傅 瑜，楊衛(wèi)麗，崔乃剛

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱;2.國(guó)防科技信息中心，100142 北京）

升力式再入飛行器覆蓋范圍計(jì)算分析

傅 瑜1，楊衛(wèi)麗2，崔乃剛1

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001 哈爾濱;2.國(guó)防科技信息中心，100142 北京）

將升力式再入飛行器的覆蓋范圍生成問(wèn)題轉(zhuǎn)化成滿足再入約束條件下的最大縱程、最小縱程、最大橫程以及一定縱程下最大橫程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，采用序列梯度－修復(fù)算法來(lái)解這一系列的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，最后進(jìn)行了仿真分析.仿真結(jié)果表明:本文采用的方法合理可行，升力式再入飛行器的覆蓋范圍為一個(gè)左右不對(duì)稱(chēng)的扇形區(qū)域.

升力式再入飛行器;覆蓋范圍;軌跡優(yōu)化;序列梯度－修復(fù)算法

升力式再入飛行器的覆蓋范圍定義了飛行器潛在的可達(dá)區(qū)域，可為飛行器在正常和異常飛行情況下的任務(wù)規(guī)劃提供選擇依據(jù)，可以幫助飛行器在正常的再入飛行和偶然突發(fā)事件中變更或選擇潛在的著陸位置.因此，升力式再入飛行器當(dāng)前時(shí)刻的覆蓋范圍，即一系列的可行著陸區(qū)域，是其安全飛行的重要保證.特別是全球到達(dá)的升力式再入飛行器，覆蓋范圍的分析更有著非常重要的意義.

目前國(guó)外相關(guān)文獻(xiàn)主要有兩類(lèi)方法來(lái)求解該問(wèn)題.一類(lèi)是利用平衡滑翔條件簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程，降低該問(wèn)題的復(fù)雜性進(jìn)行逼近.文獻(xiàn)［1］通過(guò)坐標(biāo)變換，在不考慮路徑約束的情況下，將該問(wèn)題轉(zhuǎn)換成一系列簡(jiǎn)單的縱程不定情況下的最大橫程問(wèn)題，并通過(guò)參數(shù)搜索來(lái)求解.文獻(xiàn)［2］采用擬平衡滑翔條件，將覆蓋范圍生成問(wèn)題等效為解決一系列簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)虛擬目標(biāo)的逼近問(wèn)題.然后，采用近似最優(yōu)控制律，該逼近問(wèn)題又轉(zhuǎn)化成1個(gè)一維求根問(wèn)題.同時(shí)，根據(jù)傾側(cè)角－速度再入走廊，加入了一般的不等式約束，快速、可靠地獲得了考慮約束條件下的任意再入初始條件的高精度覆蓋范圍.第二類(lèi)是基于航天飛機(jī)再入制導(dǎo)方法［3］的逼近.其原理是認(rèn)為升力式再入飛行器所能覆蓋的射程與其阻力加速度的大小成反比，且其覆蓋范圍可由多邊形進(jìn)行近似.在由不等式定義的再入飛行走廊內(nèi)，先規(guī)劃出最大射程和最小射程的阻力加速度剖面.覆蓋范圍的遠(yuǎn)邊界由最大射程的阻力加速度剖面決定，近邊界由最小射程的阻力加速度剖面決定，并用直線近似.對(duì)于其它邊界，其阻力加速度剖面由最大阻力加速度剖面和最小阻力加速度剖面線性插值得到，然后采用由跟蹤制導(dǎo)律決定的不變號(hào)的傾側(cè)角進(jìn)行飛行仿真并最終獲得再入飛行器的覆蓋范圍.文獻(xiàn)［4］給出了該類(lèi)方法更為詳細(xì)的細(xì)節(jié)，航天飛機(jī)的事故飛行管理也是基于上述方法［5］.而國(guó)內(nèi)學(xué)者主要直接通過(guò)優(yōu)化的方法來(lái)進(jìn)行求解.雍恩米［6］將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾種極限情況下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，然后采用高斯偽譜法進(jìn)行優(yōu)化求解，最后將極限軌跡的終點(diǎn)用直線連接，采用多邊形來(lái)近似可達(dá)區(qū)域.李瑜［7］則將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化成多種情況下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，然后采用直接打靶法進(jìn)行求解，最后獲得可達(dá)區(qū)域.

