劉伏虎，馬曉平

（西北工業(yè)大學(xué)無(wú)人機(jī)特種技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安 710065）

引言

現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)日益要求高速度和高機(jī)動(dòng)性，使得飛行器日益呈現(xiàn)出輕結(jié)構(gòu)和大柔性的特點(diǎn)，因此氣動(dòng)彈性的動(dòng)穩(wěn)定性和動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題變得日益突出［1］。氣動(dòng)彈性動(dòng)穩(wěn)定性主要研究顫振問(wèn)題，動(dòng)力響應(yīng)主要討論氣動(dòng)彈性系統(tǒng)在突風(fēng)作用下引起的氣動(dòng)彈性響應(yīng)問(wèn)題。文獻(xiàn)［2］以二元機(jī)翼為對(duì)象，利用Jones氣動(dòng)力近似方法建立了氣動(dòng)彈性響應(yīng)模型，研究了銳邊突風(fēng)對(duì)系統(tǒng)氣動(dòng)彈性響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［3］以大展弦比均勻直機(jī)翼為對(duì)象，求解一階扭轉(zhuǎn)和一階彎曲情況下系統(tǒng)的顫振速度，利用準(zhǔn)定常氣動(dòng)力模型研究了銳邊突風(fēng)二元機(jī)翼以及直機(jī)翼的氣動(dòng)彈性響應(yīng)影響。

本文將以大展弦比均勻直機(jī)翼為對(duì)象，以非定常氣動(dòng)力為基礎(chǔ)，建立系統(tǒng)響應(yīng)模型，采用V-g法在二階扭轉(zhuǎn)和二階彎曲模態(tài)下求解系統(tǒng)的顫振速度。以Kussner函數(shù)為基礎(chǔ)，建立銳邊突風(fēng)模型，研究銳邊突風(fēng)對(duì)系統(tǒng)氣動(dòng)彈性響應(yīng)的影響。

1 建立模型

設(shè)大展弦比均勻直機(jī)翼的半展長(zhǎng)為l，單位展長(zhǎng)質(zhì)量為m。圖1為其剖面示意圖。圖中，b為翼型的半弦長(zhǎng)；a為翼弦中點(diǎn)到彈性軸的距離占半弦長(zhǎng)的百分比，彈性軸在半弦線之后a＞0，彈性軸位于距離機(jī)翼弦線中點(diǎn)ab處；xα為重心與彈性軸的距離占半弦長(zhǎng)的百分比，重心在彈性軸之后xα＞0，重心與彈性軸的距離為xαb。

圖1 剖面示意圖

設(shè)彈性軸彎曲變形為w（y），向上為正，扭轉(zhuǎn)變形為α（y），迎風(fēng)抬頭為正；機(jī)翼為等截面，其彎曲剛度和扭轉(zhuǎn)剛度分別為EI和GJ，均為常數(shù)；機(jī)翼的彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)分別為Nw和Nα，機(jī)翼彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型函數(shù)分別為ψi（y）和φi（y）；Sα=mxαb為單位展長(zhǎng)機(jī)翼對(duì)彈性軸的質(zhì)量靜矩，Iα=mr2αb2為單位展長(zhǎng)機(jī)翼對(duì)彈性軸的質(zhì)量慣性矩。

通過(guò)推導(dǎo)得到系統(tǒng)勢(shì)能和動(dòng)能的表達(dá)式，以及系統(tǒng)做的虛功，利用拉格朗日方程得到模態(tài)坐標(biāo)下機(jī)翼的運(yùn)動(dòng)方程為:

其中:

式中，i=1，2，…，Nw；j=1，2，…，Nα。

大展弦比均勻直機(jī)翼彎曲振型和扭轉(zhuǎn)振型的函數(shù)表達(dá)式為［1］:

其中:

單位展長(zhǎng)二元機(jī)翼所受氣動(dòng)力為［4］:

由模態(tài)轉(zhuǎn)換和模態(tài)振型函數(shù)之間的正交性，可得系統(tǒng)氣動(dòng)力表達(dá)式為:

其中:

2 銳邊突風(fēng)的影響

模態(tài)坐標(biāo)下銳邊突風(fēng)氣動(dòng)力和力矩表達(dá)式可以

寫(xiě)為如下形式［5］:

式中，ψ（s）=1－e－0.13s/2－e－s/2為 Kussner函數(shù)。將式（2）和式（3）代入式（7）和式（8）得到:

上式即為銳邊突風(fēng)QG=［LGTG］T的表達(dá)式。在研究系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)，需要將系統(tǒng)表達(dá)在時(shí)域空間中，系統(tǒng)中Theodorsen函數(shù)C（k）的Wagner近似形式見(jiàn)文獻(xiàn)［6］。

