孫志春，周志立，李 言，謝基龍，謝云葉

(1.西安理工大學機械與精密儀器工程學院，陜西西安710048;2.濟寧職業(yè)技術(shù)學院，山東濟寧272037;3.河南科技大學車輛與動力工程學院，河南洛陽454900;4.北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京100044)

由大量的剛體和控制單元組成的機械和車輛多體系統(tǒng)的動態(tài)問題可用相關(guān)的多體系統(tǒng)軟件進行有效的研究分析。但隨著車輛高速化、重載化以及結(jié)構(gòu)輕量化的不斷發(fā)展，越來越要求能準確合理可靠地處理系統(tǒng)中的彈性體結(jié)構(gòu)，并對其進行非線性動力學分析;在此基礎(chǔ)上建立剛?cè)狁詈系能囕v系統(tǒng)動力學模型，對車輛系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動進行更為精確、快速的計算分析。在已發(fā)展和建立起來的多個基于物體小彈性變形的多體分析方法中，變形可表示為隨空間振型和時間變化的模態(tài)坐標的線性組合，振型可通過解析解或有限元方法獲得。

進行多體系統(tǒng)仿真分析，應首先建立多體系統(tǒng)運動方程的矩陣。對于可將物體模擬為具有解析解的簡單彈性體情況，理論已比較完善［1，2］。而對形狀復雜且無解析解的彈性體，可采用有限元方法計算的結(jié)果，來獲取彈性體特征的描述信息并形成多體系統(tǒng)軟件中表示彈性體的標準信息［3，4，5］，為構(gòu)成系統(tǒng)方程的矩陣做準備。

由于車輛多體系統(tǒng)動力學分析受自由度數(shù)目的限制，直接用有限元模型處理其中的彈性體，會導致系統(tǒng)自由度太多，不宜于多體系統(tǒng)的建模與求解。因此，文章采用超單元法來縮減處理某專用車輛多體系統(tǒng)中彈性底架，建立有“動特征”的底架彈性體模型，使得求解的自由度數(shù)大為減少又不失精確性。在此基礎(chǔ)上，通過引入車輛系統(tǒng)中的其他非線性因素建立了該種車輛的剛?cè)狁詈蟿恿W模型，并計算分析了車輛系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動特性，及運行速度等參數(shù)對車輛結(jié)構(gòu)振動的影響。

1 車輛多體系統(tǒng)中彈性體運動學分析原理

在多體系統(tǒng)中的任一彈性體可通過連接元件與其它物體連接。各物體間的作用力和力矩由這些連接元件表示，同時還應考慮作用于表面的面力和由重力等因素引起的體積力。為說明彈性體的運動狀態(tài)，在此使用三種廣義坐標系(見圖1)。第一種是慣性坐標系{OI，eI}(OI是原點，eI是慣性坐標系的單位矢量;以下類同)，來確定物體的方位。第二種是參考坐標系{Oi，ei}，它固定于彈性體上，相對上述慣性坐標系建立的。第三種是彈性變形坐標系{Pi，ei}，它相對于上述參考坐標系而建，可使用物體的有限元模型。

現(xiàn)考慮圖1中所示的任一彈性體i，在參考坐標系中求解所有的量。圖中狀態(tài)變量ri、Ai、vi和wi分別表示參考坐標系的位置、方向、線速度和角速度。對于固定于彈性體上的參考坐標系，相對于慣性坐標系做大的運動，可由位置矢量ri和方向矩陣Ai描述出來。而物體的相對變形可用相對于參考坐標系由矢量定義的任意材料點P的運動來描述。在小變形情況下，物體的運動和動態(tài)方程可相對于其初始狀態(tài)按一階泰勒展開式進行線性化處理。對于物體上各點的變形，可以通過相對坐標系的方向矩陣和位移矢量來計算。在上述基礎(chǔ)上，彈性變形坐標系相對于慣性坐標系的運動就可以描述出來。

