徐 昕，郭念國(guó)

(1.首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)金融學(xué)院，北京100070;2.河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，河南鄭州450001)

1 引言

在擬合汽車(chē)保險(xiǎn)索賠次數(shù)的模型中，泊松分布模型是擬合索賠次數(shù)的最簡(jiǎn)單且常用的模型，具有均值與方差相等的特性。而索賠次數(shù)模型往往具有方差大于均值的性質(zhì)，此時(shí)如果繼續(xù)使用泊松分布模型會(huì)低估參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，高估其顯著性水平，導(dǎo)致多余的解釋變量保留在預(yù)測(cè)模型中，最終導(dǎo)致不合理的保費(fèi)。

對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，研究人員通常利用各種不同的混合泊松模型來(lái)預(yù)測(cè)索賠次數(shù)。Ruohonen［1］提出結(jié)構(gòu)函數(shù)為三參數(shù)伽瑪函數(shù)的泊松分布，同時(shí)用實(shí)際損失數(shù)據(jù)與兩參數(shù)結(jié)構(gòu)函數(shù)泊松模型即負(fù)二項(xiàng)模型進(jìn)行了比較，得到了比較滿意的結(jié)果。Panjer［2］運(yùn)用廣義poisson－pascal分布(即Hofmann分布，含三個(gè)參數(shù))來(lái)建立汽車(chē)索賠次數(shù)模型，擬合效果也比較理想。Norison Ismail和 Aziz Jemain［3］討論了負(fù)二項(xiàng)回歸模型和廣義泊松回歸模型的參數(shù)估計(jì)及其在索賠頻率預(yù)測(cè)中的應(yīng)用，而Denuit Michel［4］等人應(yīng)用負(fù)二項(xiàng)回歸、泊松－逆高斯回歸和泊松－對(duì)數(shù)正態(tài)回歸對(duì)汽車(chē)保險(xiǎn)的索賠頻率進(jìn)行了實(shí)證研究。國(guó)內(nèi)關(guān)于索賠頻率模型的研究主要有孟生旺和袁衛(wèi)［5］用混合Poisson模型研究了非同質(zhì)風(fēng)險(xiǎn)的索賠分布。高洪忠、任燕燕［6］研究了一類(lèi)更廣泛的分布，即GPSJ類(lèi)分布，這類(lèi)分布描述了一次風(fēng)險(xiǎn)事件多種索賠結(jié)果的情況。毛澤春和劉錦蕚［7］分析了免賠額及NCD賠付條件對(duì)索賠次數(shù)分布的影響，通過(guò)比較風(fēng)險(xiǎn)事件與索賠事件的差異引出了一類(lèi)同質(zhì)集合保單索賠次數(shù)的分布(Poisson－Gamma)。毛澤春和劉錦蕚［8］引出了一類(lèi)指數(shù)類(lèi)混合型索賠次數(shù)的分布并研究了其散度(dispersion)的性質(zhì)，同時(shí)給出了擬合類(lèi)分布的矩估計(jì)方法。徐昕、袁衛(wèi)、孟生旺［9］將兩參數(shù)負(fù)二項(xiàng)回歸模型推廣到三參數(shù)情況，并利用新模型對(duì)Yip和Yau［10］中的汽車(chē)保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合，得到了較好的效果，提出了解決過(guò)離散問(wèn)題的一種新辦法。

學(xué)者們的研究大多數(shù)集中在混合泊松分布模型上，而雙泊松分布模型也是一類(lèi)離散型分布模型，具有方差大于均值的特性，但關(guān)于利用雙泊松回歸模型預(yù)測(cè)汽車(chē)保險(xiǎn)索賠次數(shù)的文獻(xiàn)并不多見(jiàn)。本文將在下面內(nèi)容中詳細(xì)介紹雙泊松回歸模型的性質(zhì)及參數(shù)估計(jì)，并且利用該模型來(lái)擬合一組實(shí)際的汽車(chē)保險(xiǎn)索賠數(shù)據(jù)，并將其結(jié)果與泊松回歸模型的擬合進(jìn)行比較分析。

