陳 寧，戴佳陽(yáng)，郭宇騫，桂衛(wèi)華，熊絲琦

（中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，410083 長(zhǎng)沙）

PCHD系統(tǒng)的參數(shù)鎮(zhèn)定

陳 寧，戴佳陽(yáng)，郭宇騫，桂衛(wèi)華，熊絲琦

（中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，410083 長(zhǎng)沙）

采用無(wú)源性的控制方法研究了端口受控耗散哈密頓(PCHD)系統(tǒng)的參數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題.對(duì)于含未知參數(shù)的PCHD系統(tǒng)，根據(jù)無(wú)源特性設(shè)計(jì)控制器使閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)隨參數(shù)漂移時(shí)，仍能保持穩(wěn)定.所設(shè)計(jì)的控制器的結(jié)構(gòu)與原系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相同，這樣不僅使得閉環(huán)系統(tǒng)保持耗散結(jié)構(gòu)而且使得閉環(huán)能量分布隨參數(shù)的漂移而變化，且總在平衡點(diǎn)處達(dá)到極小，從而建立PCHD系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定性.以勵(lì)磁系統(tǒng)為例，分析了該系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)平衡點(diǎn)的影響，設(shè)計(jì)了使勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定的控制器，仿真例子證明了設(shè)計(jì)的有效性.

參數(shù)穩(wěn)定性;Hamiltonian結(jié)構(gòu);參數(shù)鎮(zhèn)定;無(wú)源性控制

參數(shù)穩(wěn)定性的定義是由M.Ikeda等［1］首次提出.在研究含擾動(dòng)參數(shù)的 Lotka-Volterra模型時(shí)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)變化時(shí)會(huì)影響系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，所以提出傳統(tǒng)分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法中僅考慮平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性是不符合實(shí)際的，進(jìn)而提出了參數(shù)穩(wěn)定性的概念.研究穩(wěn)定性的傳統(tǒng)分析方法是假設(shè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)在全部參數(shù)變化范圍內(nèi)始終不變，在這樣的假設(shè)基礎(chǔ)之上進(jìn)行平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的研究.實(shí)際上，在大部分非線性系統(tǒng)中，參數(shù)的不確定性會(huì)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生影響，導(dǎo)致系統(tǒng)平衡點(diǎn)的漂移或消失［2－4］，甚至有可能會(huì)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定.所以忽略參數(shù)漂移的對(duì)系統(tǒng)影響的假設(shè)是與實(shí)際不相符的，在考慮平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的同時(shí)有必要考慮參數(shù)變化對(duì)平衡點(diǎn)存在性的影響.以勵(lì)磁系統(tǒng)為例，勵(lì)磁系統(tǒng)是一個(gè)具有非線性性質(zhì)和不確定參數(shù)的實(shí)際工程系統(tǒng).在勵(lì)磁系統(tǒng)中，不確定參數(shù)的變化導(dǎo)致系統(tǒng)平衡狀態(tài)發(fā)生改變的現(xiàn)象給系統(tǒng)的分析和控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)帶來(lái)了許多困難.因此，考慮勵(lì)磁系統(tǒng)中參數(shù)的影響是很有必要的.

近年來(lái)，有許多學(xué)者研究參數(shù)穩(wěn)定性并取得了一系列的成果.Y.Ohta等［5］研究了具有參數(shù)不確定特性的非線性系統(tǒng)的參數(shù)2次穩(wěn)定性問(wèn)題;A.I.Zecevic 等［6］研究了一類具有全局 Lipschitz條件的非線性系統(tǒng)的參數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題，通過(guò)改良的非線性矩陣不等式方法求得了系統(tǒng)在參數(shù)漂移時(shí)的參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域，并與分析增益調(diào)度方法做了比較;T.Wada 等［7－8］研究了單輸入/單輸出的不確定參數(shù)和定常參考輸入的Lurie系統(tǒng)，分析了Lurie系統(tǒng)在含參數(shù)擾動(dòng)輸出情況下，擾動(dòng)參數(shù)在其鄰域內(nèi)變化時(shí)對(duì)平衡點(diǎn)位置和穩(wěn)定性的影響，并將參數(shù)穩(wěn)定性的概念擴(kuò)展到上述Lurie非線性控制系統(tǒng)中，提出了參數(shù)絕對(duì)穩(wěn)定性的定義.同時(shí)還研究了多變量的Lurie系統(tǒng)的參數(shù)絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題，求得了保持平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的非線性矩陣不等式(LMI)條件并且確保了系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性;G.Silva等［9］提出了一類具有奇異擾動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)絕對(duì)穩(wěn)定性問(wèn)題.以上方法主要采用Lyapunov函數(shù)來(lái)研究參數(shù)穩(wěn)定性，關(guān)于非線性系統(tǒng)的參數(shù)穩(wěn)定性的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠深入.