圖1 彈性體坐標系Fig.1 Coordinate system of a elastic body in multibody system

2 車輛多體系統(tǒng)中彈性體變形有限元分析與運動方程

由于結(jié)構(gòu)上的復雜性，對多數(shù)彈性體，很難用連續(xù)簡化模型來精確表示，所以用更一般的有限元程序計算求出標準信息，再由多體系統(tǒng)中的前處理器來讀取有限元軟件程序的計算結(jié)果并計算標準信息文件。眾多算例已經(jīng)表明，對多體系統(tǒng)中具有復雜幾何形狀和復合材料特性的彈性體，用有限元法先行計算分析彈性體的模態(tài)等固有動態(tài)特性是可行的，以獲取多體系統(tǒng)中所需的振型等信息。

2.1 車輛多體系統(tǒng)彈性體變形的有限元分析

由機械振動理論可知［8］，靜態(tài)振型和特征振型是相互正交的。由式(4)可見，彈性體變形既可通過靜態(tài)振型求解也可通過特征振型計算，可大大縮減計算自由度，方便彈性體的計算。而通用的有限元程序可處理任意形狀和材料特性的彈性體，因而結(jié)合有限元法，將大大拓寬多體系統(tǒng)的運用范圍。

2.2 彈性體運動方程

基于以上分析，結(jié)合約旦虛功原理和達朗伯原理，利用有限元分析可得出彈性體的運動方程。在有限元分析中，可通過求解下式(5)來計算結(jié)構(gòu)特征值:

求出的nq個特征振型ΦJm可用矩陣ΦJ表示，即:ΦJ=［ΦJ，……，ΦJnq］。

根據(jù)以上有限元分析得出的特征振型矩陣ΦJ、質(zhì)量矩陣MJ、剛度矩陣KJ以及幾何剛性矩陣KσJ完成下面的模態(tài)轉(zhuǎn)換:

進而可得出彈性體i的運動方程。另外，彈性體有限元坐標X可通過由有限元建立的一組對應的解耦廣義坐標Xj和振型矩陣:ΦJ變換得出，即:X=:，將其按泰勒展開，取前兩項:

把上面對彈性體的有限元分析結(jié)果(結(jié)構(gòu)和特征信息)通過多體系統(tǒng)程序讀入，并經(jīng)過轉(zhuǎn)換形成多體系統(tǒng)中所需的標準輸入數(shù)據(jù)文件，結(jié)合多體系統(tǒng)中其它因素的處理即可建立剛?cè)狁詈系亩囿w系統(tǒng)模型，進而進行動態(tài)仿真和計算分析。

3 車輛多體系統(tǒng)中彈性底架的模態(tài)分析

某型專用車輛中的底架是直接裝載貨物的承載部件，相對系統(tǒng)中的其他構(gòu)件，其結(jié)構(gòu)長，運行中彈性問題突出，因而需要把它考慮為彈性體。其為箱型鋼板焊接結(jié)構(gòu)，在此采用四邊形板單元shell63對其進行有限元建模(有限元模型如圖2所示)。模型中各部分結(jié)構(gòu)和尺寸完全按照其結(jié)構(gòu)實際情況，網(wǎng)格劃分要求幾何形狀與原結(jié)構(gòu)一致，并疏密結(jié)合，這樣既可以減少節(jié)點數(shù)、提高計算效率，又可以保證計算精度。

為在多體系統(tǒng)分析中能反映出底架的振動特性，須對其的固有動態(tài)特性進行詳細分析，因而有必要對底架有限元模型進行模態(tài)分析。在此采用蘭索斯法分析彈性構(gòu)架的模態(tài)，計算其前20階模態(tài)，得到了各階固有頻率及振型。由于在實際運用中底架主要承受低頻載荷［9］，高頻率的振型對結(jié)構(gòu)振動響應的影響很小，可以忽略。因此取其中前8階模態(tài)來做分析，結(jié)果見表1。

圖2 底架有限元模型Fig.2 Finite－element model of the chassis underframe

由于彈性底架結(jié)構(gòu)比較復雜，同時考慮到系統(tǒng)動力學分析中對自由度數(shù)目的限制，用有限元超單元法［10］建立底架彈性體有動特征的模型，使描述底架的節(jié)點數(shù)和自由度數(shù)大為減少，但又不失計算結(jié)果的準確性，達到即縮減模型自由度又提高計算效率的目的。