2 泊松回歸模型性質(zhì)及參數(shù)估計(jì)

為便于討論，假設(shè)共有p個(gè)分類(lèi)變量，將所有保單分為n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別，其中第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別在p個(gè)分類(lèi)變量上的取值用xi=(xi1，xip)T表示，T表示轉(zhuǎn)置。用wi表示第i個(gè)類(lèi)別包含的風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)(如汽車(chē)保險(xiǎn)中的車(chē)年數(shù))。

令Yi表示第i個(gè)風(fēng)險(xiǎn)類(lèi)別的索賠次數(shù)隨機(jī)變量，i=1，2…，n。如果Yi服從泊松分布，則其概率函數(shù)為:

泊松分布的均值與方差相等，即E(Yi)=Var(Yi)=λi。若令 λi=wiexp(xTiβ)，即可得到泊松回歸模型，其中β是p×1階的參數(shù)向量。容易求得泊松回歸模型的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

回歸參數(shù)β的極大似然估計(jì)可以通過(guò)下述似然方程組求得:

為了求得參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，首先需要計(jì)算Hessian矩陣，其中的元素是關(guān)于對(duì)數(shù)似然函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，即

因此信息矩陣的元素為

對(duì)信息矩陣對(duì)角線上的元素先求導(dǎo)數(shù)，然后再開(kāi)方，即可得到參數(shù)估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

3 雙泊松回歸模型的性質(zhì)及參數(shù)估計(jì)

雖然無(wú)法確定雙泊松分布是否也是一種混合泊松分布，但由于其具有方差大于均值的特征，因此也可以用于過(guò)離散數(shù)據(jù)的處理。雙泊松分布的概率函數(shù)可以表示為:

此處對(duì)雙泊松分布形式不同于Yip和Yau文獻(xiàn)中的雙泊松回歸模型。這樣做的目的是使其均值正好等于λi，與其他分布保持一致。如果采用其他的參數(shù)形式，譬如，如果參數(shù)的形式使得雙泊松分布的均值正好為λi/θ(參見(jiàn)Yip和Yau)，則截距項(xiàng)的估計(jì)值將發(fā)生變化，但索賠頻率的預(yù)測(cè)值不會(huì)受到影響。

從上述方差和均值的關(guān)系可以看出，當(dāng)θ在區(qū)間(0，1)之間變化時(shí)，θ越小，雙泊松分布的過(guò)離散程度越嚴(yán)重，因此我們將g=q定義為雙泊松分布的離散參數(shù)。當(dāng)θ→1時(shí)，雙泊松分布退化為泊松分布。容易求得雙泊松回歸的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為:

對(duì)上式求偏導(dǎo)，可以得到模型的似然方程組為:

雙泊松回歸的Hessian矩陣H的元素也很容易求得:

因此雙泊松回歸的信息矩陣的元素為

4 模型檢驗(yàn)

4.1 過(guò)離散檢驗(yàn)

對(duì)于索賠數(shù)據(jù)是否具有過(guò)離散的特征，通常利用兩種方法來(lái)判斷。一是在普通最小二乘回歸模型的基礎(chǔ)上建立的統(tǒng)計(jì)量(Cameron 和 Trivedi［11］)，滿足下述條件

其中的λi=exp(xiβ)，ei是隨機(jī)誤差項(xiàng)。如果系數(shù)α的t統(tǒng)計(jì)量顯著，說(shuō)明存在過(guò)離散特征。

另外一種方法是拉格朗日乘法(Lagrange Multiplier)檢驗(yàn)(Greene［12］提出的)。LM 統(tǒng)計(jì)量可以簡(jiǎn)單表示為

其中的 λ =(λ1，…，λn)'，λi=exp(xiβ)，e=y －λ，y=(y1，…，yn)。在零假設(shè)為泊松分布的條件下，LM統(tǒng)計(jì)量服從自由度為1的x2分布。

