邵亞勇，竺小松

（解放軍電子工程學(xué)院，安徽 合肥 230037）

0 引言

自適應(yīng)濾波算法，作為信號(hào)處理的一個(gè)重要分支廣泛應(yīng)用于智能控制、信道估計(jì)、信道均衡、噪聲對(duì)消、回聲對(duì)消等各種領(lǐng)域。通常自適應(yīng)濾波算法采用RLS或LMS(最小均方)算法，RLS算法與LMS算法相比，具有收斂速度快、穩(wěn)態(tài)性能好等優(yōu)點(diǎn)，但是其又在一定程度上增加了算法的復(fù)雜性。同時(shí)RLS算法存在固定遺忘因子λ造成的收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，在實(shí)際應(yīng)用中根據(jù)需要對(duì)RLS出現(xiàn)了多種改進(jìn)形式，但歸納起來(lái)，主要是從兩個(gè)方面著手：其一采用可變遺忘因子的方法，如文獻(xiàn)[1-4]所提出的方法，文獻(xiàn)[1]通過(guò)最小均方梯度的動(dòng)態(tài)變化來(lái)控制遺忘因子的變化，文獻(xiàn)[2]采用恢復(fù)誤差信號(hào)中的系統(tǒng)噪聲來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)可變遺忘因子的控制，文獻(xiàn)[3]對(duì)遺忘因子的控制通過(guò)對(duì)輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的逆矩陣的梯度來(lái)實(shí)現(xiàn)，文獻(xiàn)[4]設(shè)定遺忘因子λ值的大小由誤差決定,通過(guò)找一個(gè)臨界誤差點(diǎn)，當(dāng)小于這個(gè)值時(shí)，λ由一條曲線趨近于1,當(dāng)大于這個(gè)值時(shí)，λ由一條曲線趨近于λmin；其二對(duì)RLS算法改進(jìn)從對(duì)信號(hào)的協(xié)方差矩陣的逆矩陣從發(fā)，給逆協(xié)方差矩陣加一自擾動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)輸入信號(hào)或信道突變的情況下，能夠及時(shí)進(jìn)行跟蹤上信道的變化。這種方法主要有D.J.Park和B.E.Jun提出的具有快速跟蹤能力的自擾動(dòng)RLS算法(SRLS)[5]， Kwang-Seop Eom等提出的基于卡爾曼濾波具有快速跟蹤和抗噪聲的RLS算法(ISPRLS)[6]。當(dāng)前除從這兩個(gè)角度改進(jìn)之外，還出現(xiàn)了對(duì)RLS算法中的增益向量進(jìn)行調(diào)整以提高系統(tǒng)的收斂速度的RLS算法[7]。以上所提到的這些改進(jìn)方法，多是應(yīng)用于噪聲對(duì)消、信道均衡與信道估計(jì)，我們現(xiàn)將這些方法應(yīng)該于混疊信號(hào)分離，通過(guò)仿真比較各種方法在信號(hào)分離中的優(yōu)劣。

1 RLS自適應(yīng)濾波器的原理[8]及在信號(hào)分離中的應(yīng)用模型

將最小二乘方法推廣為自適應(yīng)的方法，其目的就是通過(guò)遞推的方法來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算。在代價(jià)函數(shù)中引入指數(shù)加權(quán)因子后可以表達(dá)為：

上式中λ為遺忘因子，取值范圍是0<λ<1，它的作用是對(duì)離n時(shí)刻越近的誤差加比較大權(quán)重，而對(duì)離n時(shí)刻越遠(yuǎn)的誤差加比較小的權(quán)重[9]。其中e(i)是期望響應(yīng)d(i)與i時(shí)刻的抽頭輸入經(jīng)橫向?yàn)V波器加權(quán)之差。即為：

