) 2012年4期
陸 洪 劉 菊 陳林如
（中國電波傳播研究所，山東 青島266107）
引 言
井間電磁成像測井［1－5］是近年來發(fā)展起來的一種通過測量井間傳播的電磁信號反演得到井間地層構(gòu)造、儲層和油、氣分布的二維乃至三維的電阻率分布的方法，它是傳統(tǒng)測井技術(shù)的重大發(fā)展。井間電磁成像測井是將低頻電磁發(fā)射和接收陣列裝置分別放置于2口已完鉆的井中，發(fā)射信號的頻率范圍為5～1 000Hz，井間距離一般小于1km，通過改變發(fā)射天線和接收陣列天線在井中的深度，獲得收發(fā)天線相對不同位置時(shí)，接收信號的幅度與相位的一系列測量值，然后根據(jù)這些測量數(shù)據(jù)，反演出井間地層導(dǎo)電率的空間分布。此種測井技術(shù)所用的發(fā)射天線一般采用繞制在坡莫合金做成的芯棒上的線圈，芯棒順井筒垂直放置，接收傳感器亦采用繞制在磁芯上的線圈，磁棒放置在垂直或水平方向接收磁場，由于測量距離遠(yuǎn)大于發(fā)射線圈與接收線圈的尺寸，故天線可理想化為磁偶極子。
很多鉆井完鉆后，為了防止坍塌，會加裝井筒套管，套管的材質(zhì)可能是鋼質(zhì)的，也可能是玻璃纖維的，加裝套管，特別是鋼質(zhì)套管后，套管會對發(fā)射天線起屏蔽作用，使接收信號大為減弱，本文試圖針對此問題定量地分析套管的材料、尺寸，以及測井工作頻率對接收信號的影響。
1 問題的物理模型
為了使研究的問題能用解析方法分析，以及突出井筒套管對信號傳輸?shù)挠绊懀疚膶⑺芯康奈锢韱栴}理想化為如圖1所示的模型。
圖1 井筒套管模型示意圖
其要點(diǎn)是：1）地層的電導(dǎo)率分布是均勻的；
2）井筒的套管是無限長圓柱形；
3）發(fā)射天線是位于井筒中央ρ＝0，
z＝0處的垂直磁偶極子。在此物理模型下，區(qū)域1是井筒中的泥漿層，電導(dǎo)率記為σ1，磁導(dǎo)率為μ0，區(qū)域2是套管管壁，電導(dǎo)率記為σ2，磁導(dǎo)率記為μr2μ0，最外層是均勻地層，電導(dǎo)率記為σ3，磁導(dǎo)率為.
在此模型下，由于地層的旋轉(zhuǎn)對稱性，各個(gè)區(qū)域的電磁場僅有Hρ、Hz和Eφ三個(gè)分量，且它們應(yīng)滿足麥克斯韋方程。取時(shí)諧因子為e－jωt，電磁場用磁赫茲矢量位 Πm表示［6］，令
則赫茲矢量位Πmi在各個(gè)區(qū)域應(yīng)滿足赫姆荷茲方程
式中：M＝I·S·N是激勵(lì)源的有效磁矩；S是線圈的面積；N為線圈有匝數(shù)；ki為電磁波在第i區(qū)中的傳播波數(shù)，可以表示為
2 各個(gè)區(qū)域電磁場的解析表達(dá)式
在圖1所示的物理模型下，由于方位的對稱性，可以判斷在各個(gè)區(qū)域，Πmi應(yīng)僅有一個(gè)z分量，且它對方位φ是對稱的。故可知，在此坐標(biāo)下，電場和磁場可分別表示為
將拉氏算子▽2在柱坐標(biāo)下展開，考慮到位函數(shù)對方位的對稱性，式（2）可改寫為
在區(qū)域2和3中，并沒有場源，式（5）的右端應(yīng)為0.令Πiz＝Z（z）Fi（ρ），代入式（5）分離變量后可得
式（6）中的解可取為e±jλz，因?yàn)镋iφ在各個(gè)區(qū)域的分界面上應(yīng)連續(xù)，故位函數(shù)對z的變化應(yīng)同步，故三個(gè)區(qū)域內(nèi)位函數(shù)對z的變化都取一組?？紤]到在區(qū)域1內(nèi)，場源位于z＝0處，故在z＝0處，式（6）的右端應(yīng)出現(xiàn)奇點(diǎn)，故可取
