王會(huì)嫻，郝希平，康大偉

(河南科技大學(xué)物理與工程學(xué)院，河南洛陽(yáng)471003)

0 前言

自旋電子學(xué)［1］的主要目的是調(diào)制納米器件中的電子自旋的自由度。人們?cè)诘途S納米尺度的體系中發(fā)現(xiàn)，自旋在很多性能方面要比電荷更優(yōu)越，例如，能耗低，退相干時(shí)間長(zhǎng)等。由于電子自旋自由度可以推動(dòng)信息工業(yè)的快速發(fā)展，所以近幾年自旋電子學(xué)成為非常熱門(mén)的研究課題。人們不但對(duì)自旋輸運(yùn)的應(yīng)用方面做了大量研究，而且也對(duì)支撐自旋輸運(yùn)的量子理論方面做了大量研究。由于AB效應(yīng)［2］的存在，通過(guò)調(diào)控外加磁場(chǎng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)介觀半導(dǎo)體材料中自旋輸運(yùn)的相干操控。另外，自旋－軌道耦合互作用也能引起窄帶半導(dǎo)體中自旋向上電子和自旋向下電子的能級(jí)劈裂［3－7］，并且自旋－軌道耦合互作用可以使電子在閉合路徑中隧穿時(shí)獲得一個(gè)被稱(chēng)為非亞貝爾相的量子相位。在低維介觀體系中，非亞貝爾相和AB相都能誘導(dǎo)破壞性干涉，引起電子局域［2，8］。

量子網(wǎng)絡(luò)中電子輸運(yùn)性質(zhì)的研究成為近幾年研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，這是因?yàn)殡娮釉诹孔泳W(wǎng)絡(luò)中傳輸時(shí)表現(xiàn)出一些有趣的特征，例如，量子干涉，AB磁通與量子網(wǎng)絡(luò)幾何形狀之間的相互作用會(huì)引起電子的局域現(xiàn)象，自旋－軌道耦合互作用引起退局域現(xiàn)象等。文獻(xiàn)［8］研究了一維有限尺寸金剛石鏈中電子的輸運(yùn)性質(zhì)。研究表明:無(wú)論自旋－軌道耦合互作用，還是AB磁通都會(huì)引起電子完全局域，但同時(shí)存在自旋－軌道耦合互作用和AB磁通時(shí)，卻出現(xiàn)退局域現(xiàn)象。文獻(xiàn)［9］提出一維有限尺寸金剛石網(wǎng)絡(luò)自旋過(guò)濾器。另外，文獻(xiàn)［10］也觀察到了同時(shí)存在Rashba自旋－軌道耦合互作用和磁場(chǎng)的一維有限尺寸金剛石網(wǎng)絡(luò)中自旋退局域現(xiàn)象。一維有限尺寸金剛石網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是兩端結(jié)構(gòu)，它的靈活性不及四端網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)［11］研究了二維四端網(wǎng)絡(luò)中電荷電導(dǎo)和自旋電導(dǎo)的標(biāo)度行為，該工作只考慮網(wǎng)絡(luò)中存在自旋－軌道耦合互作用，不涉及AB磁通的影響。

本文主要研究同時(shí)存在磁通和Rashba自旋－軌道耦合的四端介觀量子網(wǎng)絡(luò)中電子自旋的輸運(yùn)特性。該量子網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)由單通道量子線組成的正方回路在頂點(diǎn)連接而成的方系統(tǒng)，在量子線中電子的自旋運(yùn)動(dòng)和軌道運(yùn)動(dòng)互相作用，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)有4個(gè)配位數(shù)，外部節(jié)點(diǎn)連接到理想電極上。理想電極組成方系統(tǒng)的4個(gè)端，在4個(gè)端加上偏壓就可以測(cè)量系統(tǒng)的自旋電流。網(wǎng)絡(luò)中心的方格子中包圍一個(gè)大小為Φ的磁通。在這種情況下，電子在量子網(wǎng)絡(luò)中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)同時(shí)獲得非亞貝爾相和AB相。數(shù)值計(jì)算了自旋電導(dǎo)對(duì)自旋－軌道耦合強(qiáng)度和磁通的依賴(lài)關(guān)系，計(jì)算結(jié)果表明:該量子網(wǎng)絡(luò)中電子的相干傳輸是一種量子干涉和自旋進(jìn)動(dòng)的聯(lián)合效應(yīng)。另外，四端結(jié)構(gòu)中的一些端可以作為柵極控制其他端的自旋流，為調(diào)制自旋的相干輸運(yùn)提供了更多的選擇。

