黃 瑜，徐承龍

（1.同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092；2.南京信息工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 南京210044；3.上海市科學(xué)計算E－研究院及上海市科學(xué)計算重點實驗室，上海200234）

近年來無界或半無界區(qū)域上的譜方法越來越受到廣大的關(guān)注.這主要是因為譜方法的高精度和無需強加人工邊界條件等優(yōu)點.對于無界區(qū)域上的問題，Guo和 Xu［1］考慮了權(quán)函數(shù)為e－x2的 Hermite多項式作為基函數(shù)的逼近問題.其他還有很多關(guān)于將Hermite多項式作為基函數(shù)作逼近的文獻［2－3］，但其中大部分的權(quán)函數(shù)都是非一致的，從而會加大在理論分析和數(shù)值實現(xiàn)過程的復(fù)雜性.因此一些學(xué)者考慮采用 Hermite函數(shù)作為基函數(shù)來逼近［4－5］.

本文主要討論無界域上的帶強阻尼項的半線性波動方程

其中未知函數(shù)u＝u（x，t），而g（x，u）是給定的一類關(guān)于x和u的非線性函數(shù)，例如形如ua的冪函數(shù)，g滿足的非線性假設(shè)條件將在下文中給出.問題的初始條件為

帶有阻尼項的波動方程弱解的存在性已經(jīng)有很多文獻討論過［6－9］，但是關(guān)于這類波動方程的數(shù)值解卻研究得較少.Macías－Díaz和 Puri［10］給出了有界域上的一類帶有弱阻尼項的波動方程的有限差分格式.Gülle［11］對一類強耗散波動方程建立了關(guān)于時間的周期問題的三層差分格式，其收斂速度是O（Δx2＋Δt2）.

對于問題（1），（2），筆者采用一類新的 Hermite函數(shù)，即 Hermite多項式乘上e－x2／2，作為基函數(shù)來逼近.由于隨著多項式項數(shù)N的增加，Hermite多項式的零點分布在整個無窮區(qū)域上，從而不需要再截斷成有界區(qū)域計算.文獻［12］成功運用這種方法研究了Dirac方程的數(shù)值解.由于方程（1）中強阻尼項Δut以及非線性項的出現(xiàn)，相應(yīng)理論分析及數(shù)值計算更難于處理.

1 Hermite函數(shù)的性質(zhì)和逼近結(jié)果

為了方便起見，記Sobolev空間L2（R），Lp（R），L∞（R）和Hr（R）相應(yīng)的范數(shù)分別為‖·‖，‖·‖Lp，‖·‖∞和‖·‖r.L2（R）與Hr（R）上的內(nèi)積記為（u，v）和（u，v）r.｜·｜r表示Hr（R）上的半范.

記Hl（x）為l次 Hermite多項式，定義l次Hermite函數(shù)為

易知其滿足如下的遞歸關(guān)系［12］：

由Hermite多項式的正交性可知｛（x）｝在L2（R）上正交

且

設(shè)N為任意的正整數(shù)，PN為不超過N次的代數(shù)多項式集合.HN＝span｛（x），（x），…（x）｝，常數(shù)c與任意函數(shù)以及N無關(guān).

引理1［12］對任意的φ∈HN，1≤p≤q≤∞，m為任意的非負整數(shù)

定義2個正交投影算子，L2（R）正交投影PN：L2（R）→HN為對任意的v∈L2（R），滿足

H1（R）正交投影P1N：H1（R）→HN為對任意的v∈H1（R），滿足

為給出投影算子的誤差，定義算子A：Av（x）＝?xv（x）＋xv（x）.對任意的非負整數(shù)m，定義空間（R）為（R）＝｛v｜v在R上可測，且‖v‖m，A＜∞｝，其相應(yīng)的范數(shù)‖v‖m，A＝‖Amv‖.對任意正實數(shù)r，空間（R）由空間插值定義得到.因此可以得到如下投影算子的逼近性質(zhì).

引理2［12］對任意的v∈（R），0≤μ≤r，有‖PNv－v‖μ≤cN（μ－r）／2‖v‖r，A.

定理1 對任意的v∈HrA（R），r≥1

證明 由投影定理和引理2，得

設(shè)g∈L2（R），若

由Lax－Milgram定理可知式（11）存在惟一的解，且‖w‖2≤c‖g‖.在式（11）中取z＝v－，可得

因此

則有

定理2 對任意的v∈（R），0≤μ≤r

證明 只需證明μ為非負整數(shù)的情況，其他情況則可由空間插值得到.下面用歸納法證明.由定理1可知，當μ＝0時結(jié)論成立.假設(shè)

則由引理1知對任意的整數(shù)μ≥1，有

由定理1及

有

推論1 對任意的v∈（R），正實數(shù)r＞1／2，‖‖∞≤c‖v‖r，A.