式（7）是典型的零階貝塞爾方程，它的解應(yīng)是圓柱函數(shù)。在區(qū)域3，ρ≥d，應(yīng)該只有從井筒中激勵(lì)場源產(chǎn)生的向外傳播的電磁場，故應(yīng)取
在區(qū)域2中，a≤ρ≤d，應(yīng)同時(shí)有向外和向內(nèi)傳播的二個(gè)波，故可取
區(qū)域1包含場源，當(dāng)觀察點(diǎn)無限接近場源，套管及井筒外的介質(zhì)對觀察點(diǎn)的場應(yīng)沒有多大影響，此時(shí)位函數(shù)應(yīng)接近于全部介質(zhì)參數(shù)都與區(qū)域1中參數(shù)一樣的均勻空間中的位函數(shù)。而均勻空間中磁偶極子產(chǎn)生的位函數(shù)已知為
當(dāng)實(shí)際存在管壁和周圍不同介質(zhì)時(shí)，井筒內(nèi)的電磁場除了場源產(chǎn)生的向外輻射場外，還應(yīng)有由反射產(chǎn)生的局部場，故應(yīng)取
由此，三個(gè)區(qū)域的電磁場位函數(shù)分別表示為
由此得出在各個(gè)區(qū)域的電場分量可表示為
由分界面上Eφ和Hz的連續(xù)性可得
由式（27）和式（29）可解得
式中
將式（30）和（31）代入式（26）和（28）可解得
式中
特別地當(dāng)套管不存在，即區(qū)域2的媒質(zhì)參數(shù)與區(qū)域3完全一樣，即γ2＝γ3，μr2＝1，此時(shí)可看出，KA＝1，KB＝0.
3 套管外面場的分析討論
井筒外面場的解析表達(dá)式已求出，由于地層是有耗介質(zhì)，這些積分表達(dá)式實(shí)際上收斂都較快，可以用數(shù)值積分方法算出，在數(shù)值積分前還可做一些簡化。首先因γi是λ的偶函數(shù)，且當(dāng)λ是實(shí)數(shù)時(shí)，0≤argγi＜π／2，即在第一象限。故式（19）、（22）、（25）可分別改寫為
由于井筒一般較細(xì)，接收Eφ分量的電極無法放置在井筒內(nèi)，實(shí)際中多選擇接收Hz分量。以下計(jì)算中，如無特別說明，激勵(lì)源的磁矩取M＝1 A·m2，接收天線位置z＝0m，井筒內(nèi)一般填充有泥漿，電導(dǎo)率取σ1＝0.1S／m，地層電導(dǎo)率取σ3＝0.01S／m，取套管外半徑d＝0.1m.
3.1 套管壁厚的影響
假設(shè)套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，μr2＝2 000.圖2為頻率10Hz，管壁厚度不同時(shí)，Hz的幅度與相位隨距離的變化。
從圖2可以看出管壁越厚，場強(qiáng)的衰減越大，管壁厚度每增加5mm，Hz的幅值大約減小27.03 dB，比平面波通過厚度為5mm的均勻介質(zhì)的衰減e－0.005α2（－27.3dB）略??；在鋼制介質(zhì)中10Hz電波的波長為10mm，即管壁厚度每增加5mm，電波的相位變化180度，從圖2（b）可以看出情況正是如此。
3.2 套管材質(zhì)的影響
圖3為套管材質(zhì)不同時(shí)，Hz的幅度隨距離的變化曲線，玻璃鋼的電導(dǎo)率為10－4S／m，相對磁導(dǎo)率取1，鋁的電導(dǎo)率為3.5×107S／m，相對磁導(dǎo)率也為1，裸井時(shí)，即認(rèn)為σ2＝σ3＝0.01S／m，μr2＝μr3＝1.
