李大慶 鄧效忠 魏冰陽 李聚波

1.江蘇大學，鎮(zhèn)江，212013 2.河南科技大學，洛陽，471003

0 引言

面齒輪是一種圓柱齒輪和圓錐齒輪嚙合的傳動形式，在國外已經(jīng)應用于直升機的主傳動系統(tǒng)，與弧齒錐齒輪相比，它顯著減小了齒輪箱重量并提高了承載能力［1］。

在面齒輪的加工方面，插齒是最基本的加工方式。Litvin等［2－3］對面齒輪幾何學進行了基本設(shè)計，并在此基礎(chǔ)上提出了對面齒輪副的雙向（齒廓和齒向）修形。文獻［4－7］對插齒加工及修形做了進一步探討。為提高加工精度，Cuypers等［8］研究了面齒輪滾切加工。郭輝［9］探索了滾齒加工方法及設(shè)備。在磨齒加工方面，Litvin等［3，10］提出了利用蝸桿砂輪磨削面齒輪的方法，該方法雖然加工效率高，但齒面受奇異性影響，會導致某些參數(shù)的插刀不存在對應蝸桿，且砂輪產(chǎn)形技術(shù)難度大，不易實現(xiàn)，而利用碟形砂輪磨齒則不會出現(xiàn)上述問題。

目前，國內(nèi)對面齒輪的碟形砂輪磨齒的研究還尚未展開。另外，面齒輪副的嚙合性能可通過對其大小輪的齒廓拋物線修形來進行優(yōu)化，但修形因數(shù)的增大會使大輪的齒寬系數(shù)減?。?］，且使修形相對復雜，因此，為了能夠提高磨削后齒輪副的嚙合性能，筆者提出了基于小輪修形的碟形砂輪磨齒方法，以提高面齒輪副的接觸性能。在磨削加工小輪時，利用文獻［11－12］提出的雙向修形原理，用碟形砂輪對小輪做修形磨齒，即在磨齒加工過程中，通過控制修形因數(shù)和磨齒加工運動參數(shù)來改變面齒輪接觸印痕的位置和方向，獲得拋物線傳動誤差，從而降低其對安裝誤差的敏感性，減小振動和噪聲，達到提高面齒輪嚙合性能的目的。

1 小輪的加工

1.1 小輪加工齒條

構(gòu)成面齒輪副的小輪和面齒輪分別由齒條和插刀范成加工而成，用于加工小輪和插刀的齒條端面齒廓如圖1所示，下標ti表示齒條的齒廓坐標系，ri表示齒條坐標系，其中i＝1，s，分別代表小輪和插刀，α為齒廓壓力角。齒條齒面點m在坐標系Sti（OtiXtiYti）的矢量表達式為

式中，θdi、udi分別為齒條坐標Y、Z方向的齒面參數(shù)；adi為拋物線系數(shù)；ud0為拋物線上偏離基廓節(jié)點的距離，簡稱偏移距。

式（1）轉(zhuǎn)換到齒條坐標系Sri（OriXriYri）中的表達式為

式中，Mrt為坐標系Sti到Sri的坐標轉(zhuǎn)換矩陣。

圖1 拋物線齒條形狀

1.2 小齒輪和插刀的加工及齒面方程

圖2 小輪的齒條加工

根據(jù)齒輪嚙合原理，小輪（插刀）齒面為齒條齒面的包絡(luò)，圖2表示了小輪（插刀）的展成過程，rpi為節(jié)圓半徑；φi為小輪（插刀）轉(zhuǎn)角；Sri和Si（OiXiYi）分別表示和齒條及小輪（插刀）相固連的坐標系，Sn（OnXnYn）為輔助坐標系。小輪和插刀的齒面方程分別為

式中，Mnri、Min分別為坐標系Sri到Si的坐標轉(zhuǎn)換矩陣；fi（udi，φi）為嚙合方程；nri為齒條齒面的法向矢量；vri為坐標系Sri中齒條與齒輪的相對速度。