1 模型和基本公式

四端介觀量子網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示。連接任意兩節(jié)點(diǎn)之間的鍵是具有Rashba自旋－軌道耦合互作用的單通道量子線，并且鍵長(zhǎng)為L(zhǎng)。網(wǎng)絡(luò)的四端分別與半無(wú)限長(zhǎng)單通道量子線相連，這些半無(wú)限長(zhǎng)單通道量子線上沒(méi)有Rashba自旋－軌道耦合互作用，它們作為電極，在上面加上偏壓就可以測(cè)量系統(tǒng)的電子輸運(yùn)性質(zhì)。計(jì)算中磁通Φ的表達(dá)式為，其中，Aαβ是鍵上節(jié)點(diǎn)α到節(jié)點(diǎn)β的矢勢(shì)，求和是對(duì)包圍磁通Φ的方格子的所有邊求和。當(dāng)磁通分布一定時(shí)，可以選擇一個(gè)單標(biāo)度，并根據(jù)磁通的表達(dá)式確定所有鍵上的矢勢(shì)。網(wǎng)絡(luò)的四端通過(guò)半無(wú)限長(zhǎng)一維量子線連接到電子庫(kù)上，第i端第m通道中的化學(xué)勢(shì)用μim表示。所有鍵的材料相同，為了計(jì)算方便，取所有鍵上的勢(shì)能為0。

圖1 四端方網(wǎng)絡(luò)模型示意圖

其中，Aαβ和p分別是鍵上的矢勢(shì)和動(dòng)量，其方向與鍵的方向相同;m*是電子的有效質(zhì)量是垂直于網(wǎng)絡(luò)平面的單位矢量是泡利矩陣矢量;kSO是自旋 －軌道耦合強(qiáng)度，可以通過(guò)柵電壓來(lái)調(diào)控［12］。假設(shè)整個(gè)系統(tǒng)都存在相位相干，并且在計(jì)算中采取全量子機(jī)制處理，解方程(1)，可得該鍵上電子的本征波函數(shù)如下

可以利用式(3)計(jì)算系統(tǒng)的自旋電導(dǎo)，從而研究四端網(wǎng)絡(luò)中電子的自旋電導(dǎo)對(duì)約化磁通和自旋－軌道耦合強(qiáng)度的依賴(lài)關(guān)系。

其中，Rimσ';imσ是電子從第i端第m量子通道中自旋為σ'的子帶反射到第i端第m量子通道中自旋為σ的子帶中的反射系數(shù);Ti'm'σ';imσ是電子從第i'端第m'量子通道中自旋為σ'的子帶隧穿到第i端第m量子通道中自旋為σ的子帶的透射系數(shù);為第i端第m輸出通道中的自旋電導(dǎo)為第i端中總的自旋電導(dǎo)，滿足關(guān)系式，是量子輸運(yùn)過(guò)程中電導(dǎo)的自然尺度。

式(3)可以由四端多通道Landauer-Büttiker式［13］推導(dǎo)出。歸一化自旋電導(dǎo)定義為gS≡GS/G0，第i端第m輸出通道中的歸一化自旋電導(dǎo)可寫(xiě)為

為了計(jì)算系統(tǒng)自旋電導(dǎo)gSim，需要計(jì)算各個(gè)通道中的反射系數(shù)和透射系數(shù)。本文利用文獻(xiàn)［9］的方法計(jì)算反射系數(shù)和透射系數(shù)。從第i'端第m'量子通道注入一個(gè)自旋為σ'的電子，則第i端第m量子通道中自旋為σ的電子波函數(shù)為

其中，ti'm'σ';imσ(ri'm'σ';imσ)是電子從第i'端第m'通道σ'子帶透射(反射)到第i端第m通道σ子帶中的透射(反射)振幅;r是量子通道的測(cè)量坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)在端點(diǎn);kin是入射波波矢的絕對(duì)值，它與能量之間的色散關(guān)系式為由網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)處幾率流守恒和波函數(shù)連續(xù)可以得到一線性方程組系，解該線性方程組系就可以獲得固定輸入波函數(shù)下，該通道的反射振幅和其他通道的透射振幅。任意節(jié)點(diǎn)處波函數(shù)連續(xù)條件由方程(2)自動(dòng)滿足。任意一個(gè)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)α，滿足的幾率流守恒條件為

其中，

對(duì)β求和是遍及所有與節(jié)點(diǎn)α最近鄰(NN)的節(jié)點(diǎn)β。與第i端第m量子通道相連接的外部節(jié)點(diǎn)γ的幾率流守恒條件為

其中，

這里，用方程(7)計(jì)算 Mγγ和 Mγβ。

由上面的幾率流守恒表達(dá)式可以看出:對(duì)于一個(gè)給定的入射波，通過(guò)系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)的連接條件，整個(gè)系統(tǒng)的波函數(shù)可以唯一決定。從第i'端第m'通道入射自旋為σ'的電子波，由幾率流守恒條件，可以得到包括反射振幅，透射振幅和其他未知旋量在內(nèi)的一套完全系線性方程組。解該線性方程組，可得透射振幅ti'm'σ';imσ和反射振幅ri'm'σ';imσ。對(duì)于不同的入射通道，重復(fù)上面的計(jì)算程序，即可得到式(4)中全部的反射系數(shù)和透射系數(shù)。

