胡盛斌，陸敏恂

（1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海201804；2.上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運(yùn)輸學(xué)院，上海201620）

機(jī)器人系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，具有時(shí)變、強(qiáng)耦合和非線性動(dòng)力學(xué)特性，其控制非常復(fù)雜.滑?？刂票举|(zhì)上是一類特殊的非線性控制，因具有強(qiáng)魯棒性而成為一種有效的控制方法［1］.模糊控制不需要被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，能充分應(yīng)用控制專家的知識(shí)，并具有較好的魯棒性，在相關(guān)控制領(lǐng)域表現(xiàn)出較多的優(yōu)勢(shì).模糊滑?？刂平Y(jié)合了模糊控制和滑模控制的優(yōu)點(diǎn)，是目前滑?？刂品矫娴难芯繜狳c(diǎn)，并廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、飛行器、伺服系統(tǒng)等領(lǐng)域中［2－8］.文獻(xiàn)［6］提出了一種模糊滑?？刂品椒?，該方法結(jié)合了傳統(tǒng)滑?？刂坪湍：刂频膬?yōu)點(diǎn)，提高了系統(tǒng)的性能.文獻(xiàn)［7］針對(duì)多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)模糊終端滑模控制方法，模糊控制用于有效減弱抖振和提高控制性能.文獻(xiàn)［8］針對(duì)空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人軌跡跟蹤控制，提出了一種雙模糊滑模控制方法，采用2個(gè)模糊控制器根據(jù)跟蹤誤差分別調(diào)整切換增益和滑模面的斜率，從而提高了控制性能.

本文在此研究的基礎(chǔ)上，提出了一種帶雙模糊自適應(yīng)控制的滑模控制新方法.該方法將滑?？刂破鞣譃榈刃Э刂坪颓袚Q控制兩部分.采用一個(gè)模糊自適應(yīng)控制器，根據(jù)滑模到達(dá)條件對(duì)切換增益進(jìn)行有效估計(jì).采用另一個(gè)模糊自適應(yīng)控制器，根據(jù)滑模面來調(diào)整切換控制項(xiàng).與文獻(xiàn)［8］所設(shè)計(jì)的雙模糊滑?？刂品椒ㄏ啾龋疚乃O(shè)計(jì)的方法縮短了調(diào)整時(shí)間，提高了控制精度和魯棒性.

1 空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型

空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人如圖1所示，利用拉各朗日方法，可求出其動(dòng)力學(xué)模型如下［9］：

圖1 空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人Fig.1 Three－links spatial robot

其中，

式中：H（q）為機(jī)器人的慣性矩陣；C（q，）為機(jī)器人的離心力和哥氏力構(gòu)成的矩陣；G（q）為重力項(xiàng)構(gòu)成的矩陣；F）表示摩擦力項(xiàng)構(gòu)成的矩陣；τ為控制力矩構(gòu)成的矩陣；τd為建模誤差和外加擾動(dòng)等不確定項(xiàng)組成的矩陣；qi為第i桿的角位移；mi，li分別為第i桿的質(zhì)量和桿長(zhǎng)；（0，－r1，0），（－r2，0，0），（－r3，0，0）分別為桿l1，l2，l3在各自坐標(biāo)系中的質(zhì)心坐標(biāo)；I1y，I2z，I3z為桿l1，l2，l3關(guān)于坐標(biāo)軸Y1，Z2，Z3的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；τ1，τ2和τ3分別為施加在桿l1，l2，l3上的控制力矩.

2 自適應(yīng)雙模糊滑?？刂?/h2>

2.1 滑?？刂?/h3>

機(jī)器人軌跡跟蹤的控制目標(biāo)就是要求關(guān)節(jié)角位移向量q盡可能好地跟蹤指令關(guān)節(jié)角位移向量qd.定義跟蹤誤差為

設(shè)計(jì)滑模面為

式中：qd＝［qd1qd2qd3］T；Λ＝diag（λ1，λ2，λ3）為正的對(duì)角矩陣，λi＞0，i＝1，2，3.