1.3 砂輪齒面方程

用于小輪的磨齒修形砂輪如圖3所示，坐標系Sw（OwYwZw）固連于砂輪，Sk（OkYkZk）為輔助坐標系。砂輪齒面Σw為一回轉(zhuǎn)面，砂輪橫截面內(nèi)的母線可以用小輪的平面廓線表示，當z1＝0時，砂輪橫截面內(nèi)的母線lw表示為

其中，r1x、r1y為向量r1的分量，將式（5）轉(zhuǎn)換到坐標系Sw，即得到砂輪齒面方程：

式中，θw為砂輪繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角；Mk1、Mwk（θw）為從坐標系S1到Sw的轉(zhuǎn)換矩陣。

圖3 砂輪齒面生成

1.4 小輪的齒向修形及齒面方程

磨齒時，小輪的齒向修形由砂輪中心在O1Y1Z1平面內(nèi)做一平面曲線軌跡來完成，如圖4所示，坐標系Sg（OgYgZg）、S1分別固連于加工砂輪和小輪，Rg1為平面運動軌跡的半徑，φg為砂輪中心轉(zhuǎn)過的角度，雙向修形的小齒輪齒面由砂輪齒面包絡(luò)而成，齒面方程為

式中，r′1為小輪雙向修形后的齒面位置向量；M1k、Mkg為坐標系Sg到S1的轉(zhuǎn)換矩陣；nw為砂輪齒面的法矢；fw（ud1，θw，φg）為嚙合方程；vw為砂輪和小輪齒面之間的相對速度。

圖4 砂輪的雙鼓修形運動

2 大輪的加工

面齒輪的磨齒加工過程利用了插齒加工面齒輪原理。如圖5所示，用砂輪模擬插齒刀的一個齒，即將碟形砂輪的軸向截面修成插齒刀的齒廓形狀。加工時，砂輪高速旋轉(zhuǎn)完成切削運動，同時，面齒輪繞自身軸線旋轉(zhuǎn)，砂輪繞虛擬插刀的軸線（Z軸）做旋擺運動，當二者按一定滾比轉(zhuǎn)動時，即展成面齒輪齒廓。

圖5 面齒輪的磨削加工

圖6表示了面齒輪磨齒加工的坐標系，坐標系S2（O2X2Y2）和Ss（OsYsZs）分別固連于面齒輪和虛擬的插刀（由砂輪模擬），Sa（OaXaYaZa）、Sm（OmXmYmZm）為輔助坐標系，Es為砂輪中心和虛擬插刀中心的距離，Rs為坐標原點O2與Os之間的距離，γm為虛擬插刀和面齒輪旋轉(zhuǎn)軸線的夾角。前面推導的插刀齒面方程，經(jīng)過坐標轉(zhuǎn)換，即可得到面齒輪的齒面方程：

圖6 面齒輪加工坐標系

3 修形面齒輪副嚙合性能分析

根據(jù)磨齒加工過程，以及對修形齒面方程的推導可知，小輪齒面幾何形狀是由齒條拋物線形狀參數(shù)ad1、ud0、α和磨床加工運動參數(shù)Rp1決定的，因此改變這4個參數(shù)會影響面齒輪副的嚙合性能。本文研究了通過調(diào)整以上參數(shù)來實現(xiàn)面齒輪副嚙合性能的改善。

3.1 齒面嚙合性能分析

面齒輪副的齒面嚙合性能分析主要由齒面接觸分析（TCA）程序完成［1］，即通過齒面接觸分析得到修形控制參數(shù)對傳動誤差和接觸跡線的影響，找出二者之間的關(guān)系，進而反饋修正加工運動參數(shù)來提高嚙合性能。圖7所示為齒面嚙合性能分析坐標系，Sh（OhXhYhZh）為固定坐標系，小輪和面齒 輪 分 別 繞Z1軸、Z2軸 旋 轉(zhuǎn)；Sf（OfXfYfZf）、Sq（OqXqYqZq）、Se（OeXeYeZe）、Sd（OdXdYdZd）

