唐江凌， 蔡從中， 皇思潔， 肖婷婷

（重慶大學(xué)應(yīng)用物理系，重慶 401331）

Al-Cu-Mg-Ag系鋁合金是在2000系合金的基礎(chǔ)上通過(guò)提高合金化元素純度和改變合金元素含量以及利用新的時(shí)效工藝發(fā)展起來(lái)的。因?yàn)榫哂休^高的強(qiáng)度和熱穩(wěn)定性，Al-Cu-Mg-Ag系鋁合金是航空航天工業(yè)上很有發(fā)展?jié)摿Φ闹袦馗邚?qiáng)材料，具有廣闊的應(yīng)用前景。目前，國(guó)內(nèi)外新型Al-Cu-Mg-Ag合金已經(jīng)從機(jī)理研究進(jìn)入實(shí)際應(yīng)用開(kāi)發(fā)階段［1～5］。

力學(xué)性能是鋁合金的一個(gè)極其重要的性能指標(biāo)，而抗拉強(qiáng)度、屈服強(qiáng)度則是鋁合金材料力學(xué)性能的主要參數(shù)。因此，在生產(chǎn)鋁合金的工藝過(guò)程中，通過(guò)建立加工工藝參數(shù)與合金力學(xué)強(qiáng)度關(guān)系的預(yù)測(cè)模型，對(duì)于準(zhǔn)確估計(jì)該鋁合金的力學(xué)性能具有十分重要的指導(dǎo)意義。然而，由于加工過(guò)程中各工藝參數(shù)與合金力學(xué)強(qiáng)度之間呈現(xiàn)出高度的非線性特性，傳統(tǒng)的預(yù)測(cè)模型很難精確地描述它們之間的復(fù)雜關(guān)系。因此，一些新的建模方式，如偏最小二乘（PLS）、反向傳播人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）等方法被用來(lái)建立鋁合金的力學(xué)性能預(yù)測(cè)模型［6，7］。盡管這些方法能較好地預(yù)測(cè)鋁合金的力學(xué)性能，但它們的預(yù)測(cè)精度還不夠高，泛化能力也不夠理想。所以，進(jìn)一步探索和尋求更加準(zhǔn)確、有效的理論預(yù)測(cè)方法很有必要。

支持向量機(jī)（Support Vector Machines，SVM）是20世紀(jì)90年代由Vapnik等［8］提出的一種新的機(jī)器學(xué)習(xí)方法。它是在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論（Statistical Learning Theory，SLT）的VC維理論和結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化（Structure Risk Minimization，SRM）準(zhǔn)則基礎(chǔ)上，由給定的有限樣本信息，對(duì)經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和泛化性能進(jìn)行折中，以得到最佳的訓(xùn)練和泛化性能。近幾年SVM在其理論研究和算法實(shí)現(xiàn)方面都取得了突破性進(jìn)展，并逐漸成為克服“維數(shù)災(zāi)難”和“過(guò)學(xué)習(xí)”等傳統(tǒng)困難的有力工具，在分類和回歸分析領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用［9-15］。當(dāng)SVM用于回歸預(yù)測(cè)時(shí)，又被稱為支持向量回歸（Support Vector Regression，SVR）。

本研究利用文獻(xiàn)［7］報(bào)道的Al-Cu-Mg-Ag鋁合金在不同的時(shí)效工藝下的強(qiáng)度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集，應(yīng)用基于粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)的SVR方法，對(duì)該鋁合金的強(qiáng)度性能進(jìn)行建模和預(yù)測(cè)研究，并與文獻(xiàn)［7］報(bào)道的應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較。

1 原理和方法

1.1 支持向量回歸原理

設(shè)樣本集為（x1，y1），…，（xm，ym）（xm∈Rn是n 維輸入變量，y∈R是相應(yīng)的輸出變量，m為樣本個(gè)數(shù)），尋找一個(gè)輸入空間到輸出空間的非線性映射Φ（x），通過(guò)該映射，將樣本集中的數(shù)據(jù)x映射到高維特征空間F，并在特征空間F中用下述線性函數(shù)進(jìn)行擬合，即:

式中w是回歸系數(shù)向量，b是閾值。由于Φ固定不變，因此影響w的是經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)的總和以及使其在高維空間平坦的 w2，即:

上兩式中，R（C）為風(fēng)險(xiǎn)泛函，Lε（f（xi）-yi）是損失函數(shù)，C是懲罰因子，ε是誤差。為了控制函數(shù)的復(fù)雜性，應(yīng)使線性回歸函數(shù)盡量平坦，并考慮可能超出精度的回歸誤差，引入松弛因子ξ*和ξ以處理未滿足（3）式的數(shù)據(jù)點(diǎn)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)化準(zhǔn)則，SVR通過(guò)極小化目標(biāo)函數(shù)R（w，ξi，ξ*i）來(lái)確定（1）式中的w和b:

上式 R（w，ξi，）中第一項(xiàng)是使回歸函數(shù)更為平坦，泛化能力更好，第二項(xiàng)則為減少誤差，懲罰因子C是一個(gè)常數(shù)，且C＞0，用來(lái)控制對(duì)超出誤差ε的樣本的懲罰程度。為求w和b，建立拉格朗日方程:

要使（5）式取得最小值，對(duì)于參數(shù)w，b，ξi，ξ*i的偏導(dǎo)都應(yīng)等于零。即:

代入（5）式，可以得到對(duì)偶優(yōu)化問(wèn)題:

由此，支持向量機(jī)的函數(shù)回歸問(wèn)題就可以歸結(jié)為對(duì)偶優(yōu)化問(wèn)題（7）。求解該對(duì)偶優(yōu)化問(wèn)題，可以得到用訓(xùn)練樣本點(diǎn)表示的w:

式中 αi和是最小化R（w）的解。由此可求得線性回歸函數(shù):

式中k（x，xi）=Ф（x）·Ф（xi）為核函數(shù)。選擇不同形式的核函數(shù)就可以生成不同的SVR回歸模型。常用的核函數(shù)有:徑向基函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)、感知器函數(shù)、線性函數(shù)等。本工作采用徑向基函數(shù)（10）來(lái)建立SVR回歸模型:

1.2 支持向量回歸參數(shù)的粒子群算法尋優(yōu)

由于SVR回歸模型的泛化性能很大程度上依賴于不敏感損失函數(shù)ε、誤差懲罰因子C和核函數(shù)參數(shù)γ等3個(gè)參數(shù)。因此，對(duì)（ε，C，γ）參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)是十分關(guān)鍵的。本研究采用PSO算法來(lái)尋找最優(yōu)組合參數(shù)（ε，C，γ）。

PSO 是由 Eberhart和 Kennedy［16］模擬鳥群的飛行捕食行為而于1995年提出的一種高效多維并行尋優(yōu)算法。設(shè)群體中的每個(gè)粒子由3維參數(shù)向量（ε，C，γ）組成，第 i個(gè)粒子在3維解空間的位置為ui=（ui1，ui2，ui3）T，其速度為 vi=（vi1，vi2，vi3）T，當(dāng)前時(shí)刻的個(gè)體極值記為 pibest，全局極值記為 gbest。在每次迭代中，粒子跟蹤個(gè)體極值、全局極值和自己前一時(shí)刻的狀態(tài)來(lái)調(diào)整當(dāng)前時(shí)刻的位置和速度，迭代公式如下:

式中v（t），v（t+1），u（t）和 u（t+1）分別是粒子在當(dāng)前時(shí)刻、下一時(shí)刻的速度和位置;rand（）是［0，1］之間的隨機(jī)數(shù);c1和c2是學(xué)習(xí)因子，通常取為2;ω是權(quán)重因子，為加快收斂速度，其值應(yīng)隨算法迭代的進(jìn)行而自動(dòng)調(diào)節(jié)，一般定義為:

式中ωmax和ωmin分別為最大和最小權(quán)重因子，它們的值一般分別取為0.9和0.4。iter為當(dāng)前迭代次數(shù)，itermax為總的迭代次數(shù)。為了直接反映SVR模型的回歸性能，選用均方根誤差（RMSE）作為適應(yīng)度函數(shù):

式中m是訓(xùn)練樣本數(shù)，yi和^yi分別是第i個(gè)訓(xùn)練樣本目標(biāo)量的實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值。

2 SVR回歸模型的建立

2.1 時(shí)效參數(shù)下的Al-Cu-Mg-Ag合金強(qiáng)度性能實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)集

文中所用Al-Cu-Mg-Ag合金成分如表1。對(duì)合金的工藝處理方式見(jiàn)文獻(xiàn)［7］。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)共27組，是在時(shí)效狀態(tài)的每個(gè)時(shí)效時(shí)間點(diǎn)取兩片Al-Cu-Mg-Ag合金試樣，等時(shí)效完畢后再測(cè)量試樣在室溫下的抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度，取其平均值（詳見(jiàn)表2）。

2.2 模型的建立

為了與文獻(xiàn)［7］中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行直接比較，本研究也采用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集中的前25個(gè)樣本進(jìn)行建模，并將后兩組（第26和27組）樣本作為測(cè)試樣本用于檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)能力。其中，時(shí)效溫度、時(shí)效時(shí)間兩個(gè)工藝參數(shù)作為模型的輸入變量，抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度兩個(gè)力學(xué)性能量為輸出變量。

2.3 模型預(yù)測(cè)性能的評(píng)價(jià)

采用平均絕對(duì)誤差（MAE）、平均絕對(duì)百分誤差（MAPE）對(duì)所建模型的預(yù)測(cè)性能進(jìn)行評(píng)價(jià):

在式（15）和式（16）中n是檢驗(yàn)樣本數(shù)，yj和^yj分別是第j個(gè)檢驗(yàn)樣本的實(shí)測(cè)值和預(yù)測(cè)值。

表1 實(shí)驗(yàn)合金成分Table 1 Composition of Al-Cu-Mg-Ag alloy

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Experimental data

3 結(jié)果分析與討論

表3列出了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和SVR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。由表3可見(jiàn)，無(wú)論是抗拉強(qiáng)度還是屈服強(qiáng)度，SVR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果都更接近于實(shí)測(cè)值。這表明SVR模型的預(yù)測(cè)精度高于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可以用于Al-Cu-Mg-Ag合金強(qiáng)度性能的預(yù)測(cè)。表4對(duì)比了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和SVR模型二者預(yù)測(cè)值的平均絕對(duì)誤差MAE和平均絕對(duì)百分誤差MAPE。表中數(shù)據(jù)顯示，SVR模型的MAE和MAPE都分別小于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。這進(jìn)一步說(shuō)明，SVR模型具有更高的預(yù)測(cè)精度，更好的泛化能力，是一種更有效的預(yù)測(cè)、分析手段。

表3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和SVR模型的預(yù)測(cè)結(jié)果比較Table 3 Comparison of predicted result between BP neural network and SVR

表4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和SVR模型的預(yù)測(cè)性能比較Table 4 Comparison of prediction between BP neural network and SVR

4 結(jié)論

（1）Al-Cu-Mg-Ag合金力學(xué)性能與時(shí)效溫度和時(shí)效時(shí)間關(guān)系密切。隨著溫度升高，合金抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度達(dá)到峰值時(shí)效的時(shí)間變短;隨著時(shí)間加長(zhǎng)，合金抗拉強(qiáng)度和屈服強(qiáng)度下降。

（2）支持向量回歸方法對(duì)Al-Cu-Mg-Ag合金強(qiáng)度性能的預(yù)測(cè)非常有效，其準(zhǔn)確程度超過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，可以用于Al-Cu-Mg-Ag鋁合金時(shí)效過(guò)程中工藝參數(shù)與強(qiáng)度性能的關(guān)系的預(yù)測(cè)和分析。

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