經(jīng)過(guò)推導(dǎo)，可以將RLS算法歸納如下：

初始化：w( 0) = 0 ，P( 0)=δ-1I，其中δ為正則化參數(shù)。對(duì)于每一時(shí)刻，n= 1 ，2，...計(jì)算：

為了將RLS算法應(yīng)用于信號(hào)分離之中，我們不妨假設(shè)混合信號(hào)為s(n)，其含有信號(hào)x(n)和y(n)。

首先通過(guò)信號(hào)檢測(cè)得到信號(hào)特征比較鮮明的信號(hào)x(n)的相關(guān)特征參數(shù)，對(duì)其進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，恢復(fù)出信號(hào)x(n),然后將恢復(fù)出來(lái)的信號(hào)輸入到自適應(yīng)濾波器，經(jīng)過(guò)橫向?yàn)V波器加權(quán)系數(shù)的調(diào)整得：

用此信號(hào)與混合信號(hào)s(n)進(jìn)行對(duì)消，將對(duì)消后的信號(hào)分成兩路，一路作為誤差信號(hào)輸入到自適應(yīng)濾波器控制器，對(duì)橫向?yàn)V波器的加權(quán)系數(shù)進(jìn)行控制，另一路作為混合信號(hào)中y(n)的估計(jì)信號(hào)y?(n)，即為分離信號(hào)所得的輸出值。圖1為信號(hào)分離的基本原理圖。

圖1 自適應(yīng)信號(hào)分離模型圖

2 RLS算法的常見(jiàn)改進(jìn)形式

在RLS算法的眾多改進(jìn)形式中，我們選擇其中比較成熟而且運(yùn)算量較為優(yōu)化的改進(jìn)方法來(lái)說(shuō)明。對(duì)于可變遺忘因子，李倩茹提出的VFF-RLS算法具有運(yùn)算簡(jiǎn)單，原理清晰的特點(diǎn)，該方法對(duì)λ的修正函數(shù)為：

在上式中根據(jù)n時(shí)刻誤差信號(hào)的大小對(duì)遺忘因子進(jìn)行調(diào)整，選擇誤差均值E[e(n)]作為一個(gè)臨界值，當(dāng)n時(shí)刻的誤差信號(hào)大于此值時(shí)，λ趨近于最小值λmin；否則λ趨近于1。這樣可以保證誤差在E[e(n)]附近擺動(dòng)，進(jìn)行緩慢變化，以緩沖λ變化過(guò)快帶來(lái)的跟蹤效果差的問(wèn)題。

對(duì)輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的逆矩陣P(n)進(jìn)行調(diào)整的方法中，主要是采取加上一個(gè)與誤差有關(guān)的自擾動(dòng)項(xiàng)，在信號(hào)或信道發(fā)生突變時(shí)，避免k(n)趨于0而失去跟蹤性能。SRLS算法[5]加入的自擾動(dòng)項(xiàng)為：

I為單位矩陣，β、γ均為常數(shù)，該算法具有快速跟蹤的能力，但對(duì)噪聲比較敏感。之后Kwang-Seop Eom提出的ISPRLS算法對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)，根據(jù)卡爾曼濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)遺忘因子的控制，不需要根據(jù)信噪比的條件來(lái)調(diào)整濾波器參數(shù)。ISPRLS算法[6]的P(n)項(xiàng)為：

其中自擾動(dòng)項(xiàng)Q(n)為：

式（10）中，I為單位矩陣，NINT為取整函數(shù)，β、γ均為常數(shù)。

由于增益向量在RLS算法中發(fā)揮著重要的作用，所以對(duì)增益向量的適當(dāng)調(diào)整也可以有效地促進(jìn)算法的收斂速率，由Anum Ali等提出的基于增益向量來(lái)促進(jìn)收斂速度的RLS方法[7]的改進(jìn)形式如下：

我們不妨將這種方法稱為GV-RLS算法，GV-RLS算法的改進(jìn)并沒(méi)有對(duì)自適應(yīng)運(yùn)算的復(fù)雜性造成過(guò)多的影響，計(jì)算步驟較為簡(jiǎn)單，只需要預(yù)先判斷誤差信號(hào)倒數(shù)的絕對(duì)值是否大于1即可。