從圖3可以看出，套管為玻璃鋼與裸井差異不大，信號幾乎無衰減地通過，鋁的屏蔽效果比鋼小，比玻璃鋼大。即在信號頻率相同的情況下，套管對信號的屏蔽取決于套管的電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率。
3.3 工作頻率不同時(shí)場的分布
假設(shè)套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，相對磁導(dǎo)率μr＝2 000.圖4為工作頻率不同時(shí)，Hz的幅度隨距離的變化。
假設(shè)套管是玻璃鋼的，取σ2＝10－4S／m，相對導(dǎo)磁率μr＝1.圖5為工作頻率不同時(shí)，Hz隨距離的變化。
從圖4和圖5可以看出有鋼制套管時(shí)，頻率高吸收大，裸井或玻璃鋼管在400m范圍內(nèi)，因?yàn)槭墙鼌^(qū)準(zhǔn)靜場，即k3ρ≤1，場的幅度與頻率無關(guān)。
4.4 地層電導(dǎo)率
假設(shè)套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，相對磁導(dǎo)率μr＝2 000.圖6為頻率10Hz，地層電導(dǎo)率σ3不同時(shí)，Hz隨距離的變化。
圖6 套管鋼制，地層電導(dǎo)率不同時(shí)Hz隨距離的變化
從圖6可以看出，隨著地層電導(dǎo)率的增大，Hz的幅度增大，但地層電導(dǎo)率在0.001～0.2S／m變化，距離在500m范圍內(nèi)幅度的差異不是很明顯；相位與地層的電導(dǎo)率密切相關(guān)，可通過幅度與相位的總體變化，確定地層的電導(dǎo)率。
4 結(jié) 論
將發(fā)射天線看作位于無限長圓柱形井筒套管中央的垂直磁偶極子，建立了井間電磁成像測井信號傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?，井筒套管?nèi)外是分布均勻的柱狀介質(zhì)，把電磁場用磁赫茲矢量位表示，推導(dǎo)了各個(gè)區(qū)域的電磁場積分表達(dá)式。最后用數(shù)值積分計(jì)算了不同情況下的電磁場分布，分析了套管電導(dǎo)率、厚度及測井工作頻率對測井信號幅度與相位的影響。得出以下結(jié)論：
1）套管對測井信號的屏蔽效果取決于套管材質(zhì)的電導(dǎo)率與磁導(dǎo)率，應(yīng)盡量選擇二者都小的材料，如玻璃鋼；
2）井筒套管壁厚的增加會增加對信號的屏蔽作用；
3）鐵磁性材料套管對高頻信號的衰減較大；
4）可從接收信號的幅度和相位中提取出地層的電導(dǎo)率信息。
［1］宋汐瑾，黨瑞榮，董 昭.套管井電磁測井技術(shù)及套管影響規(guī)律研究［J］.測井技術(shù)，2010，34（2）：143－145.SONG Xijin，DANG Reirong，DONG Zhao.On Electromagnetic logging technology in cased hole and its casing influence［J］.Well Logging Technology，2010，34（2）：143－145.（in Chinese）
［2］曾文沖，趙文杰，臧德福.井間電磁成像系統(tǒng)應(yīng)用研究［J］.地球物理學(xué)報(bào)，2001，44（3）：411－422.ZENG Wenchong，ZHAO Wenjie，ZANG Defu.Application research of crosshole electromagnetic tomography［J］.Chinese Jounal of Geophysics，2001，44（3）：411－422.（in Chinese）
［3］楊 陽，黨瑞榮，宋汐瑾，等.基于套管井中電磁測井響應(yīng)的研究［J］.石油儀器，2009，23（5）：1－3.YANG Yang，DANG Ruirong，SONG Xijin，etc.Research on the electromagnetic logging responses in the cased hole［J］.Petroleum Instruments，2009，23（5）：1－3.（in Chinese）
［4］張 旗，楊善德.井間電磁成像技術(shù)中磁場振幅和相位的響應(yīng)函數(shù)分析［J］.吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009（2）：6－8.ZHANG Qi，YANG Shande.Detecting sensitivity and response functions analysis of crosswell electromagnetic tomography［J］.Journal of Jilin Normal University：Natural Science Edition，2009（2）：6－8.（in Chinese）
［5］梁秋錦，魏寶君.井間電磁成像方法的最新進(jìn)展［J］.油氣地質(zhì)與采收率，2002，9（3）：63－66.LIANG Qiujin，Wei Baojun.Recent progress on crosshole electromagnetic imaging methods［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2002，9（3）：63－66.（in Chinese）
［6］潘威炎.長波超長波極長波傳播［M］.西安：電子科技大學(xué)出版社，2004.