在此采用Guyan縮減法將彈性矩陣問題縮減為一個較小主自由度集矩陣問題。由于縮減質(zhì)量矩陣的精度取決于主自由度的位置和數(shù)目，所以對于較復雜的底架在手動選擇一部分主自由度的同時，也讓有限元程序自動選擇一些自由度，這樣可彌補可能被遺漏的模態(tài)點。這里將整個底架作為一個超單元來處理，共選取了236個主節(jié)點，共1416個主自由度。

對生成的底架超單元進行模態(tài)求解，得到的模態(tài)解與振型(也取前8階)見表1。比較用超單元與有限元模型計算出的底架模態(tài)結(jié)果，可見在前8階內(nèi)彈性振型頻率最大相對誤差為0.83%。由此可見，用超單元法計算的底架模態(tài)結(jié)果精度是足夠高的，且通過實際應用表明能滿足車輛系統(tǒng)振動分析要求。

表1 底架有限元及超單元模型模態(tài)計算結(jié)果Table 1 Calculated modal results of the finite－element model and superelement of the chassis underframe

4 應用

基于上面的分析，將底架的彈性信息輸入到多體系統(tǒng)中實現(xiàn)對其的彈性模擬，在對所關(guān)心的因素進行合理處理后，建立了含有該底架彈性體的剛彈耦合的車輛多體系統(tǒng)動力學模型(見圖3)，并進行了計算分析，獲得了幾種典型運行速度下車輛系統(tǒng)的振動響應。在選取的參考點上，將不同速度下的模擬計算結(jié)果——垂向加速度(見圖4，在此僅列出60 km/h和80 km/h兩種速度下的歷程)與實驗結(jié)果進行比較(見表2，表中列出了五種速度下的結(jié)果)。表2中，g為重力加速度。

圖3 專用車輛系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿恿W模型Fig.3 Rigid－flexible coupling dynamics model of the special vehicle system

通過分析結(jié)果，可以看出在將底架作為彈性體考慮后，參考點處的模擬計算結(jié)果與實測結(jié)果基本吻合，誤差都沒有超過3.77%。因而，可以滿足工程需要，能對該車輛系統(tǒng)振動特性進行可靠分析。通過分析，還可以看出，在60 km/h～100 km/h之間振動加速度在90 km/h上下時有一極大值;主要原因是:在此速度上下運行時，線路形成的激擾頻率與車輛的底架一階固有頻率相接近，因而應避免在此速度上下運行。

圖4 不同速度下參考點處的振動響應Fig.4 Vibration responses on selected point under different velocities

表2 幾種速度下模擬計算值與實測值及其比較Table 2 Measured values，calculated values，and their relative errors under different velocities

5 結(jié)論

為精確和快速地分析車輛系統(tǒng)的振動特性，文章將多體系統(tǒng)與有限元理論相結(jié)合，研究分析了彈性體在多體系統(tǒng)中的運動學描述、變形和運動方程，以及用有限元法描述彈性體特征的方法，為在多體系統(tǒng)中精確和快速地處理彈性體奠定了理論基礎(chǔ)。

以上述分析原理為基礎(chǔ)，采用了超單元法對專用車輛系統(tǒng)中的底架進行處理，建立了有動特征的底架彈性體模型，使所描述底架的自由度減少，因而大大縮小了計算規(guī)模，同時又保證了結(jié)果的精確性。結(jié)合車輛中其他所關(guān)心因素的合理處理，建立了該種車輛系統(tǒng)的剛?cè)狁詈蟿恿W模型，并計算分析了典型速度下車輛系統(tǒng)的振動特性。

計算分析結(jié)果表明，在感興趣的頻率范圍內(nèi)底架各彈性振型頻率的最大誤差為0.83%;且在參考點處，典型運行速度下，該車輛系統(tǒng)振動模擬結(jié)果與實測值接近，最大誤差不超過3.77%。因而，這種放處理方法的精度是十分高的，也是可靠的，能滿足工程系統(tǒng)結(jié)構(gòu)振動分析的需要。振動加速度在90 km/h上下時有一極大值，為保證車輛運行安全，應避開此速度。

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