朱曉亮，程曉舫，張忠政

(中國科學技術(shù)大學 熱科學和能源工程系，安徽 合肥230026)

0 引言

光伏電池的輸出電壓和輸出電流隨光照強度和電池結(jié)溫的變化表現(xiàn)為強烈的非線性，但總是存在著一個唯一的最大功率輸出(MPP)。為了在某個光照強度和電池結(jié)溫下獲得盡可能多的電能，就有一個最大功率跟蹤(MPPT)的問題，以使得太陽電池盡量工作在最大功率點上。目前光伏發(fā)電系統(tǒng)的運行采用的最大功率點跟蹤主要是優(yōu)化策略較多的擾動觀察法和電導增量法等［1］。

這些最大功率點的跟蹤方式都是在未知最大功率點情況下通過一定的手段尋找到最大功率點，本文的創(chuàng)新點之一是通過最大功率方程和電流方程的聯(lián)立求解，能得出最大功率點電壓的表達式，從而確定最大功率點電流，直接通過計算得出最大功率點。由于得出的最大功率點電壓的表達式是隱式表達式，計算過程需要迭代求解來完成。

目前最大功率點跟蹤方面的研究主要在一個太陽光照強度下來進行。聚光條件下，能提供數(shù)個太陽光照強度，隨著光照強度的增強，最大功率點軌跡會怎樣變化，尚沒有詳細的分析研究。本文通過模擬得出隨著光照強度增強以及減弱時最大功率點的全部變化軌跡，發(fā)現(xiàn)只要有串聯(lián)內(nèi)阻的存在，最大功率點隨光照強度的變化軌跡在I－V坐標中總是呈現(xiàn)S形狀。同時也確定了隨著光照強度的變化最大功率點負載的變化范圍。模擬得出的結(jié)果表明極強光照強度和極弱光照強度下最大功率點負載趨向于一個關(guān)于內(nèi)阻的定值，因為實現(xiàn)最大功率點跟蹤的實質(zhì)就是調(diào)整負載，所以在最大功率點負載趨向定值時就無需調(diào)整，本文創(chuàng)新點之二既是提出了恒載跟蹤。

由于太陽電池各模型參數(shù)，工作電壓以及輸出功率對溫度的敏感度很大，而且在聚光情況下電池溫度也會上升，為了方便考察聚光條件下最大功率點軌跡的變化規(guī)律，因此模擬中嚴格控制溫度保持不變［2－3］。

1 最大功率方程

1.1 太陽電池電流方程

太陽電池外接負載RL后形成如圖1所示的太陽電池電路模型圖。

圖1 太陽電池電路模型圖

由固體物理理論及基爾霍夫定律推導得到太陽電池電流方程［4－5］

式中Iph——光生電流;

ID——二極管反向飽和電流;

n——二極管理想因子;

Rs——電池的串聯(lián)內(nèi)阻;

Rsh——電池的并聯(lián)內(nèi)阻;

Vth——溫度電勢，k，q=1.6×10－19C)。

對電流方程式(1)進行全微分并整理后得

1.2 溫度不變下最大功率方程

為了考察電壓和電流的變化關(guān)系，在光照強度變化的時候保持溫度不變那么式(2)在某個溫度環(huán)境中d ID=d ( nVth)=d Rs=d Rsh=0，電流和電壓的改變( d I，d V)僅與光生電流的改變d Iph有關(guān)。

當光生電流的變化停止( d Iph=0)后，也就是在某一個光照強度下，希望輸出功率能夠落在極值功率Pm上。輸出功率的描述為

令其全微分等于“0”

可以得到輸出功率的極值條件

當光生電流不變，根據(jù)式(6)的輸出功率極值條件，由式(3)就立即可以得到輸出功率極值狀態(tài)的數(shù)學描述為

我們將式(7)稱之為最大功率方程，其表達了在d ID=d ( nVth)=d Rs=d Rsh=0時，某一光照下最大功率點電壓和最大功率點電流應當符合的關(guān)系式，即當光照變化到某一值時，此時Vm和Im總是能夠滿足式(7)，于是可以在I－V圖上繪制出最大功率點隨光照強度變化的軌跡線。

2 全光照(光照強度從零到無窮大)下的最大功率軌跡及跟蹤模式

2.1 全光照下最大功率軌跡線

根據(jù)歐姆定律，由式(7)可以得出在最大功率點上最大功率點負載的變化范圍。

由式(8)，當Im→∞，Rm→Rs，當Im→0，Rm→Rs由太陽電池電流方程(1)，其中Im→∞對應著Iph→∞，亦即光照強度趨向無窮大，Im→0對應著Iph→0，亦即光照強度趨向0?？梢缘贸鲎畲蠊β守撦d的取值范圍Rs＜Rm＜Rs+

選擇由Charles等得到的某一硅太陽電池實驗數(shù)據(jù)［6－8］，其模型參數(shù)為:二極管反向飽和電流ID=5.514×10－6A，串聯(lián)電阻Rs=7.769×10－2Ω，并聯(lián)電阻Rsh=25.9Ω，二極管理想因子n=1.727，溫度電勢得到T=306.1 K，現(xiàn)維持太陽電池工作溫度隨著光照強度變化保持不變，由式(7)在I－V圖上繪制全光照下最大功率點的變化軌跡圖2，曲線上的每一點顯然都對應著一定光照強度下的一個最大功率點。

圖2 全光照下最大功率點軌跡線

圖2中曲線上限由于Rm→Rs，使得曲線無限接近于直線R=Rs。曲線的下限由于Rm→Rs+使得曲線無限接近直線R=Rs+，因為并聯(lián)電阻Rsh較串聯(lián)電阻Rs大很多，所以下限非常接近于橫坐標I=0，如圖3所示。