3 RLS算法及其改進(jìn)形式在信號(hào)分離中的性能分析

自適應(yīng)算法的選擇取決于一個(gè)或多個(gè)因素，主要判斷標(biāo)準(zhǔn)有：收斂速度、失調(diào)、跟蹤性能、魯棒性、計(jì)算要求、結(jié)構(gòu)、數(shù)值特性等因素[8]。無(wú)論對(duì)RLS算法的改進(jìn)從哪個(gè)方面出發(fā)，都要在滿足收斂速率和穩(wěn)定性的同時(shí)，盡可能地減小運(yùn)算量。而將自適應(yīng)算法應(yīng)用于信號(hào)分離中去，在考慮之前的判斷標(biāo)準(zhǔn)的同時(shí)，需著重考慮經(jīng)系統(tǒng)分離出的信號(hào)失真情況，如果誤差較大，很難準(zhǔn)確地從系統(tǒng)中分離出所期望的信號(hào)。我們以RLS算法、VFFRLS算法和GV-RLS方法為例，檢驗(yàn)它們?cè)诖笮盘?hào)和小信號(hào)混合的情況下，將小信號(hào)分離出來(lái)的效果；其次使用這些方法，完成信號(hào)與噪聲的分離，檢測(cè)對(duì)噪聲的消除效果。通過(guò)以上兩個(gè)步驟，可以實(shí)現(xiàn)在一個(gè)含有噪聲和大信號(hào)干擾的復(fù)雜電磁環(huán)境中，有效檢測(cè)出小信號(hào)的目的。

混疊信號(hào)為s=x+y；我們力求在大信號(hào)x的背景下，檢測(cè)出小信號(hào)y。首先兩信號(hào)的時(shí)域波形圖和混疊信號(hào)的時(shí)域波形圖分別如圖2所示。

圖2 原始信號(hào)時(shí)域波形圖

假設(shè)RLS、GV-RLS方法采取相同的遺忘因子λ=0.98，VFF-RLS算法的最小遺忘因子λmin也取為0.98，經(jīng)過(guò)仿真發(fā)現(xiàn)使用這3種方法，都能較好地完成大小信號(hào)的分離，實(shí)現(xiàn)強(qiáng)信號(hào)背景中檢測(cè)出弱信號(hào)的目的。經(jīng)過(guò)估計(jì)輸出的大小信號(hào)時(shí)域波形圖如圖3所示。

圖3 經(jīng)自適應(yīng)濾波后的大、小信號(hào)波形圖

為了進(jìn)一步說(shuō)明3種方法在信號(hào)檢測(cè)中的收斂速度及誤差情況，我們以檢測(cè)估計(jì)出的小信號(hào)與原始小信號(hào)的誤差的平方進(jìn)行比較，如圖4所示。從3種方法檢測(cè)出的小信號(hào)與原始小信號(hào)的誤差平方圖可以得出，3種方法在進(jìn)行兩個(gè)正弦信號(hào)分離時(shí)的收斂速度基本相當(dāng)，但在收斂之后，RLS、GV-RLS還會(huì)伴隨一些有規(guī)律的干擾信號(hào)影響，但是VFF-RLS實(shí)現(xiàn)了很好的收斂性能，只有極小的誤差出現(xiàn)。因此在進(jìn)行比較精確的信號(hào)分離時(shí)，我們可以首選VFF-RLS的方法。

圖4 3種方法檢測(cè)出的信號(hào)與原始小信號(hào)的誤差平方圖

為了在噪聲環(huán)境下檢測(cè)出所需要的有用信號(hào)，我們將混疊有噪聲的信號(hào)輸入到自適應(yīng)濾波器中，同樣采取這3種方法進(jìn)行對(duì)消。假定所選的混疊信號(hào)信噪比為0，濾波器的階數(shù)為12，遺忘因子為λ=0.97， VFF-RLS最小遺忘因子為λmin=0.97。首先仿真得到噪聲、信號(hào)和受到噪聲干擾的信號(hào)時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 信號(hào)與噪聲的時(shí)域波形圖