計(jì)算中，自旋－軌道耦合強(qiáng)度由無(wú)量綱參量kSOL表征，并取kin=kF。本文中的兩個(gè)特征長(zhǎng)度標(biāo)度為自旋進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)度1/kSO和de Broglie波波長(zhǎng)1/kF。對(duì)于InAs量子線系統(tǒng)，自旋進(jìn)動(dòng)長(zhǎng)度1/kSO可在0.064～0.450 μm 調(diào) 控［14］，此 時(shí) 網(wǎng) 絡(luò) 的 特 征 鍵 長(zhǎng) 為0.01 ～1.00 μm。

圖2 自旋電導(dǎo)隨自旋－軌道耦合強(qiáng)度的變化

2 結(jié)果與分析

Φ=0時(shí)，自旋－軌道耦合強(qiáng)度對(duì)自旋電導(dǎo)的調(diào)控作用如圖2所示。第i(i=2，3)端第m通道中自旋電導(dǎo)隨自旋－軌道耦合強(qiáng)度的增加先增大后減小，并且在kSOL≈0.7時(shí)，自旋電導(dǎo)出現(xiàn)最大值。該結(jié)果表明:不存在磁場(chǎng)時(shí)，自旋－軌道耦合互作用也能誘導(dǎo)自旋霍爾效應(yīng)，這與文獻(xiàn)［11］的結(jié)果一致。不同通道中自旋電導(dǎo)的值和方向不相同，與兩端結(jié)構(gòu)相比，這種四端量子多通道結(jié)構(gòu)有更好的靈活性。

kSOL=0.7時(shí)，自旋電導(dǎo)對(duì)約化磁通的依賴(lài)關(guān)系如圖3所示。自旋電導(dǎo)gS31，gS32和gS3分別與自旋電導(dǎo)gS22，gS21和gS2的大小相等，符號(hào)對(duì)應(yīng)相反，這是由該網(wǎng)絡(luò)具有中心反演對(duì)稱(chēng)性決定的。自旋電導(dǎo)隨約化磁通的變化而周期振蕩。當(dāng)磁通改變時(shí)，單個(gè)通道中的自旋電導(dǎo)的方向雖然不發(fā)生改變，但它的大小發(fā)生變化。對(duì)任意磁通值，第i端每個(gè)通道中的自旋電導(dǎo)和第i端的總自旋電導(dǎo)都不為0，以上結(jié)果表明電子自旋不能被完全地阻塞在某個(gè)通道中，即使每個(gè)端所有通道作為一個(gè)整體，這種阻塞也是不完全的。這是因?yàn)槊總€(gè)通道中的破壞性干涉是不完全的。

自旋－軌道耦合強(qiáng)度kSOL不同時(shí)，第3端的自旋電導(dǎo)對(duì)約化磁通之間的依賴(lài)關(guān)系見(jiàn)圖4、圖5和圖6。整體而言，自旋電導(dǎo)對(duì)約化磁通的依賴(lài)關(guān)系與圖3相似，對(duì)于任意自旋-軌道耦合強(qiáng)度(kSOL一定)，自旋電導(dǎo)都隨約化磁通周期振蕩。自旋電導(dǎo)的最大絕對(duì)值和周期振蕩的振幅都隨著自旋－軌道耦合強(qiáng)度的減少而減小。這個(gè)結(jié)果表明網(wǎng)絡(luò)中電子自旋的相干輸運(yùn)性質(zhì)由磁通和Rashba自旋－軌道耦合共同決定。與作者以前的工作比較，還發(fā)現(xiàn)在具有AB效應(yīng)的器件中，自旋－軌道耦合互作用對(duì)自旋電導(dǎo)的影響和對(duì)電荷電導(dǎo)的影響相反。

圖3 自旋電導(dǎo)隨約化磁通的變化

圖4 第3端第1通道中的自旋電導(dǎo)隨約化磁通的變化

圖5 第3端第2通道中的自旋電導(dǎo)隨約化磁通的變化

3 結(jié)論

研究了四端介觀量子網(wǎng)絡(luò)中的自旋電導(dǎo)對(duì)Rashba自旋－軌道耦合強(qiáng)度和約化磁通的依賴(lài)關(guān)系，網(wǎng)絡(luò)中電子自旋的輸運(yùn)性質(zhì)取決于磁通和Rashba自旋－軌道耦合之間的相互作用，但無(wú)論磁通和自旋－軌道耦合強(qiáng)度如何變化，該網(wǎng)絡(luò)中側(cè)端自旋輸運(yùn)都不會(huì)出現(xiàn)阻塞效應(yīng)。該輸運(yùn)特性能為自旋電子器件的設(shè)計(jì)提供一些可能的方法。另外，這種結(jié)構(gòu)中的一些端可以作為柵極控制其他端的自旋流。

圖6 第3端總的自旋電導(dǎo)隨約化磁通的變化

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