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引 言
井間電磁成像測井［1－5］是近年來發(fā)展起來的一種通過測量井間傳播的電磁信號反演得到井間地層構(gòu)造、儲層和油、氣分布的二維乃至三維的電阻率分布的方法，它是傳統(tǒng)測井技術(shù)的重大發(fā)展。井間電磁成像測井是將低頻電磁發(fā)射和接收陣列裝置分別放置于2口已完鉆的井中，發(fā)射信號的頻率范圍為5～1 000Hz，井間距離一般小于1km，通過改變發(fā)射天線和接收陣列天線在井中的深度，獲得收發(fā)天線相對不同位置時(shí)，接收信號的幅度與相位的一系列測量值，然后根據(jù)這些測量數(shù)據(jù)，反演出井間地層導(dǎo)電率的空間分布。此種測井技術(shù)所用的發(fā)射天線一般采用繞制在坡莫合金做成的芯棒上的線圈，芯棒順井筒垂直放置，接收傳感器亦采用繞制在磁芯上的線圈，磁棒放置在垂直或水平方向接收磁場，由于測量距離遠(yuǎn)大于發(fā)射線圈與接收線圈的尺寸，故天線可理想化為磁偶極子。
很多鉆井完鉆后，為了防止坍塌，會加裝井筒套管，套管的材質(zhì)可能是鋼質(zhì)的，也可能是玻璃纖維的，加裝套管，特別是鋼質(zhì)套管后，套管會對發(fā)射天線起屏蔽作用，使接收信號大為減弱，本文試圖針對此問題定量地分析套管的材料、尺寸，以及測井工作頻率對接收信號的影響。
1 問題的物理模型
為了使研究的問題能用解析方法分析，以及突出井筒套管對信號傳輸?shù)挠绊懀疚膶⑺芯康奈锢韱栴}理想化為如圖1所示的模型。
圖1 井筒套管模型示意圖
其要點(diǎn)是：1）地層的電導(dǎo)率分布是均勻的；
2）井筒的套管是無限長圓柱形；
3）發(fā)射天線是位于井筒中央ρ＝0，
z＝0處的垂直磁偶極子。在此物理模型下，區(qū)域1是井筒中的泥漿層，電導(dǎo)率記為σ1，磁導(dǎo)率為μ0，區(qū)域2是套管管壁，電導(dǎo)率記為σ2，磁導(dǎo)率記為μr2μ0，最外層是均勻地層，電導(dǎo)率記為σ3，磁導(dǎo)率為.