4.2 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

對(duì)模型擬合優(yōu)度進(jìn)行評(píng)價(jià)可以使用Akaike Information Criteria(AIC)統(tǒng)計(jì)量和Bayesian Schwartz Criteria(BIC)統(tǒng)計(jì)量。AIC 統(tǒng)計(jì)量定義為(Akaike［13］):

其中l(wèi)表示對(duì)數(shù)似然值，p為參數(shù)的個(gè)數(shù)。AIC的值越小，表明模型的擬合越好。

BIC 統(tǒng)計(jì)量定義為(Schwartz［14］):

其中的l也表示對(duì)數(shù)似然值，p為模型的參數(shù)個(gè)數(shù)，n為觀測(cè)值的個(gè)數(shù)，BIC的值越小，模型擬合越好。

5 實(shí)證分析

5.1 數(shù)據(jù)的描述

本節(jié)選用一組來(lái)自SAS Enterprise Miner數(shù)據(jù)庫(kù)中的汽車(chē)保險(xiǎn)數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)中有10303個(gè)觀測(cè)值，其中大約有6%的缺失，數(shù)據(jù)包含索賠概況、駕駛記錄、保單信息、被保險(xiǎn)人個(gè)人信息。索賠概況記錄了被保險(xiǎn)人的索賠頻數(shù)、索賠額、索賠時(shí)間等信息;駕駛記錄包括駕駛?cè)说姆謹(jǐn)?shù)、過(guò)去7年中是否被吊銷(xiāo)駕駛執(zhí)照;保單信息有被保險(xiǎn)車(chē)輛的行駛區(qū)域、行駛時(shí)間、汽車(chē)價(jià)格、顏色、用途等;被保險(xiǎn)人的個(gè)人信息有年齡、性別、教育程度、工作類(lèi)型、婚姻狀況、年收入等。選取與Yip和Yau相同的費(fèi)率因子(見(jiàn)表1)，其中收入為連續(xù)變量，其余為屬性變量，從10303個(gè)客戶(hù)中隨機(jī)抽取了4412個(gè)有效記錄。

表1 費(fèi)率因子

5.2 過(guò)離散檢驗(yàn)

首先依據(jù)第一種方法利用統(tǒng)計(jì)軟件SAS的回歸模塊(即PROC REG)得到結(jié)果見(jiàn)下表2，很明顯預(yù)測(cè)變量的P值顯著。

表2 預(yù)測(cè)值的估計(jì)結(jié)果

表2 預(yù)測(cè)值的估計(jì)結(jié)果

?

同樣，利用拉格朗日乘法(Lagrange Multiplier)，利用SAS中IML模塊求得LM值為128.47816，并且顯著。

從兩種檢驗(yàn)方法可以判定，損失數(shù)據(jù)存在過(guò)離散問(wèn)題。

5.3 擬合結(jié)果

從下表3中的回歸模型擬合結(jié)果來(lái)看，雙泊松回歸模型和泊松回歸模型的參數(shù)估計(jì)值差別不大，顯著性水平因子也相同。但由前面判斷，此數(shù)據(jù)存在過(guò)離散特性，泊松回歸模型費(fèi)率因子參數(shù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差明顯小于雙泊松回歸模型。從整體上看，無(wú)論是AIC還是BIC，對(duì)于該組索賠數(shù)據(jù)而言，雙泊松回歸模型的擬合效果要明顯優(yōu)于普通泊松回歸模型。

表3 回歸模型擬合結(jié)果

6 結(jié)語(yǔ)

雙泊松分布模型雖然不能歸為混合泊松模型，但雙泊松分布模型同樣具有方差大于均值特性，從本文中的實(shí)證分析也可以看出，對(duì)于處理具有過(guò)離散特征的損失數(shù)據(jù)，雙泊松分布可以看做為一種解決辦法，也同樣可以達(dá)到改善擬合結(jié)果的效果。

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