不同于上述解決方法，本文將升力式再入飛行器的覆蓋范圍生成問(wèn)題轉(zhuǎn)化成滿足再入約束條件下的最大縱程、最小縱程、最大橫程以及一定縱程下最大橫程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題.首先給出了覆蓋范圍的分析步驟，建立了升力式再入飛行器的運(yùn)動(dòng)模型，給出了覆蓋范圍各類(lèi)軌跡優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化模型，然后采用序列梯度－修復(fù)算法來(lái)解這一系列的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，最后進(jìn)行了仿真分析，并給出了相應(yīng)的仿真結(jié)果.

1 問(wèn)題的描述

采用本文的分析方法其相應(yīng)分析步驟為:

1)解滿足再入約束條件下的最大縱程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，獲得升力式再入飛行器的最大縱程;

2)解滿足再入約束條件下的最小縱程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，獲得升力式再入飛行器的最小縱程;

3)解滿足再入約束條件下的左邊最大橫程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，獲得升力式再入飛行器左邊的最大橫程和該橫程所對(duì)應(yīng)的縱程;

4)在最小縱程和左邊最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程之間取若干縱程，采用相應(yīng)的優(yōu)化模型，優(yōu)化該特定縱程情況下的左邊最大橫程;

5)在左邊最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程和最大縱程之間取若干縱程，采用相應(yīng)的優(yōu)化模型，優(yōu)化該特定縱程情況下的左邊最大橫程;

6)以左邊最大橫程的傾側(cè)角的相反數(shù)為初值，解滿足再入約束條件下的右邊最大橫程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，獲得升力式再入飛行器右邊的最大橫程和該橫程所對(duì)應(yīng)的縱程;

7)在最小縱程和右邊最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程之間取若干縱程，采用相應(yīng)的優(yōu)化模型，以左邊該特定縱程的傾側(cè)角的相反數(shù)為初值，優(yōu)化該特定縱程情況下的右邊最大橫程;

8)在右邊最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程和最大縱程之間取若干縱程，采用相應(yīng)的優(yōu)化模型，以左邊該特定縱程的傾側(cè)角的相反數(shù)為初值，優(yōu)化該特定縱程情況下的右邊最大橫程;

9)連接最大縱程彈道、最小縱程彈道、左邊最大橫程彈道、右邊最大橫程彈道和各特定縱程下最大橫程彈道的終點(diǎn)，各最優(yōu)軌跡的終點(diǎn)所組成的區(qū)域即為升力式再入飛行器的覆蓋范圍.

基于上述分析，下面將分別給出升力式再入飛行器的運(yùn)動(dòng)模型和分析覆蓋范圍中各類(lèi)軌跡優(yōu)化問(wèn)題的優(yōu)化模型.

1.1 升力式再入飛行器的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

為增強(qiáng)優(yōu)化算法的魯棒性，提高優(yōu)化速度，應(yīng)采用無(wú)量綱化的再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型.將飛行器再入運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中的相關(guān)量除以相應(yīng)的無(wú)量綱化系數(shù)，得到相應(yīng)的無(wú)量綱化方程為

圖1 縱橫程定義

1.2 覆蓋范圍分析的軌跡優(yōu)化模型

1)性能指標(biāo)J.

當(dāng)求取最大縱程時(shí)，

當(dāng)求取最小縱程時(shí)，

當(dāng)求取右邊最大橫程時(shí)，

當(dāng)求取左邊最大橫程時(shí)，

2)優(yōu)化控制量u(t).由升力式再入飛行器的控制方式可以得到其優(yōu)化控制量u(t)如下:

3)約束條件.攻角α約束為

傾側(cè)角σ約束為

滑翔段最大高度hmaxh約束為

動(dòng)壓q約束為

式中V為飛行器相對(duì)大氣的速度.

法向過(guò)載ny約束為

式中N為體系下的法向力.

式中:Rn為鼻錐駐點(diǎn)區(qū)曲率半徑;V0為第一宇宙速度;ρ0為海平面標(biāo)準(zhǔn)大氣密度;ks、m、n為常數(shù)，可取理論計(jì)算值或?qū)嶒?yàn)值，本文取ks=17 600，n=0.5，m=3.15，Rn=0.04 m.

