李二強(qiáng)，李靈曉

(河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南洛陽(yáng)471003)

0 前言

考慮如下 KdV-Burgers方程［1－2］

方程(1)既包含非線性效應(yīng)、耗散效應(yīng)，又包含頻散作用，其中，α＞0為耗散系數(shù);β＞0為頻散系數(shù)。由于耗散過(guò)程具有時(shí)滯或記憶作用的特征，要計(jì)及這種時(shí)滯或記憶作用，方程(1)將會(huì)得到相應(yīng)的修正［3］。

事實(shí)上，若記

則方程(1)可改寫為守恒律的形式

其中F(x，t)稱為流量。

利用流量松弛方法來(lái)表現(xiàn)時(shí)滯或記憶作用，即在流量F(x，t)中添加一個(gè)松弛量［4］

即以

取代式(2)，這里的τ≥0是時(shí)間特征常數(shù)。用式(4)中的F1取代式(3)中的F后可得

方程(5)稱為時(shí)滯KdV-Burgers方程。

本文的目的是利用(1/G)-展開(kāi)法［5－6］求解方程(5)和方程(1)，并對(duì)求得的解進(jìn)行比較，以闡明時(shí)滯效應(yīng)對(duì)于方程行波解的影響。

1 方程(5)與方程(1)的孤立波解

首先，引進(jìn)行波變量

將式(6)代入式(5)并關(guān)于變量ξ積分一次，得u=u(ξ)的ODE

下面用(1/G)-展開(kāi)法求式(7)的解?？紤]u″與u2的齊次平衡，可設(shè)方程(7)的解為

其中，α1≠0;α0，λ 為待定常數(shù)。由式(8)易導(dǎo)出

將式(8)的第1式和式(9)代入式(7)可得關(guān)于α1、α0、λ、c和D的代數(shù)方程組

解得

利用方程G'+λG=1的通解

結(jié)合式(11)、式(8)和式(6)即得時(shí)滯KdV-Burgers方程(5)的兩組解:

(Ⅰ)若 τc2≠ α，

(Ⅱ)若 τc2= α，

其中，τc2≠α;ξ=x－ct+ξ0;c為任意常數(shù)。

此時(shí)，若時(shí)間特征常數(shù)τ=0，則式(15)和式(16)分別給出KdV-Burgers方程(1)的行波解

其中，ξ=x－ct+ξ0;c為任意常數(shù)。

方程(19)的周期波解為［7］

2 方程(5)與方程(1)孤立波解的比較

為作定性分析，把式(7)寫成等價(jià)方程組

(Ⅰ)當(dāng)0≤τc2＜ α，δ＞0，△ ＞0時(shí)，方程組有兩個(gè)奇點(diǎn)，其中，E－為鞍點(diǎn)，E+為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。方程組(22)唯一的有界解是連接鞍點(diǎn)E－和結(jié)點(diǎn)E+的異宿軌道，其相圖見(jiàn)圖1。由式(11)的第4式知

故式(15)表征的是時(shí)滯KdV-Burgers方程對(duì)應(yīng)于鞍－結(jié)異宿軌道的沖擊波解(見(jiàn)圖2)，而式(17)表征的是KdV-Burgers方程對(duì)應(yīng)于鞍－結(jié)異宿軌道的沖擊波解。

圖1 方程組(22)的相圖

圖2 時(shí)滯KdV-Burgers方程的沖擊波解

(Ⅱ)當(dāng)τc2＞ α，δ＞0，△ ＞0時(shí)，方程組有兩個(gè)奇點(diǎn)，其中，E－為鞍點(diǎn);E+為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)。方程組(22)唯一的有界解是連接鞍點(diǎn)E－和結(jié)點(diǎn)E+的異宿軌道。

(Ⅲ)當(dāng)τc2=α?xí)r，方程組(22)化為一個(gè)Hamilton系統(tǒng)。此時(shí)，若δ=0，方程組的唯一奇點(diǎn)(c，0)為退化奇點(diǎn)［9］，方程組(22)的所有解均無(wú)界。特別地，奇點(diǎn)的分界線對(duì)應(yīng)于有理孤波解，它可以由式(14)給出。如果δ＞0，方程組(22)有兩個(gè)奇點(diǎn)，其中，E－為鞍點(diǎn);E+為中心，其相圖見(jiàn)圖3。此時(shí)方程組(22)的有界解是對(duì)應(yīng)于圍繞中心E+閉軌線的周期波解和對(duì)應(yīng)于鞍點(diǎn)E－的同宿軌線的鐘狀孤波解。周期波解由式(20)給出，而鐘狀孤波解由式(21)給出(見(jiàn)圖4)。

圖3 τc2=α，δ＞0時(shí)方程組(22)的相圖

圖4 τc2=α?xí)r方程(5)的行波解

綜上所述，當(dāng)時(shí)間特征常數(shù)τ與波速c的平方之積等于耗散系數(shù)α(即τc2=α)時(shí)，時(shí)滯KdVBurgers方程(5)出現(xiàn)了周期波解和鐘狀孤波解，而KdV-Burgers方程(1)沒(méi)有此類解。另外，注意到時(shí)滯KdV-Burgers方程(5)的有界解(15)的振幅為而KdV-Burgers方程(1)的孤波解(17)的振幅可見(jiàn)波速c與時(shí)間特征常數(shù)τ影響到振幅和波寬。具體地講，時(shí)滯KdV-Burgers方程(5)的孤波解(15)當(dāng)振幅增加時(shí)波寬減小，反之振幅減小時(shí)波寬增加，而KdV-Burgers方程(1)的孤波解(17)的振幅與波寬和波速無(wú)關(guān)。

3 結(jié)論

利用流量松弛方法導(dǎo)出了時(shí)滯KdV-Burgers方程。用(1/G)-展開(kāi)法求得了它們的行波解。結(jié)合定性分析，對(duì)所求的時(shí)滯KdV-Burgers方程及KdV-Burgers方程的行波解進(jìn)行了討論。研究表明:當(dāng)特征時(shí)間常數(shù)τ與波速c的平方之積等于耗散系數(shù)α(即τc2=α)時(shí)，時(shí)滯KdV-Burgers方程出現(xiàn)橢圓余弦波解和鐘狀孤波解，而KdV-Burgers方程沒(méi)有此類解。事實(shí)上，若將時(shí)滯KdV-Burgers方程(5)改寫為下列形式

易見(jiàn)，耗散項(xiàng)與時(shí)滯項(xiàng)的結(jié)合構(gòu)成了線性波動(dòng)方程τutt－αuxx=0。這樣時(shí)滯KdV-Burgers方程可以理解為一個(gè)KdV方程與一個(gè)線性波動(dòng)方程的“疊加”，故當(dāng)方程(23)行波解的波速c與波動(dòng)方程的波速相同(即c2=α/τ)時(shí)，方程(23)的行波解就是KdV方程的行波解。從而時(shí)滯KdV-Burgers方程出現(xiàn)周期波解和鐘狀孤波解是可以預(yù)見(jiàn)的。另外，時(shí)滯效應(yīng)的存在還影響到孤立波的振幅、波寬。

致謝:感謝王明亮教授給予熱情的指導(dǎo)與鼓勵(lì)。

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