相比Lyapunov函數(shù)方法，基于無(wú)源性控制(PBC)在非線性系統(tǒng)研究中得到了越來(lái)越多的關(guān)注［10－13］.基于無(wú)源性控制的優(yōu)點(diǎn)是，對(duì)于具有耗散結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)的能量分布將隨著未知參數(shù)的漂移而自動(dòng)的改變，只要求解控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足耗散結(jié)構(gòu)，且能量函數(shù)總在未知參數(shù)對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)處取得極小值，這樣就實(shí)現(xiàn)了參數(shù)不確定系統(tǒng)的參數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題，相比Lyapunov方法不用求解復(fù)雜的LMI方程.由于Hamiltonian系統(tǒng)能方便地刻畫(huà)出非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，可以通過(guò)一些方法使得Hamiltonian系統(tǒng)具有耗散結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)無(wú)源性控制求解系統(tǒng)的控制器.因此，它是研究參數(shù)穩(wěn)定性的比較適合工具之一.Hamiltonian系統(tǒng)的控制方法被廣泛應(yīng)用到實(shí)際工程的控制設(shè)計(jì)中，尤其是力學(xué)系統(tǒng)、電力系統(tǒng)及電機(jī)調(diào)速方面.如基于耗散Hamiltonian方法電力系統(tǒng)自適應(yīng)控制［14］等等.

本文研究含參數(shù)的PCHD系統(tǒng)的參數(shù)鎮(zhèn)定問(wèn)題，即設(shè)計(jì)控制器使PCHD系統(tǒng)的平衡點(diǎn)隨參數(shù)漂移時(shí)，仍能保持穩(wěn)定.首先基于系統(tǒng)無(wú)源特性設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)PCHD系統(tǒng)參數(shù)鎮(zhèn)定.然后，以勵(lì)磁系統(tǒng)為例，分析了參數(shù)變化對(duì)勵(lì)磁系統(tǒng)平衡點(diǎn)的影響，采用與原系統(tǒng)相同結(jié)構(gòu)的狀態(tài)反饋控制器對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)能量進(jìn)行整合，使得閉環(huán)系統(tǒng)的能量函數(shù)在未知參數(shù)對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)處取得極小值，從而實(shí)現(xiàn)勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)鎮(zhèn)定.最后，數(shù)值仿真結(jié)果說(shuō)明了設(shè)計(jì)的控制器是有效性的.

1 問(wèn)題描述

考慮如下含參數(shù)的PCHD系統(tǒng)為

式中:J(x，θ)為反對(duì)稱矩陣;R(x，θ)為正定或半正定矩陣.其中:x∈R是狀態(tài)向量;θ∈Rl是任意參數(shù);u是輸入;y是輸出;H(x，θ)為Hamiltonian函數(shù).

由于PCHD系統(tǒng)(1)是耗散系統(tǒng)，滿足能量平衡方程

根據(jù)無(wú)源性的定義［15］，可以知道如果系統(tǒng)(1)的Hamiltonian函數(shù)H(x，θ)非負(fù)，則系統(tǒng)(1)是無(wú)源的.

中不包含其他非平凡解，則x*(θ)是系統(tǒng)(1)的漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn).