將估計(jì)的噪聲信號(hào)輸入到自適應(yīng)濾波器的輸入端，以混疊信號(hào)為期望信號(hào)，分別應(yīng)用3種方法，得到的正弦信號(hào)時(shí)域圖為如圖6所示。 從圖6可以看出，通過(guò)VFF-RLS濾波得到的正弦信號(hào)與其他兩種方法相比，具有更小的失真，能較好地恢復(fù)出受噪聲污染的正弦信號(hào)。同樣比較估計(jì)信號(hào)與原始信號(hào)的誤差平方來(lái)檢驗(yàn)收斂速度和誤差狀況，如圖7所示。

圖6 3種方法濾波后正弦信號(hào)波形圖

圖7 3種方法去噪后的信號(hào)與原始信號(hào)的誤差平方圖

比較圖6、圖7可以發(fā)現(xiàn)，在相同條件下，3種方法都能在比較小的失真情況下將正弦信號(hào)從噪聲中分離出來(lái)，但是VFF-RLS算法與RLS、GV-RLS算法相比，能夠獲得更好的信號(hào)效果；同時(shí)通過(guò)信號(hào)誤差的平方比較，可以發(fā)現(xiàn)GV-RLS算法與RLS、VFF-RLS算法相比，收斂速度較慢，VFF-RLS在信號(hào)趨于平穩(wěn)后，抗雜波和干擾的能力更強(qiáng)。

4 結(jié)論

本文在分析RLS算法及其幾種常見(jiàn)改進(jìn)形式的基礎(chǔ)之上，將他們從傳統(tǒng)的噪聲對(duì)消、信道均衡、信道估計(jì)的應(yīng)用轉(zhuǎn)移到對(duì)混疊信號(hào)的分離中去，實(shí)現(xiàn)在復(fù)雜的噪聲背景和大信號(hào)的干擾下，準(zhǔn)確檢測(cè)出小信號(hào)的目的。通過(guò)在仿真中對(duì)原有方法的調(diào)整，比較他們?cè)趦蓚€(gè)不同信號(hào)之間的信號(hào)分離及信號(hào)和噪聲混疊情況下的信號(hào)分離效果。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，VFF-RLS在這些方法中，無(wú)論是收斂速度還是分離得到的信號(hào)效果都優(yōu)于其他方法。

[1]C.F.So, S.C.Ng,S.H,Leungc.Gradient based variable forgetting factor RLS algorithm[J].Signal Processing,2003,83:1163-1175.

[2]Constantin Paleologu, Jacob Benesty,Silviu Ciochina.A Robust Variable Forgetting Factor Recursive Least-Squares Algorithm for System Identification[J].IEEE Signal Processing Letters,2008,15:597-600.

[3]Hadi Sadoghi Yazdi, Mehri Sadoghi Yazdi,Mohammad Reza Mohammadi.A Novel Forgetting Factor Recursive Least Square Algorithm Applied to the Human Motion Analysis[J].World Academy of Science, Engineering and Technology,2009,57:969-976.

[4]李倩茹,王于丁,張曉芳.一種變遺忘因子RLS算法的分析與仿真[J].現(xiàn)代電子技術(shù),2008,17:45-47.

[5]D.J.Park,B.E.Jun.Selfperturbing Recursive Least Squares Algorithm with Fast Tracking Capability[J].Electronic Letters.1992,28:558-559.

[6]Kwang-Seop Eom, Byung-Eul Jun,Dong-Jo Park.Fast tracking and noise-immunised RLS algorithm based on Kalman filter[J].Electronic Letters.1996,3211-2312.

[7]Anum Ali,Anis-ur-Rehman,Rana Liaqat Ali.An Improved Gain Vector to Enhance Convergence Characteristics of Recursive Least Squares Algorithm[J].International Journal of Hybrid Information Technology.2011,4:99-107.

[8]西蒙·赫金.自適應(yīng)濾波器原理[M].4版.北京:電子工業(yè)出版社,2010.

[9]張賢達(dá).現(xiàn)代信號(hào)處理[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.