末端高度約束為

末端速度約束為

當(dāng)求取最小縱程和最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程之間某一固定縱程Ldc所對(duì)應(yīng)的最大橫程時(shí)，應(yīng)加入如下縱程固定的約束:

當(dāng)求取最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程和最大縱程之間某一固定縱程Ldc所對(duì)應(yīng)的最大橫程時(shí)，相應(yīng)的縱程固定約束變?yōu)?/p>

2 序列梯度－修復(fù)算法理論

序列梯度－修復(fù)算法是由Miele［8］在1970提出的一種求解最優(yōu)控制問(wèn)題的間接法.而后不斷發(fā)展完善，形成了能夠處理各種過(guò)程約束和邊界約束的標(biāo)準(zhǔn)化序列 －梯度優(yōu)化算法［9－14］.該算法由梯度和修復(fù)兩個(gè)環(huán)節(jié)組成，采用統(tǒng)一的最優(yōu)性條件，減少了推導(dǎo)伴隨方程與橫截條件等過(guò)程的復(fù)雜和繁瑣，便于模塊化實(shí)現(xiàn).同時(shí)，由于修復(fù)環(huán)節(jié)的存在，該方法對(duì)初值不敏感.本文將采用序列梯度－修復(fù)算法來(lái)解升力式再入飛行器覆蓋范圍分析的軌跡優(yōu)化問(wèn)題.

2.1 最優(yōu)控制問(wèn)題的一般描述

不失一般性，取如下目標(biāo)函數(shù)求取最小值:

狀態(tài)方程:

初始條件:

終端約束:

過(guò)程約束:

式中:性能指標(biāo)I由積分型函數(shù)f和末端型函數(shù)g組成;x為狀態(tài)變量;φ為狀態(tài)微分函數(shù);u為控制變量;π為參數(shù)向量;ψ為終端約束函數(shù);t為時(shí)間變量;S為過(guò)程約束;x1表示狀態(tài)量的末端值;x0表示狀態(tài)量的初值;C0為x初值的給定值;對(duì)于任意積分區(qū)間tf，可將tf當(dāng)成參量，通過(guò)相應(yīng)地轉(zhuǎn)化均可化成0～1區(qū)間.

對(duì)于1.2節(jié)中的軌跡優(yōu)化模型，式(14)～式(18)的含義為:性能指標(biāo)I即代表式(2)～式(5)中的某一式，且均為末端型函數(shù)，也即對(duì)于式(2)～式(5)f為零，g為式(2)～式(5)中的右邊項(xiàng);狀態(tài)變量x為式(1)的左邊項(xiàng)，狀態(tài)微分函數(shù)為式(1)的右邊項(xiàng);控制變量u為攻角α和傾側(cè)角σ;參數(shù)向量π為tf;終端約束函數(shù)ψ為式(10)～式(13);過(guò)程約束S為式(6)～(9).同時(shí)需要注意的是序列梯度－修復(fù)算法僅能處理等式約束，因此對(duì)于不等式約束只需要引入輔助變量化成等式約束即可，具體轉(zhuǎn)化過(guò)程可參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］.

2.2 一階最優(yōu)必要條件

應(yīng)用最優(yōu)控制理論，通過(guò)歐拉方程可以得到

2.3 一階梯度近似

式中Δx(t)、Δu(t)、Δπ分別為狀態(tài)量x(t)、控制量u(t)、參量π的增量.

現(xiàn)定義列向量A、B、C如下

則可以得到2.1節(jié)中最優(yōu)控制問(wèn)題的一階梯度近似模型，為［9］

2.4 修復(fù)方法

則可以得到相應(yīng)的修復(fù)模型如下［9］:

為此通過(guò)一定的方法，不斷地求解上式修復(fù)模型，并合理地搜索修復(fù)步長(zhǎng)，定能找到在一定精度范圍內(nèi)滿足式(15)～式(19)的狀態(tài)量、控制量和參量［11］.

3 優(yōu)化算法結(jié)構(gòu)

結(jié)合具體的飛行器優(yōu)化模型，采用本文給出的序列梯度－修復(fù)算法優(yōu)化飛行器滿足再入約束條件下的最大縱程、最小縱程、最大橫程以及一定縱程下最大橫程的最優(yōu)軌跡，相應(yīng)的算法結(jié)構(gòu)如下.

1)由于算法中修復(fù)環(huán)節(jié)的存在，算法對(duì)初值不敏感.首先由系統(tǒng)的相關(guān)知識(shí)，給出u(t)在初始點(diǎn)、末端點(diǎn)的值以及π的值，然后根據(jù)積分點(diǎn)數(shù)，由u(t)初始點(diǎn)值和末端點(diǎn)值線性插值得到中間點(diǎn)值，最后積分狀態(tài)方程式(15)得到x(t)，從而獲得x(t)、u(t)、π的初值.