通過?。?，同時(shí)令式（1）中τd＝0，可得

可推出等效控制部分為

為補(bǔ)償建模誤差和外界干擾作用等不確定項(xiàng)，同時(shí)滿足滑模到達(dá)條件≤－ki｜si｜，需要設(shè)計(jì)切換控制部分為

式中，K＝diag（k1，k2，k3），ki為切換控制部分的增益，ki＞0，i＝1，2，3.

由等效控制部分和切換控制部分可組成滑?？刂破?/p>

2.2 切換增益的模糊控制

在滑模控制器（7）中，切換增益ki值是造成抖振的主要原因.ki用于補(bǔ)償建模誤差和外界干擾作用等不確定項(xiàng)，以保證滑模存在性條件得到滿足.如果ki隨著建模誤差和外界干擾作用等不確定項(xiàng)的變化而變化，則可以降低抖振和減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差.

本文采用模糊推理來建立ki值的調(diào)整方法，具體模糊規(guī)則如下［10］：如果＞0，則ki值應(yīng)增大；如果＜0，則ki值應(yīng)減小.

定義如下模糊集：

式中：NB為負(fù)大，NM負(fù)中，NS負(fù)小，ZO為零，PS為正小，PM正中，PB正大.模糊系統(tǒng)輸入量的隸屬度函數(shù)如圖2a所示，輸出量的隸屬度函數(shù)如圖2b所示.

具體的模糊規(guī)則為：

規(guī)則1，若為NB，則Δki為NB；

規(guī)則2，若為NM，則Δki為NM；

規(guī)則3，若為NS，則Δki為NS；

規(guī)則4，若為ZO，則Δki為ZO；

規(guī)則5，若為PS，則Δki為PS；

規(guī)則6，若為PM，則Δki為PM；

規(guī)則7，若為PB，則Δki為PB.

利用積分的方法對(duì)Δki的上界進(jìn)行估計(jì)

其中，wi為調(diào)整系數(shù)，wi＞0，i＝1，2，3，則

其中，η＝diag（η1，η2，η3）為正的調(diào)整系數(shù)對(duì)角陣，ηi＞0，i＝1，2，3.

則切換控制器設(shè)計(jì)為

則模糊滑模控制器為

2.3 切換項(xiàng)的模糊控制

為了進(jìn)一步減弱抖振，優(yōu)化系統(tǒng)性能，根據(jù)滑?？刂频脑恚槍?duì)控制律（11），對(duì)切換項(xiàng)進(jìn)行模糊調(diào)整，規(guī)則如下［10］：

若si為ZO，則τi為τeqi；

若si為 NZ，則τi為τeqi＋.

定義如下模糊集：

其中，μN(yùn)Z＝diag（μN(yùn)Z1μN(yùn)Z2μN(yùn)Z3），模糊集N，ZO和P分別表示為負(fù)、零和正.模糊系統(tǒng)輸入量的隸屬度函數(shù)如圖2c所示，輸出量的隸屬度函數(shù)如圖2d所示.

則具體的模糊規(guī)則為：

規(guī)則1，若si為N，則μN(yùn)Zi為P；

規(guī)則2，若si為ZO，則μN(yùn)Zi為ZO；

規(guī)則3，若si為P，則μN(yùn)Zi為P.

采用反模糊化方法，針對(duì)控制律（11），則模糊控制器設(shè)計(jì)為

當(dāng)μN(yùn)Zi（si）＝1時(shí)，則τi＝τeqi＋，此時(shí)控制律采用前面的模糊滑模控制律（11）.

當(dāng)μN(yùn)Zi（si）≠1時(shí)，通過隸屬函數(shù)μN(yùn)Zi（si）的變化來實(shí)現(xiàn)消弱抖振，則τi＝τeqi＋（μN(yùn)Zi＋εi），即采用如下雙模糊滑?？刂坡桑?/p>

其中，ε＝diag（ε1，ε2，ε3）為正的調(diào)整系數(shù)對(duì)角陣，εi＞0，i＝1，2，3.

整個(gè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3 雙模糊滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.3 The structure block diagram of double fuzzy sliding mode control system

2.4 穩(wěn)定性分析

先作如下定義：對(duì)于一般實(shí)值函數(shù)V（x），如果V（0）＝0，且對(duì)x≠0有V（x）＞0，則稱V（x）是正定的；如果V（0）＝0，且對(duì)x≠0有V（x）≥0，則稱V（x）是半正定的；如果V（0）＝0，且對(duì)x≠0有V（x）＜0，則稱V（x）是負(fù)定的；如果V（0）＝0，且對(duì)x≠0有V（x）≤0，則稱V（x）是半負(fù)定的.