在此模型下，由于地層的旋轉(zhuǎn)對稱性，各個(gè)區(qū)域的電磁場僅有Hρ、Hz和Eφ三個(gè)分量，且它們應(yīng)滿足麥克斯韋方程。取時(shí)諧因子為e－jωt，電磁場用磁赫茲矢量位 Πm表示［6］，令
則赫茲矢量位Πmi在各個(gè)區(qū)域應(yīng)滿足赫姆荷茲方程
式中：M＝I·S·N是激勵(lì)源的有效磁矩；S是線圈的面積；N為線圈有匝數(shù)；ki為電磁波在第i區(qū)中的傳播波數(shù)，可以表示為
2 各個(gè)區(qū)域電磁場的解析表達(dá)式
在圖1所示的物理模型下，由于方位的對稱性，可以判斷在各個(gè)區(qū)域，Πmi應(yīng)僅有一個(gè)z分量，且它對方位φ是對稱的。故可知，在此坐標(biāo)下，電場和磁場可分別表示為
將拉氏算子▽2在柱坐標(biāo)下展開，考慮到位函數(shù)對方位的對稱性，式（2）可改寫為
在區(qū)域2和3中，并沒有場源，式（5）的右端應(yīng)為0.令Πiz＝Z（z）Fi（ρ），代入式（5）分離變量后可得
式（6）中的解可取為e±jλz，因?yàn)镋iφ在各個(gè)區(qū)域的分界面上應(yīng)連續(xù)，故位函數(shù)對z的變化應(yīng)同步，故三個(gè)區(qū)域內(nèi)位函數(shù)對z的變化都取一組?？紤]到在區(qū)域1內(nèi)，場源位于z＝0處，故在z＝0處，式（6）的右端應(yīng)出現(xiàn)奇點(diǎn)，故可取
式（7）是典型的零階貝塞爾方程，它的解應(yīng)是圓柱函數(shù)。在區(qū)域3，ρ≥d，應(yīng)該只有從井筒中激勵(lì)場源產(chǎn)生的向外傳播的電磁場，故應(yīng)取
在區(qū)域2中，a≤ρ≤d，應(yīng)同時(shí)有向外和向內(nèi)傳播的二個(gè)波，故可取
區(qū)域1包含場源，當(dāng)觀察點(diǎn)無限接近場源，套管及井筒外的介質(zhì)對觀察點(diǎn)的場應(yīng)沒有多大影響，此時(shí)位函數(shù)應(yīng)接近于全部介質(zhì)參數(shù)都與區(qū)域1中參數(shù)一樣的均勻空間中的位函數(shù)。而均勻空間中磁偶極子產(chǎn)生的位函數(shù)已知為
當(dāng)實(shí)際存在管壁和周圍不同介質(zhì)時(shí)，井筒內(nèi)的電磁場除了場源產(chǎn)生的向外輻射場外，還應(yīng)有由反射產(chǎn)生的局部場，故應(yīng)取
由此，三個(gè)區(qū)域的電磁場位函數(shù)分別表示為
由此得出在各個(gè)區(qū)域的電場分量可表示為
由分界面上Eφ和Hz的連續(xù)性可得
由式（27）和式（29）可解得
式中
將式（30）和（31）代入式（26）和（28）可解得
式中
特別地當(dāng)套管不存在，即區(qū)域2的媒質(zhì)參數(shù)與區(qū)域3完全一樣，即γ2＝γ3，μr2＝1，此時(shí)可看出，KA＝1，KB＝0.
3 套管外面場的分析討論
井筒外面場的解析表達(dá)式已求出，由于地層是有耗介質(zhì)，這些積分表達(dá)式實(shí)際上收斂都較快，可以用數(shù)值積分方法算出，在數(shù)值積分前還可做一些簡化。首先因γi是λ的偶函數(shù)，且當(dāng)λ是實(shí)數(shù)時(shí)，0≤argγi＜π／2，即在第一象限。故式（19）、（22）、（25）可分別改寫為
由于井筒一般較細(xì)，接收Eφ分量的電極無法放置在井筒內(nèi)，實(shí)際中多選擇接收Hz分量。以下計(jì)算中，如無特別說明，激勵(lì)源的磁矩取M＝1 A·m2，接收天線位置z＝0m，井筒內(nèi)一般填充有泥漿，電導(dǎo)率取σ1＝0.1S／m，地層電導(dǎo)率取σ3＝0.01S／m，取套管外半徑d＝0.1m.