3)采用文獻(xiàn)［14］中的方法解修復(fù)模型式(27)～ 式(34)獲得的 A(t)、B(t)、λ(t)、ρ(t)，再采用二分法搜索修復(fù)步長(zhǎng)，獲得新的狀態(tài)量否滿足式(15)～式(18)，若滿足則修復(fù)階段結(jié)束，進(jìn)入步驟4);否則，將的值賦給x(t)、u(t)、π進(jìn)入步驟3)，重復(fù)進(jìn)行修復(fù)階段，直到式(15)～式(18)得到滿足.

5)判斷整個(gè)迭代是否收斂，若收斂則優(yōu)化結(jié)束，輸出相應(yīng)數(shù)據(jù)，否則繼續(xù)迭代.收斂的判斷準(zhǔn)則為當(dāng)前得到的控制量和參量的值相對(duì)于前一步得到的值的增量小于一給定的小量.

4 覆蓋范圍仿真分析

考慮到飛行器在高空飛行時(shí)由于氣動(dòng)力較小，其相應(yīng)的機(jī)動(dòng)能力較低，同時(shí)為了減少計(jì)算量提高優(yōu)化速度，飛行器從120 km再入至飛行路徑角變?yōu)榱愕碾A段采用常值大攻角和零傾側(cè)角進(jìn)行軌跡積分獲得其縱程和橫程，剩余軌跡則采用本文的方法進(jìn)行優(yōu)化.本文的仿真初始條件為:初始高度74.84 km，初始速度為6 603.02 m/s，飛行路徑角為0.結(jié)合飛行器的總體參數(shù)，采用無(wú)量綱化方程(1)以及1.2節(jié)中的軌跡優(yōu)化模型，應(yīng)用序列梯度－修復(fù)算法，按第1節(jié)中的優(yōu)化步驟進(jìn)行優(yōu)化分析，得到再入飛行器的覆蓋范圍分析結(jié)果如下圖2～7所示.

圖2 再入速度曲線

圖3 法向過(guò)載曲線

圖4 動(dòng)壓曲線

圖5 駐點(diǎn)熱流曲線

圖6 三維軌跡

圖7 縱橫程曲線

從圖2～5中可以看出:所有軌跡的末端速度均為2 000 m/s;所有軌跡中的最大法向過(guò)載為3.002，其余均小于等于3.0;所有軌跡中的最大動(dòng)壓為91.6 kPa，其余均小于等于90.0 kPa;所有軌跡的最大駐點(diǎn)熱流為2 583.0 kW/m2，其余均≤2 500.0 kW/m2;在誤差范圍內(nèi)所有軌跡均滿足相應(yīng)約束的要求.同時(shí)由圖6可以看出為了獲得較大的縱程和橫程，在氣動(dòng)特性允許的范圍內(nèi)飛行器采用跳躍的軌跡飛行，但跳躍的最大高度均≤65 km，且由圖7可以得到具體優(yōu)化結(jié)果如下:

1)優(yōu)化滿足再入約束條件下的最大縱程軌跡，得到再入飛行器的最大縱程為12 680 km;

2)優(yōu)化滿足再入約束條件下的最小縱程軌跡，得到再入飛行器的最小縱程為2 616 km;

3)優(yōu)化滿足再入約束條件下的左邊最大橫程軌跡，得到再入飛行器的左邊最大橫程為－4 721.2 km，其對(duì)應(yīng)的縱程為6 237.0 km;

4)以左邊最大橫程所對(duì)應(yīng)的縱程為分界點(diǎn)分別取固定縱程 4 525.6、7 936.2、9 552.8、10 843.0和11 783.0 km，分析其對(duì)應(yīng)的左邊最大橫程，如圖7所示;

5)以左邊最大橫程軌跡為參考，優(yōu)化右邊最大橫程軌跡，得到再入飛行器右邊的最大橫程為5 026.4 km;

6)以左邊最大橫程軌跡為參考，優(yōu)化固定縱程 4 525.63、7 936.2、9 552.8、10 843.0 和11 783.0 km對(duì)應(yīng)的右邊最大橫程，如圖7所示;

同時(shí)，從圖6中可以看出，由于地球的自轉(zhuǎn)影響，升力式再入飛行器的覆蓋范圍為1個(gè)左右不對(duì)稱(chēng)的扇形區(qū)域.依據(jù)橢圓面積公式大概可以估算得到其覆蓋范圍的面積約為7.226×107km2，合7 226萬(wàn)平方公里.