李亞普諾夫穩(wěn)定性判別定理［11］：如果有一連續(xù)可微正定函數(shù)V（x），其導(dǎo)數(shù)（x）是半負(fù)定的，則原點(diǎn)是穩(wěn)定的，其導(dǎo)數(shù)（x）是負(fù)定的，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.

自適應(yīng)雙模糊滑?？刂品€(wěn)定性證明，取李雅普諾夫函數(shù)為

顯然V（0）＝0，且對(duì)s≠0有V（s）＞0，則

將式（14）代入式（16）得

根據(jù)上面的雙模糊滑模控制設(shè)計(jì)可知，μN(yùn)Zi｜｜為不確定項(xiàng)（H－1τd）i的逼近，其中，記（H－1τd）i表示向量H－1τd中第i個(gè)元素，下同.由模糊系統(tǒng)萬能逼近定理可知［12］，存在βi＞0，有

記為對(duì)角矩陣的第i個(gè)對(duì)角元素，下同，則，＝＋ηi，得

由模糊設(shè)計(jì)規(guī)則可保證μN(yùn)Zi≥0，且由已知條件有≥0，εi｜｜≥0，當(dāng)取εiηi＞βi，則可保證

由式（17）和式（19）可得V·（s）≤0.

由李亞普諾夫穩(wěn)定性判別定理可得系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

3 仿真實(shí)驗(yàn)

空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人的物理參數(shù)如下：l2＝0.3 m，l3＝0.3m，r2＝0.15m，r3＝0.15m，m2＝9.032 kg，m3＝9.032kg，I1y＝0.059kg·m2，I2z＝0.104 kg·m2，I3z＝0.104kg·m2，g＝9.8m·s－2.

期望的跟蹤軌跡為：qd1＝sin 2t，qd2＝cos 2t，qd3＝sin 2t.

初始條件為：q＝［1，0，1］T，＝［0，0，0］T.

假設(shè)建模誤差和外界干擾作用等不確定項(xiàng)可以表示為如下高斯擾動(dòng)函數(shù)：

其中，擾動(dòng)的大小由參數(shù)ai確定，ai越大，擾動(dòng)越大.參數(shù)ci表征擾動(dòng)的中心，參數(shù)bi表征擾動(dòng)作用的時(shí)間范圍大小.

在仿真過程中，考慮到3個(gè)關(guān)節(jié)的不確定項(xiàng)不一樣，對(duì)三關(guān)節(jié)機(jī)器人按照物理參數(shù)進(jìn)行估算，確定一般擾動(dòng)參數(shù)為：ci＝4，bi＝0.01，a1＝2.4，a2＝6，a3＝1.8.

為便于控制方法對(duì)比分析，需要加大擾動(dòng).大擾動(dòng)的參數(shù)設(shè)置為：ci＝4，bi＝0.01，a1＝40，a2＝120，a3＝20.

滑模控制SMC（sliding mode control）的參數(shù)設(shè)置為：Λ＝diag（4，4，4），K＝diag（30，30，30）.

模糊滑?？刂艶SMC（fuzzy sliding mode control）的參數(shù)設(shè)置為：Λ＝diag（4，4，4），w1＝w2＝w3＝120，η＝diag（0.001，0.001，0.001）.

雙模糊滑?？刂艱FSMC（double fuzzy sliding mode control）的參數(shù)設(shè)置為：Λ＝diag（4，4，4），w1＝w2＝w3＝120，η＝diag（0.001，0.001，0.001），ε＝diag（0.000 2，0.000 2，0.000 2）.

為方便說明本文所設(shè)計(jì)的控制方法的有效性，采用傳統(tǒng)反饋線性化控制方法和文獻(xiàn)［8］中所設(shè)計(jì)的相關(guān)雙模糊滑模控制方法作對(duì)比分析.

傳統(tǒng)反饋線性化控制方法的控制器設(shè)計(jì)為

其中參數(shù)：p1＝30，p2＝11.反饋線性化控制方法的詳細(xì)情況可參考文獻(xiàn)［11］.