假設(shè)對(duì)于一個(gè)標(biāo)稱參數(shù)值θ=θ*∈Rl時(shí)，系統(tǒng)(1)存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)x*∈R.若存在參數(shù)θ*的一個(gè)鄰域Ω(θ*)?Rl，使

1)對(duì)任意的θ∈Ω(θ*)，存在一個(gè)平衡點(diǎn)xe(θ)∈R;

2)對(duì)任意的θ∈Ω(θ*)，平衡點(diǎn)xe(θ)是穩(wěn)定的;

則稱系統(tǒng)(1)關(guān)于參數(shù) θ是參數(shù)穩(wěn)定的，且xe(θ*)=x*.如果對(duì)于任意的鄰域 Ω(θ*)，存在θ∈Ω(θ*)使系統(tǒng)(1)不存在平衡點(diǎn)，或者系統(tǒng)(1)存在平衡點(diǎn)xe(θ)但它是不穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)(1)是參數(shù)不穩(wěn)定的.

由上述參數(shù)穩(wěn)定性定義可知，對(duì)于含參數(shù)的PCHD系統(tǒng)(1)，只要使得在參數(shù)漂移的時(shí)候H(x，θ)隨著平衡點(diǎn)的漂移能對(duì)平衡點(diǎn)保持正定，且系統(tǒng)(1)存在唯一的平衡點(diǎn)，則系統(tǒng)(1)參數(shù)穩(wěn)定.

本文的目標(biāo)是針對(duì)系統(tǒng)(1)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器u=a(x，θ)，使得由該控制器和系統(tǒng)(1)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定.

當(dāng)控制器u=a(x，θ)需要滿足一定的結(jié)構(gòu)約束條件，才能夠?qū)⑾到y(tǒng)(1)的Hamiltonian函數(shù)H(x，θ)整合為閉環(huán)系統(tǒng)(2)Hamiltonian函數(shù)Ha(x，θ).

2 基于無(wú)源性的PCHD系統(tǒng)參數(shù)鎮(zhèn)定

本文在一定條件下通過(guò)狀態(tài)反饋u=a(x，θ)可以得到閉環(huán)系統(tǒng)(2)，從狀態(tài)反饋的觀點(diǎn)看，可以通過(guò)滿足

的狀態(tài)反饋u=a(x，θ)得到閉環(huán)系統(tǒng)(2).引理1［10］對(duì)于含參數(shù)的PCHD系統(tǒng)

如果存在函數(shù)C(x，θ)和矩陣gc使得

那么由控制器

和系統(tǒng)(3)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)可以等價(jià)為

證明 通過(guò)將控制器(5)代入系統(tǒng)(3)中，可得到

由上述分析可以得到如下定理.

定理1 對(duì)于含參數(shù)的PCHD系統(tǒng)(3)，如果函數(shù)C(x，θ)和矩陣gc滿足條件(4)，且如果此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)(6)在θ的一個(gè)鄰域θ∈Ω(θ*)內(nèi)是耗散的，且在θ∈Ω(θ*)時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)修正能量函數(shù)Ha(x，θ)對(duì)于θ∈Ω(θ*)的平衡點(diǎn)=xe(θ)是正定的，即.從而閉環(huán)系統(tǒng)(6)在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)是關(guān)于參數(shù)θ是參數(shù)穩(wěn)定的，系統(tǒng)(3)可以被控制器(5)參數(shù)鎮(zhèn)定.

證明 對(duì)于整合后的系統(tǒng)能量函數(shù)Ha(x，θ)，如果在鄰域θ∈Ω(θ*)內(nèi)a(x，θ)≤0，由閉環(huán)系統(tǒng)(6)的耗散性和Hamiltonian函數(shù)Ha(x，θ)的正定性知系統(tǒng)(6)在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的平衡點(diǎn).所以顯然閉環(huán)系統(tǒng)(6)在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)是關(guān)于參數(shù)θ是參數(shù)穩(wěn)定的.

由上述討論可知，如果可以通過(guò)設(shè)計(jì)控制器使得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)矩陣在θ的鄰域θ∈Ω(θ*)內(nèi)保持耗散，當(dāng)參數(shù)θ在鄰域變化時(shí)，雖然系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)是變化的，但是此時(shí)系統(tǒng)是耗散的，只要選取合適的能量函數(shù) H(x，θ)，函數(shù) C(x，θ)和矩陣gc使得修正后的能量函數(shù) Ha(x，θ)沿閉環(huán)系統(tǒng)(6)的軌跡的導(dǎo)數(shù)a(x，θ)≤0，就可以使得系統(tǒng)(6)在θ∈Ω(θ*)內(nèi)關(guān)于參數(shù)θ參數(shù)穩(wěn)定.