圖3 圖2局部放大

2.2 最大功率的三種跟蹤模式

現(xiàn)將最大功率軌跡曲線由上到下分為五個小段，如圖2所示。其中第一段①和第五段⑤是曲線分別非常接近的趨向兩條直線R=Rs和R=Rs+，在這兩個小段上，最大功率負載分別Rm→Rs和所以從最大功率跟蹤的角度上來說，只需要將負載值固定在Rs和上，電池便工作在最大功率點上，無需進行最大功率點跟蹤，稱之為恒載跟蹤。

圖2中曲線的第三段③最大功率點電流不斷增大但是最大功率點電壓變化很小，可以近似的使用恒電壓跟蹤的情況，即CVT(Constant Voltage Tracking)［9］。

圖2中曲線的第二段②和第四段④稱之為過渡段。第四段是一個太陽光照強度下的情況，只有在聚光的時候才會有第二段的出現(xiàn)。

總結(jié)一下，太陽電池的最大功率跟蹤，可以分為三種模式:

(a)恒載跟蹤，適用于極強或極弱的光照狀況;

(b)恒壓跟蹤，適用于中等強度的光照狀況;

(c)計算跟蹤，除上述光照狀況的其它光照狀況。

3 最大功率過渡段的計算跟蹤

在曲線的第四段中是一個太陽光照下經(jīng)常遇到的隨著光照變化最大功率點變化差異較大的情況，目前已經(jīng)有很多最大功率點跟蹤的研究和技術(shù)，其中最常見的是擾動觀察法和電導增量法。這些技術(shù)中都是未知最大功率點的情況通過一定技術(shù)尋找最大功率點或是盡量接近最大功率點。例如擾動觀察法是周期性的給光伏電池的輸出電壓加擾動，比較其輸出功率與前一周期的輸出功率的大小。如果功率增加則在下一個周期以相同方向加擾動，否則改變擾動的方向，直到在最大功率點附近很小的一個閾值范圍內(nèi)。電導增量法是依據(jù)光伏電池的P－V曲線表現(xiàn)為單峰形狀，在最大功率點必定有d P/d U=0，通過一定的調(diào)節(jié)步長判斷d P/d U的符號使得在d P/d U≈0很小的范圍內(nèi)尋找到最大功率點［1］。本文提出過渡段的計算跟蹤是利用式(5)的最大功率方程與式(1)的太陽電池電流方程聯(lián)立求解，求得準確的最大功率點電壓。

采用由Charles等得到的實驗數(shù)據(jù)［8］，由式(7)和式(1)在I－V圖上繪制圖4。

圖4 I－V圖中一個太陽光照下最大功率點軌跡線

圖4中點a是太陽電池當前的工作點，而最大功率點在點b，現(xiàn)通過最大功率方程與電流方程的聯(lián)立求解，推導出最大功率點電壓的隱式表達式，并由已知點a的電壓和電流和太陽電池各模型參數(shù)代入表達式中即可迭代求解出最大功率點電壓的值。

對于在最大功率點b上，由式(1)，

在點a上和最大功率點b兩點上光生電流都是Iph。

由式(10)，在太陽電池模型參數(shù)Rs、Rsh、ID、n及太陽電池工作溫度T為定值的情況下并讀出當前工作點的電壓電流值(V1，I1)，即可計算得出Iph的大小。

由于太陽電池電流方程(1)式中的電流I無法顯式的用電壓V來表示，反之亦然，為了方便聯(lián)立求解，采用由LambertW函數(shù)構(gòu)建的I－V電流方程的顯式方程。式(1)的顯式表達式［10］，

顯式表達式在b點上，

將式(12)代入式(7)，得到式(13)，

在某個光照下，若太陽電池的所有模型參數(shù)Rs、Rsh、ID、n及太陽電池工作溫度T都已知，測得太陽電池當前工作點的電壓電流值(V1，I1)，再通過式(13)將最大功率點電壓值Vm迭代計算出來，代入式(12)中即可計算Im的大小，這樣就可以讓太陽電池工作在準確的最大功率點上。

4 算例

由Charles等得到的實驗數(shù)據(jù)［8］中，在光生電流Iph=0.561 A時 ，最大功率點電壓Vm=0.390 V和最大功率點電流Im=0.481 A。

由于Charles等的實驗中已經(jīng)給出了光生電流，將太陽電池模型參數(shù):二極管反向飽和電流ID=5.514×10－6A，串聯(lián)電阻Rs=7.769×10－2Ω，并聯(lián)電阻Rsh=25.9 Ω，二極管理想因子n=1.727，及太陽電池工作溫度T=306.1 K代入式(13)利用Matlab軟件數(shù)值計算得出最大功率點電壓和最大功率點電流計算值，分別為:Vm=0.387 V，誤差0.77%;Im=0.487 A，誤差1.25%。

5 結(jié)論

(1)本文由太陽電池電流方程及其全微分推導出最大功率方程，在全光照條件下，其軌跡在I－V坐標中呈現(xiàn)S形狀，并確定最大功率點負載的取值范圍為

(2)太陽電池的最大功率跟蹤，可以分為三種模式:

(a)恒載跟蹤，適用于極強或極弱的光照狀況;

(b)恒壓跟蹤，適用于中等強度的光照狀況;

(c)計算跟蹤，除上述光照狀況的其它光照狀況。

(3)通過最大功率方程與電流方程的顯式表達式的聯(lián)立求解得出最大功率點電壓表達式，將已知數(shù)值代入可以迭代求解出來，避免了以往在未知最大功率點的情況下的尋找過程。算例表明計算跟蹤的誤差在1%左右。

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