為輔助坐標系，用于模擬面齒輪副的安裝關(guān)系。

圖7 面齒輪TCA分析坐標系

圖7中，Rf＝Rs＋Bcotγ，ΔE為軸交錯位移誤差，Δq為面齒輪的軸向偏移誤差，γf＝γm＋Δγ，其中，Δγ為軸交角誤差。

3.2 實例與分析

本文設(shè)計了一對面齒輪，齒輪的齒數(shù)、模數(shù)、壓力角及內(nèi)外半徑等幾何參數(shù)見表1，表2列出了磨齒修形砂輪的運動半徑，表3所示為小輪修形控制參數(shù)。算例中所設(shè)置的各項安裝誤差分別如下：Δγ＝0.03°，Δq＝－0.2mm，ΔE＝0.2mm。通過編程運算，輸出不同加工參數(shù)對嚙合性能的影響規(guī)律。

表1 齒輪參數(shù)

表2 修形砂輪運動半徑

表3 小輪修形控制參數(shù)

通過輸出的影響規(guī)律曲線（圖8）可知，在有安裝誤差情況下，隨砂輪運動半徑的增大（表2），接觸路徑向大端偏移。圖8表明，可通過調(diào)整砂輪運動半徑的大小來改變齒面接觸印痕的位置，但值得注意的是，增大砂輪運動半徑的值會增大對安裝誤差的敏感性。

圖8 Rp1對接觸路徑的影響

圖9顯示了偏移距參數(shù)ud0對齒面接觸路徑的影響，當偏移距分別取正負值時，接觸痕跡分別向上下偏移。為得到較理想的接觸跡線的位置，后面算例中ud0＝0。

圖9 ud0對接觸路徑的影響

圖10顯示了不同的小輪修形控制參數(shù)（表3）對齒面接觸印痕的影響，左右兩列圖分別為無安裝誤差和有安裝誤差的情況。在圖10a中，齒數(shù)差Ns－N1＝3，通過這種方法實現(xiàn)了齒輪副的齒面接觸局部化［1］，但齒面接觸痕跡對安裝誤差比較敏感。在圖10b中，對小輪齒面的齒長方向做了修形，和圖10a相比，接觸痕跡向中間偏移，說明接觸痕跡對安裝誤差的敏感性有了明顯的降低。情況3中則對小輪齒面做雙向修形，圖10c顯示，和情況2相比，接觸路徑明顯發(fā)生了偏斜，說明增大參數(shù)ad1的值會加大接觸痕跡的傾斜程度，同時從圖10c中可以看出，參數(shù)ad1的變化還會使接觸橢圓的尺寸發(fā)生改變。情況4中則選用了較大的基廓壓力角α，圖10d顯示，和情況3相比，增大壓力角能減小接觸痕跡對安裝誤差的敏感性。

圖10 四種情況下的TCA分析

由以上算例可知，通過調(diào)整控制參數(shù)ad1、ud0、α和Rp1的值，可以改善接觸跡線的方向和位置，并可減小面齒輪副對安裝誤差的敏感性。

另外，傳統(tǒng)的漸開線齒形在理論上不存在傳動誤差［1］，但制造和安裝誤差會引起不連續(xù)的線性傳動誤差，這種誤差是振動和噪聲的主要來源。圖11顯示了表3中情況3下有安裝誤差的傳動誤差曲線，該傳動誤差曲線為上凸的拋物線函數(shù)曲線，這種拋物線線函數(shù)能夠吸收由安裝誤差引起的線性傳動誤差函數(shù)［1］，從而可以有效減小由安裝誤差引起的振動與噪聲。

圖11 傳動誤差曲線

4 結(jié)語

本文對直齒面齒輪的碟形砂輪修形磨齒加工方法做了探討，并對磨齒修形面齒輪副的嚙合性能進行了TCA分析?；诘紊拜喣X加工過程，分別推導并得到了直齒面齒輪副及砂輪的修形齒面方程。在利用碟形砂輪磨齒過程中，通過對小輪磨齒加工運動參數(shù)及拋物線修形參數(shù)的調(diào)整，使面齒輪副齒面接觸跡線的位置和方向得到改善，減小了面齒輪對安裝誤差的敏感性，并可得到傳動誤差的拋物線函數(shù)，有效減小由安裝誤差引起的振動和噪聲，從而實現(xiàn)了面齒輪副嚙合性能的提高。

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