3 勵(lì)磁系統(tǒng)的參數(shù)鎮(zhèn)定

以勵(lì)磁系統(tǒng)為例

可以看到此時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)會(huì)隨著參數(shù)a的變化而變化，因?yàn)閍 ＞0，c＞0，d ＞0，e＞0，求解方程組(9)得

由上述分析可知，在u=0時(shí)，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)(8)對(duì)于a∈(0，∞)是參數(shù)不穩(wěn)定的.

考慮系統(tǒng)(8)其他參數(shù)確定，分析系統(tǒng)(8)在u變化時(shí)的閉環(huán)系統(tǒng)平衡點(diǎn)情況，把u看作參數(shù)，令=0，由系統(tǒng)(8)得

采用本文討論的方法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制器，取系統(tǒng)(8)的Hamiltonian函數(shù)為

系統(tǒng)(8)可以描述成

所以控制器為

可以使得系統(tǒng)(8)的閉環(huán)系統(tǒng)為

要證明此時(shí)系統(tǒng)(11)的參數(shù)穩(wěn)定性，只要證明在參數(shù)a鄰域內(nèi)的平衡點(diǎn)的唯一性.假設(shè)()是閉環(huán)系統(tǒng)的解，滿足()=0，那么

4 仿真結(jié)果

圖1 參數(shù)a取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的δ響應(yīng)

圖2 參數(shù)a取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的－ω0響應(yīng)

圖3 參數(shù)a取不同值時(shí)對(duì)應(yīng)的E響應(yīng)

圖1分別給出當(dāng)參數(shù)a分別為2 066.8和2 273.4時(shí)對(duì)應(yīng)的δ響應(yīng).由δ響應(yīng)不同，可以看到，在參數(shù)a發(fā)生漂移時(shí)，平衡點(diǎn)的位置會(huì)隨著漂移.

5 結(jié)論

1)對(duì)于含未知參數(shù)的PCHD系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了基于無(wú)源特性的狀態(tài)反饋方法求解系統(tǒng)參數(shù)鎮(zhèn)定器，使得閉環(huán)系統(tǒng)保持耗散結(jié)構(gòu).

2)所設(shè)計(jì)的控制器使閉環(huán)系統(tǒng)修正后的能量函數(shù)隨參數(shù)的漂移而變化，且總在期望的平衡狀態(tài)處達(dá)到極小，使系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定.

3)以勵(lì)磁系統(tǒng)為例，分析了系統(tǒng)隨參數(shù)的變化，勵(lì)磁系統(tǒng)的平衡點(diǎn)發(fā)生漂移的現(xiàn)象.設(shè)計(jì)了參數(shù)鎮(zhèn)定器，使閉環(huán)勵(lì)磁系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定.

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Parametric stabilization of port-controlled Hamiltonian systems with dissipation

CHEN Ning，DAI Jia-yang，GUO Yu-qian，GUI Wei-hua，XIONG Si-qi

(School of Information Science and Engineering，Central South University，410083 Changsha，China)

This paper investigates parametric stabilization of port-controlled Hamiltonian systems with dissipation(PCHD).A controller is designed to make the PCHD system parametric stable as the parameters drift based on its passivity.The form of the controller is related to PCHD system.Thus，the closed-loop system maintains dissipative form and the energy function achieves its minimal value at the equilibrium point determined by the unknown parameter.An excitation system is taken as an example，and the effect of equilibrium point of the system is analyzed as the parameter varies.A controller is designed to make the excitation system parametric stable.Simulation results are given to show the effectiveness of the proposed method.

parametric stability;Hamiltonian form;parametric stabilization;passivity-based control

TM301

A

0367－6234(2012)11－0112－06

2012－02－13.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61074001);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2010QZZD016).

陳 寧(1970—)女，教授，博士生導(dǎo)師.

陳 寧，ningchen@csu.edu.cn.

(編輯 張 紅)