褚衍彪

(中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院，江蘇徐州 221116;棗莊學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，山東棗莊 277160)

近年來，人們已經(jīng)意識到了小波變換不是表示自然圖像的最好選擇，由一維小波通過張量積形成的二維可分離小波變換只能表示一維點奇異信息，而不能有效地描述圖像中的二維或高維奇異信息，如線、輪廓等重要信息。為了解決小波這一局限性，新的變換理論不斷發(fā)展。2002年DOMN和Vetterlim提出了一種“真正”的二維圖像稀疏表達方法—Contourlet變換［1，2］，這是一種結(jié)合多分辨率分析和方向性濾波的小波變換，它除了具有一般小波變換的多尺度、時頻局域性外，還具有多方向性、各向異性等特征，能有效地捕獲到自然圖像中的輪廓，并對其進行稀疏表示。由于Contourlet變換能更好地捕獲圖像的邊緣信息，因此選擇合適的閾值進行去噪就能獲得比小波變換更好的效果。DOMN和Vetterlim正是利用這個原理進行圖像去噪的［2］。但是，這些降噪方法只是簡單地利用通用閾值來截取信號，而沒考慮Contourlet域系數(shù)的分布特點，因此，這些算法不是最優(yōu)的。

本文在平移不變Contourlet的圖像去噪方法［9］的基礎(chǔ)上提出了一種隨像素自適應(yīng)調(diào)整的混合高斯模型(Gaussian Mixture Mode)，通過對Contourlet系數(shù)分類，利用鄰域窗口中的分類信息對模型參數(shù)進行估計，使得模型具有空間自適應(yīng)性。實驗結(jié)果顯示，此方法能獲得更好的視覺效果和更高的PSNR，尤其是對那些包含了豐富的細節(jié)和紋理的圖像。

1 Contourlet變換

Contourlet變換是一種“真”二維圖像稀疏表達方法，它不僅繼承了小波變換的多分辨率時頻分析特征，而且具有高度的方向性和各向異性。Contourlet的基函數(shù)有2n(n表示二維定向濾波器n級分解)種方向，以及靈活的縱橫比，可以將圖像分解到任意的2n個方向子帶上，因此Contourlet可以以近似最優(yōu)的效率表示任何一維的平滑邊緣，它能用比小波變換更少的系數(shù)來表達光滑的曲線，可以很好地逼近圖像的幾何結(jié)構(gòu)。如圖1所示。

Contourlet變換將尺度分析和方向分析分步進行。首先，該變換對原始圖像進行LP(Laplacian Pyramid)分解，生成一路低通子圖像和一路帶通子圖像，其中，帶通子圖像是由原始圖像和預(yù)測圖像之差，然后利用DFB(Directional Filter Bank)對生成的帶通圖像進行di(di=1，2，…n，i=1，2…p)級方向分解，將頻域分解成為2di個楔型(Wedge Shape)子帶。對前一次LP分解生成的低通采樣信號可以進行進一步的LP分解，這個過程可以進行p(p=1，2…，n)次迭代，并且每層中的方向分解級數(shù)2dp可以不同，如圖2。變換中，LP變換對圖像進行多尺度分解以“捕獲”點奇異，接著由方向濾波器組將分布在同方向上的奇異點合成為一個系數(shù)。因此，Contourlet變換的最終結(jié)果是用類似于線段(Contour Segment)的基結(jié)構(gòu)來逼近原圖像。圖3給出了Lena圖像經(jīng)過Contourlet變換后的各個方向子帶。