4 結(jié)論

本文將再入飛行器的覆蓋范圍生成問(wèn)題轉(zhuǎn)化成滿足再入約束條件下的最大縱程、最小縱程、最大橫程以及一定縱程下最大橫程的軌跡優(yōu)化問(wèn)題.并采用序列梯度－修復(fù)算法來(lái)解這一系列的軌跡優(yōu)化問(wèn)題，最終得到了再入飛行器的覆蓋范圍.從整個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程中可以看出:

1)本文給出的覆蓋范圍生成步驟合理可行;

2)采用序列梯度－修復(fù)算法能夠?qū)Ω采w范圍生成這一類(lèi)軌跡優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化分析，并具有較好的優(yōu)化效果;

3)升力式再入飛行器的覆蓋范圍為1個(gè)左右不對(duì)稱(chēng)的扇形區(qū)域.

［1］NGO A D，DOMAN D B.Footprint determination for reusable launch vehicles experiencing control effector failures［R］.Rston，VA:AIAA，2002，AIAA －2002 －4775.

［2］LU P，XUE S B.Rapid generation of accurate entry landing footprints［R］.Rston，VA:AIAA，2009，AIAA－2009－5772.

［3］HARPOLD J C，GRAVES C A.Shuttle entry guidance［R］.Washington，DC:NASA，1979，NASA － TM －79949.

［4］SARAF A，LEAVITT J A，MEASE K D.Landing footprint computation for entry vehicles［R］.Reston，VA:AIAA，2004，AIAA－2004－4774.

［5］JACKSON M C，STRAUBE T M，F(xiàn)ILL T J，et al.Onboard determination of vehicle glide capability for the shuttle abort flight manager(SAFM)［R］.Piscataway:IEEE，2002.

［6］雍恩米.高超聲速滑翔式再入飛行器軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)方法研究［D］.長(zhǎng)沙:國(guó)防科技大學(xué)，2008.

［7］李瑜.助推－滑翔導(dǎo)彈彈道優(yōu)化與制導(dǎo)方法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009.

［8］MIELE A，PRITCHARD R E，DAMOULAKIS J N.Sequential gradient-restoration algorithm for optimal control problems［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1970，5(4):235 －282.

［9］MIELE A，DAMOULAKIS J N，CLOUTIER J R，et al.Sequential gradient-restoration algorithm for optimal control problems with nondifferential constraints［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1974，13(2):218－255.

［10］GONZALEZ S，MIELE A.Sequential gradient-restoration algorithm for optimal control problems with general boundary conditions［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1978，26(3):395 －425.

［11］ROM M，AVRIEL M.Properties of the sequential gradient-restoration algorithm(SGRA)，part 1:introduction and comparison with related methods［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1989，62(1):77 －98.

［12］ROM M，AVRIEL M.Properties of the sequential gradient-restoration algorithm(SGRA)，part 2:convergence analysis［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，1989，62(1):99 －125.

［13］MIELE A，WANG T.Multiple-subarc gradient-restoration algorithm，part 1:algorithm structure［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2003，116(1):1－17.

［14］MIELE A，WANG T.Multiple-subarc gradient-restoration algorithm，part 2:application to a multistage launch vehicle design［J］.Journal of Optimization Theory and Applications，2003，116(1):19 －39.

Calculation of reachable landing locations of lift entry vehicle

FU Yu1，YANG Wei-li2，CUI Nai-gang1

(1.School of Astronautics，Harbin Institute of Technology，150001 Harbin，China;2.Defense Technology Information Center，100142 Beijing，China)

In this paper，the problem of reachable landing locations generation is transformed into trajectory optimization of maximum downrange，minimum downrange，maximum crossrange and maximum crossrange at specified downrange under entry constraints，and the sequential gradient-restoration algorithm is used to solve the trajectory optimization problem.Numerical simulations are performed，and the simulation results show that the technology of reachable landing locations generation for lift entry vehicle is reasonable and feasible，and the reachable landing locations generation of lift entry vehicle is left-right asymmetry fan-shaped region.

lift entry vehicle;reachable landing locations;trajectory optimization;sequential gradient-restoration algorithm

V412

A

0367－6234(2012)11－0013－07

2011－10－11.

國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室基金資助項(xiàng)目(HIT2009093).

傅 瑜(1985—)，男，博士研究生;

崔乃剛(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師.

傅 瑜，fuyulucky13@163.com.

book=19,ebook=265

(編輯 張 宏)