另一用于對(duì)照分析的相關(guān)雙模糊滑?？刂品椒ǖ脑敿?xì)設(shè)計(jì)情況可參考文獻(xiàn)［8］.

在MATLAB R2009a中編寫程序進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).仿真結(jié)果如圖4—7所示.圖4為一般滑?？刂频姆抡娼Y(jié)果.圖5為模糊滑?？刂频姆抡娼Y(jié)果.圖6為雙模糊滑?？刂频姆抡娼Y(jié)果.圖7為大擾動(dòng)情況下，本文所設(shè)計(jì)的雙模糊滑?？刂?，一般傳統(tǒng)反饋線性化控制和文獻(xiàn)［8］所設(shè)計(jì)的雙模糊滑模控制3種方法的仿真結(jié)果對(duì)比圖.

比較圖4、圖5和圖6可知，一般滑?？刂?、模糊滑模控制、雙模糊滑?？刂?種控制方法都實(shí)現(xiàn)了空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤，控制輸入也均在合理范圍.通過查看計(jì)算數(shù)據(jù)可知，3種控制方法的穩(wěn)態(tài)誤差均在10－4rad的數(shù)量級(jí)以內(nèi)，調(diào)整時(shí)間（按誤差允許范圍2%計(jì)算）也均在1.5s左右，因而3種方法在穩(wěn)態(tài)誤差和調(diào)整時(shí)間上差距不大.但是，3種控制方法所產(chǎn)生的抖振差距很大，分別對(duì)應(yīng)比較圖4、圖5和圖6的b，d，f圖，很容易看出模糊滑?？刂戚^明顯減弱了抖振，雙模糊滑?？刂苿t進(jìn)一步消除了抖振，說明所設(shè)計(jì)的雙模糊滑?？刂品椒ㄝ^好地實(shí)現(xiàn)了消除抖振.

比較圖6和圖7中本文所設(shè)計(jì)的雙模糊滑?？刂品椒ǎ梢钥闯?，當(dāng)加大擾動(dòng)時(shí)，本文雙模糊滑?？刂品椒ǖ姆€(wěn)態(tài)誤差變化不大，表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性.從圖7可以看出，在調(diào)整時(shí)間方面，文獻(xiàn)［8］控制方法的調(diào)整時(shí)間較長(zhǎng)，反饋線性化控制方法和本文控制方法的調(diào)整時(shí)間較短；在控制誤差方面，在大擾動(dòng)情況下，反饋線性化控制方法的控制誤差較大，幾乎不能滿足控制精度要求，文獻(xiàn)［8］控制方法的控制誤差較小，本文控制方法的控制誤差更小，表現(xiàn)出更好的魯棒性；在控制力矩方面，反饋線性化控制方法和本文控制方法比文獻(xiàn)［8］控制方法更合理一些.通過比較分析可知本文所提出的控制方法具有更好的控制性能.

4 結(jié)論

本文對(duì)帶有建模誤差、外界干擾等不確定項(xiàng)的空間三關(guān)節(jié)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制，提出了一種自適應(yīng)雙模糊滑?？刂菩路椒?通過仿真實(shí)驗(yàn)和對(duì)比分析可知，該方法具有良好的控制性能.

（1）本文所設(shè)計(jì)的控制方法較好地消除了傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩?

（2）與傳統(tǒng)的反饋線性化控制方法比較，本文所設(shè)計(jì)的方法具有較強(qiáng)的魯棒性.

（3）與文獻(xiàn)［8］所設(shè)計(jì)的同類雙模糊滑?？刂品椒ㄏ啾龋疚乃O(shè)計(jì)的控制方法調(diào)整時(shí)間短，穩(wěn)態(tài)誤差小，控制力矩合理，魯棒性好，表現(xiàn)出更好的控制性能.

本文所設(shè)計(jì)的控制方法對(duì)已知運(yùn)動(dòng)路徑的機(jī)器人系統(tǒng)，如焊接機(jī)器人、裝配機(jī)器人等具有快速、實(shí)時(shí)和高精度的特點(diǎn).該方法同樣適用于其他類似的多輸入、多輸出的非線性控制系統(tǒng).

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