設(shè)問題（1），（2）中的非線性項g（x，z）：R2→R上局部有界和可測的，對于任意的x∈R，g（x，·）∈C2（R）且存在正常數(shù)cj，j＝1，…，4，α∈［1，3］，及p，r0＞0使得對所有的x∈R一致成立；

若條件（A1）—（A5）滿足，則對每個u0∈H1（R），w0∈L2（R），f∈L2（0，T；H－1（R）），問題（1），（2）對于任意的T＞0，在區(qū)間［0，T］上具有惟一的弱解u∈C（0，T；H1（R）），ut∈C（0，T；L2（R））∩L2（0，T；H1（R）），utt∈L2（0，T；H－1（R））＋L1（0，T；L2（R））［6］.

2 全離散格式

為了建立全離散格式，首先考慮問題（1），（2）的弱形式：尋找u∈C（0，T；H1（R）），ut∈C（0，T；L2（R））∩L2（0，T；H1（R）），utt∈L2（0，T；H－1（R））＋L1（0，T；L2（R）），使得對任意的ξ∈H1（R）有

其中u0∈H1（R），w0∈L2（R），f∈L2（0，T；H－1（R））.

運用 Hermite譜方法求解問題 （1），（2）.設(shè)τ為時間步長，T＝nTτ，Rτ（T）＝｛t＝kτ｜k＝1，2，…，記

問題（1），（2）的全離散格式為：尋找uN∈HN，使得對于任意的Ψ∈HN，有

于是在每個時間層上，需要求解下列方程：尋找uN（t＋τ）∈HN，使得對于任意的Ψ∈HN有下式成立：

其中xj是Hermite－Gauss點.

下面分析離散格式的收斂性和穩(wěn)定性.首先證明格式（15）的收斂性，設(shè)UN＝.由式（14）可知，對任意的Ψ∈HN，當任意的t∈Rτ（T），有

初值滿足

設(shè)＝uN－UN，式（15）減去（17），得

其中

初值滿足

對任意的s∈Rτ（t－τ），根據(jù)（A6），推論1，引理1和Cauchy－Schwarz不等式，對于r＞1／2，可得

其中C＊（u）是僅依賴于‖u‖L∞（0，T；HrA（R））的正常數(shù).

由定理1和文獻［13］中的引理4.6，可得

其中C1，…，C6是與N，τ無關(guān)的正常數(shù)，Cg＝

將式（21）對s∈Rτ（t－τ）求和，利用式（22）—（25）和Young不等式得到

其中C7，C8，C9是與N，τ無關(guān)的正常數(shù).

其中ρ1（t）＝O（τ4＋N1－r）.

應(yīng)用離散的Gronwall不等式（文獻［14］中定理4），可得

當r＞11／6時，若τ充分小，且滿足τ4N5／6≤ε0，可得E（t）≤ρ1（t）.因此得到下面的收斂性結(jié)果.

定理3 設(shè)u（x，t）為問題（1），（2）的解，uN（x，t）為離散格式（15）的解，且u（x，t）滿足u∈C2（0，T；HA（R））∩C（0，T；HA（R））∩H4（0，T；L2（R））∩H2（0，T；H1（R））∩H1（0，T；L4（R）），則當r＞11／6時，且滿足τ4N5／6≤ε0時，對于t∈（T）

其中常數(shù)C只依賴于u，f，u0，w0.

下面證明離散格式（15）的穩(wěn)定性.記分別為uN，f對應(yīng)的誤差，則由式（15），得

?。╰），代入式（27），有

對s∈Rτ（t－τ）求和，對任意的x∈R，由g（x，·）∈C2（R）及Young不等式，與收斂性的證明過程類似，可得

其中C10，C11，C12是與N，τ無關(guān)的正常數(shù).記

由文獻［15］中的引理3.7，可得格式的穩(wěn)定性結(jié)論.

定理4 設(shè)u（x，t）為問題（1），（2）的解，uN（x，t）為離散格式（15）的解，則當ρ2（t）充分小時，對于t∈ˉRτ（T），有

其中常數(shù)C，C′只依賴于uN.

3 數(shù)值算例

取非線性項g（x，u）＝（u（x，t））3，考慮問題（1），（2）的解析解為：u（x，t）＝e－x2cos（xt）.首先，取時間步長τ＝10－3，圖1和圖2分別描述了當t＝0.1和t＝1時的誤差Er與多項式項數(shù)N之間的關(guān)系，‖uN（t）－u（t）‖～e－CN.為了考察誤差與時間步長τ的關(guān)系，固定N＝126，圖3描述了在t＝1時刻，L2誤差與時間步長的關(guān)系，從數(shù)值結(jié)果可以看出‖uN（t）－u（t）‖～τ2.

圖3 N＝126，t＝1時誤差與τ的關(guān)系Fig.3 Relationship between error andτat N＝126，t＝1

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