2 Contourlet系數(shù)高斯混合模型(Gaussian Mixture Mode)

Chipman等針對一維信號，將每個系數(shù)的概率密度函數(shù)視為兩個均值為零、方差不同的正態(tài)分布之和，提出了高斯混合模型［3］。設(shè) θ代表某一尺度中的 Contourlet系數(shù)，θ|γ ～ γ·N(0，c2τ2)+(1 － γ)·N(0，τ2)(1).其中γ服從貝努利分布，其先驗概率為:P(γ=1)=1－P(γ=0)=p(2)，該模型有三個參數(shù):P，c，τ它們隨尺度自適應(yīng)變化。對于二維圖像，設(shè) Y［i，j］=X［i，j］+V［i，j］分別代表觀測到的含噪圖像、真實圖像以及噪聲的Contourlet系數(shù)。我們借鑒Chipman的思想，每個系數(shù)仍建模為兩個均值為零、方差不同的正態(tài)分布之和，但每個系數(shù)的參數(shù)卻是自適應(yīng)調(diào)整的。X［i，j］的大、小方差用［i，j］，［i，j］表示，則:X［i，j］～ P［i，j］·N(0，［i，j］)+(1 － P［i，j］)·N(0，［i，j］)(3)，模型中同樣有三個參數(shù)，其中 P［i，j］代表 X［i，j］為大方差的概率。

3 模型參數(shù)估計

3.1 Contourlet系數(shù)分類

為了得到隨像素自適應(yīng)調(diào)整的模型參數(shù)，首先將Contourlet系數(shù)進行分類。Chang等在子帶自適應(yīng)BayesShrink閾值基礎(chǔ)上，提出了空間自適應(yīng)閾表噪聲方差，可用 Donoho 提出的方法進行估計［9］; σ［i，j］代表當(dāng)前系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，文獻［4］中由 X［i，j］的上下文模型對 σ［i，j］進行估計，計算復(fù)雜度高。本文利用(4)式的局部貝葉斯閾值對Contourlet系數(shù)進行分類，但對σ［i，j］的估計做了簡化(6)N［i，j］是以當(dāng)前系數(shù) y［i，j］為中心的正方形窗口，|N［i，j］|表示窗口中系數(shù)的個數(shù)。定義子帶二值掩是系數(shù)依據(jù)其對應(yīng)的掩模值是1或0被分成兩類。

3.2 參數(shù)估計

圖像Contourlet子帶內(nèi)系數(shù)具有局部空間聚集性，某系數(shù)的統(tǒng)計特性可視為其鄰域系數(shù)的函數(shù)［5，6，7］。X［i，j］的大、小方差以及 P［i，j］均可分別利用鄰域窗口 N［i，j］中已分類的系數(shù)信息進行估計。設(shè) N1［i，j］，N0［i，j］分別是鄰域N［i，j］中掩模值為1，0的系數(shù)所組成的集合。由于掩模值為1的系數(shù)幅度較大，這些大系數(shù)在 N［i，j］中所占的比例顯然是 P［i，j］的一個簡單卻有效的估方差［i，j］估計則僅利用N［i，j］中掩模值為1的大系數(shù):［i，j］=max

模型及參數(shù)確定以后，在高斯白噪聲條件下，根據(jù)貝葉統(tǒng)計理論的后驗均值估計技術(shù)，從含噪觀測數(shù)據(jù)Y得到真實圖像數(shù)估計:

其中H［i，j］相當(dāng)于一種加權(quán)Wiener濾波器。

4 基于平移不變Contourlet域混合高斯模型圖像去噪方法

由于Contourlet變換缺乏平移不變性，因此在應(yīng)用它進行去噪時會帶來人為的視覺效果，為克服這些人為視覺效果，這里引入了基于循環(huán)平移的平移不變Contourlet去噪算法。

本文在平移不變Contourlet方法的基礎(chǔ)上提出了一種隨像素自適應(yīng)調(diào)整的混合高斯模型去噪方法。

完整的去噪算法描述為:

①初始化。令i=0，j=0，設(shè)定行和列方向上的最大平移量N1和N2。同時設(shè)定Contourlet變換的中LP分解層數(shù)K和每層中的方向分解數(shù)Lk。②對輸入的帶噪圖像I在行和列方向上進行一定位移量的循環(huán)平移，有Sij=Ci，j(I)(9)其中，i∈(0，N1)和j∈(0，N2)分別為行和列方向上的平移量;③對平移圖像Sij進行 Contourlet稀疏分(10)其中，T(·)為 Contourlet變換。得到一幅低頻子圖像Slf和一系列具有不同分辨率的高頻子圖像，k∈(1，K)和l∈(1，Lk)標(biāo)明子圖像位于第k層LP的第l方向。④對Contourlet域高頻子圖像按(6)式計算［i，j］按(5)式計算σ^［i，j］，按(4)式得到局部貝葉斯閾值T［i，j］;⑤按(7)式求出每個系數(shù)對應(yīng)的掩模值，即對系數(shù)進分類;⑥分別按式(8)～(10)對模型參數(shù)繼續(xù)估計;⑦按(11)式得到真實圖像系數(shù)的估計。⑧對第(7)步得到的所有降噪高頻子圖像和第(3)步中的低頻子圖像Slf實施Contourlet逆變換，得到在行和列方向上分別平移 i和 j后的降噪圖tourlet逆變換。⑨對第(8) 步中得到的圖像進行相應(yīng)平移量的逆向循環(huán)平移，(13)。⑩重復(fù)步驟(2)～步驟(6)，直到i=N1和j=N2為止，停止重復(fù)。?對所有的

圖4 不同噪聲水平下的降噪結(jié)果比較Fig.4 The noise redudion resuits comparision under different kinds of noise levels

5 試驗結(jié)果與分析

為了檢驗算法的正確性和有效性，本文采用尺寸為512×512的標(biāo)準(zhǔn)Lena灰度圖像，對其分別疊加均值為零、不同強度(σn=20、30、40、50)的高斯白噪音，得到噪音圖像，然后利用本文方法對它們進行降噪處理。為了比較，實驗中還采用平移不變小波去噪(WT－TI)，平移不變Contourlet去噪(CT－TI)和平移不變Contourlet混合高斯模型去噪(CT－TI－GMM)。圖4為在不同噪音水平下，采用不同降噪方法進行降噪的結(jié)果。圖中(a)至(d)分別代表σn=20、30、40和50情況下的帶噪圖像和處理結(jié)果，其中每一行的第一至五列分別為平移不變Contourlet去噪(CT－TI)和平移不變Contourlet混合高斯模型去噪(CT－TIGMM)方法的降噪結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn)，本文方法較其他幾種降噪方法具有更好地降噪效果。

為了客觀地衡量算法的降噪性能，表1給出了用均方誤差(MSE)及峰值信噪比(PSNR)衡量的性能指標(biāo)，表中的各項指標(biāo)均為20次實驗的平均值。無論是PSNR刻畫方面，還是MSE刻畫方面，本文方法均明顯優(yōu)于平移不變小波去噪(WT－TI)和平移不變Contourlet去噪(CT－TI)。另外，從表中不難發(fā)現(xiàn)，隨著噪聲水平的升高，本方法降噪圖像的指標(biāo)(PSNR和MSE)較另外兩種方法提高幅度不斷增大，表明本文降噪方法的優(yōu)勢越發(fā)明顯。

表1 不同噪音水平下降噪結(jié)果的評價指標(biāo)比較Table 1 The evalution index comparison of the noise reduction results under different kinds of noise levels

6 結(jié)論

本文利用圖像子帶內(nèi)部Contourlet系數(shù)的空間相關(guān)性，在平移不變Contourlet去噪方法的基礎(chǔ)上提出了一種隨像素自適應(yīng)調(diào)整的混合高斯模型去噪方法。該方法通過對Contourlet系數(shù)分類，每個系數(shù)的混合高斯模型參數(shù)可由該系數(shù)鄰域窗口中的分類系數(shù)信息進行估計。與文中提到的幾種方法相比，該方法更好的平滑了噪聲，保持了更多的邊緣和紋理細節(jié)，視覺效果也更好。

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