引入空氣動(dòng)力狀態(tài)變量后單位展長(zhǎng)機(jī)翼非定常氣動(dòng)力可重新表達(dá)為:

式中，δ=1 －δ1－δ2。

在模態(tài)坐標(biāo)下xa滿足自身運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為:

其中:

這樣，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可重新表達(dá)為:

式中的空氣動(dòng)力相關(guān)矩陣重新寫(xiě)為:

建立系統(tǒng)狀態(tài)空間方程如下:

3 仿真分析

本文采用的機(jī)翼參數(shù)為:xα=0.4，a=－0.2，m=（19.6/l）kg/m，l=1 m，b=0.0915 m，Iα=0.1236 kg·m2，EI=35.96 N·m2，GJ=25.94 N·m2，引入人工結(jié)構(gòu)阻尼g，令q=eiωt，通過(guò)V-g法求解系統(tǒng)的顫振速度，取系統(tǒng)二階彎曲和二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出，一階扭轉(zhuǎn)先出現(xiàn)發(fā)散，計(jì)算得到系統(tǒng)的顫振速度VF=33.2 m/s，顫振頻率為fF=3.15 Hz。

由于系統(tǒng)一階扭轉(zhuǎn)先出現(xiàn)發(fā)散，因此取一階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)研究銳邊突風(fēng)對(duì)系統(tǒng)氣動(dòng)彈性響應(yīng)的影響，突風(fēng)速度wG=2 m/s，仿真初始條件為x0= [0 0 0.01 0.2 0 0]T，響應(yīng)結(jié)果如圖3～圖5所示。從圖中可以看出，加入銳邊突風(fēng)后，V＜VF時(shí)系統(tǒng)為收斂振蕩，V=VF時(shí)系統(tǒng)為等幅振蕩，V＞VF時(shí)系統(tǒng)為發(fā)散振蕩?？梢缘贸鯲F并未改變，而系統(tǒng)的響應(yīng)振幅變大。從系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程出發(fā)，影響系統(tǒng)VF的因素主要由A的特征值決定。當(dāng)加入突風(fēng)后，其特征值并未改變；從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)出發(fā)，突風(fēng)并未改變系統(tǒng)本身的機(jī)構(gòu)參數(shù)，加入突風(fēng)相當(dāng)于給了系統(tǒng)一個(gè)外加的擾動(dòng)力，因此系統(tǒng)響應(yīng)只是振幅改變。

圖2 系統(tǒng)顫振示意圖（Nw=2，Nα=2）

圖3 V=0.99VF時(shí)加入突風(fēng)后的翼尖響應(yīng)

圖4 V=VF時(shí)加入突風(fēng)后的翼尖響應(yīng)

圖5 V=1.01VF時(shí)加入突風(fēng)后的翼尖響應(yīng)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以大展弦比直機(jī)翼為對(duì)象，基于非定常氣動(dòng)力理論建立了系統(tǒng)的氣動(dòng)彈性運(yùn)動(dòng)方程，并取二階彎曲和二階扭轉(zhuǎn)模態(tài)求得系統(tǒng)的顫振速度。建立了彎曲和扭轉(zhuǎn)模態(tài)階數(shù)為Nw和Nα下的系統(tǒng)狀態(tài)方程，研究了銳邊突風(fēng)分別在小于、等于和大于顫振速度下對(duì)系統(tǒng)的氣動(dòng)彈性響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，銳邊突風(fēng)增大了系統(tǒng)響應(yīng)的振幅。整個(gè)系統(tǒng)的建模過(guò)程對(duì)下一步研究飛行器突風(fēng)響應(yīng)有一定的參考意義。

［1］趙永輝.氣動(dòng)彈性力學(xué)與控制［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［2］Kargarnovin M H，Mamandi A.Aeroelastic response for pure plunging motion of a typical section due to sharp edged gust using jones approximation aerodynamics［J］.World Academy of Science，Engineering and Technology，2007，36（1）:154-161.

［3］Haddadpour H，Shams S，Kheiri M.Sharp edge gust effects on aeroelastic behavior of a flexible wing with high aspect ratio［R］.AIAA-2005-838，2005.

［4］Theodorsen T.General theory of aerodynamic instability and the mechanism of flutter［R］.National Advisory Commission for Aeronautics，NACA-TR-496，1949.

［5］Earl H D.A modern course in aeroelasticity［M］.Kluwer Academic Publishers，1995.

［6］Sutherland A N.A demonstration of pitch—plunge flutter suppression using LQG control［R］.ICAS2010，2010.