3.1 套管壁厚的影響
假設(shè)套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，μr2＝2 000.圖2為頻率10Hz，管壁厚度不同時(shí)，Hz的幅度與相位隨距離的變化。
從圖2可以看出管壁越厚，場強(qiáng)的衰減越大，管壁厚度每增加5mm，Hz的幅值大約減小27.03 dB，比平面波通過厚度為5mm的均勻介質(zhì)的衰減e－0.005α2（－27.3dB）略??；在鋼制介質(zhì)中10Hz電波的波長為10mm，即管壁厚度每增加5mm，電波的相位變化180度，從圖2（b）可以看出情況正是如此。
3.2 套管材質(zhì)的影響
圖3為套管材質(zhì)不同時(shí)，Hz的幅度隨距離的變化曲線，玻璃鋼的電導(dǎo)率為10－4S／m，相對磁導(dǎo)率取1，鋁的電導(dǎo)率為3.5×107S／m，相對磁導(dǎo)率也為1，裸井時(shí)，即認(rèn)為σ2＝σ3＝0.01S／m，μr2＝μr3＝1.
從圖3可以看出，套管為玻璃鋼與裸井差異不大，信號幾乎無衰減地通過，鋁的屏蔽效果比鋼小，比玻璃鋼大。即在信號頻率相同的情況下，套管對信號的屏蔽取決于套管的電導(dǎo)率和磁導(dǎo)率。
3.3 工作頻率不同時(shí)場的分布
假設(shè)套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，相對磁導(dǎo)率μr＝2 000.圖4為工作頻率不同時(shí)，Hz的幅度隨距離的變化。
假設(shè)套管是玻璃鋼的，取σ2＝10－4S／m，相對導(dǎo)磁率μr＝1.圖5為工作頻率不同時(shí)，Hz隨距離的變化。
從圖4和圖5可以看出有鋼制套管時(shí)，頻率高吸收大，裸井或玻璃鋼管在400m范圍內(nèi)，因?yàn)槭墙鼌^(qū)準(zhǔn)靜場，即k3ρ≤1，場的幅度與頻率無關(guān)。
4.4 地層電導(dǎo)率
假設(shè)套管是鋼制的，取σ2＝5×106S／m，相對磁導(dǎo)率μr＝2 000.圖6為頻率10Hz，地層電導(dǎo)率σ3不同時(shí)，Hz隨距離的變化。
圖6 套管鋼制，地層電導(dǎo)率不同時(shí)Hz隨距離的變化
從圖6可以看出，隨著地層電導(dǎo)率的增大，Hz的幅度增大，但地層電導(dǎo)率在0.001～0.2S／m變化，距離在500m范圍內(nèi)幅度的差異不是很明顯；相位與地層的電導(dǎo)率密切相關(guān)，可通過幅度與相位的總體變化，確定地層的電導(dǎo)率。
4 結(jié) 論
將發(fā)射天線看作位于無限長圓柱形井筒套管中央的垂直磁偶極子，建立了井間電磁成像測井信號傳輸?shù)娜龑幽Ｐ?，井筒套管?nèi)外是分布均勻的柱狀介質(zhì)，把電磁場用磁赫茲矢量位表示，推導(dǎo)了各個(gè)區(qū)域的電磁場積分表達(dá)式。最后用數(shù)值積分計(jì)算了不同情況下的電磁場分布，分析了套管電導(dǎo)率、厚度及測井工作頻率對測井信號幅度與相位的影響。得出以下結(jié)論：
1）套管對測井信號的屏蔽效果取決于套管材質(zhì)的電導(dǎo)率與磁導(dǎo)率，應(yīng)盡量選擇二者都小的材料，如玻璃鋼；
2）井筒套管壁厚的增加會增加對信號的屏蔽作用；
3）鐵磁性材料套管對高頻信號的衰減較大；
4）可從接收信號的幅度和相位中提取出地層的電導(dǎo)率信息。
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