陳志楚，李 聰，張超勇

（1. 湖北汽車工業(yè)學(xué)院 電器信息與工程學(xué)院，十堰 442001；2. 華中科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430074）

0 引言

數(shù)控加工技術(shù)是現(xiàn)代自動(dòng)化、柔性化及數(shù)字化生產(chǎn)加工技術(shù)的基礎(chǔ)與關(guān)鍵技術(shù)。切削參數(shù)的合理選擇與優(yōu)化，直接關(guān)系能否合理地使用刀具與機(jī)床，對(duì)提高生產(chǎn)率，提高加工精度及表面質(zhì)量，降低生產(chǎn)成本都有重要作用，是實(shí)現(xiàn)整個(gè)切削過程優(yōu)化的關(guān)鍵。隨著各種新加工材料的不斷涌現(xiàn)，以及數(shù)控加工機(jī)床、加工中心和柔性制造系統(tǒng)的廣泛運(yùn)用，在傳統(tǒng)的CAD／CAM系統(tǒng)中僅依靠個(gè)人經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定切削參數(shù)己遠(yuǎn)不能適應(yīng)時(shí)代的發(fā)展。而運(yùn)用現(xiàn)代切削理論、數(shù)學(xué)建模和模型分析方法尋求切削參數(shù)的最優(yōu)組合，則是切削參數(shù)優(yōu)化的一個(gè)重要發(fā)展方向，是實(shí)現(xiàn)高效數(shù)控加工技術(shù)的關(guān)鍵。

帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法[15]最初是由Atashpaz-Gargari and Lucas于2007年在對(duì)基于人口數(shù)量最優(yōu)化算法的著作中提出。在算法中， 每一個(gè)個(gè)體都被定義為一個(gè)國(guó)家，同時(shí)，所有的國(guó)家被分類為兩類，即帝國(guó)主義國(guó)家和殖民地。帝國(guó)主義國(guó)家為最初時(shí)人口數(shù)量最有優(yōu)勢(shì)的國(guó)家，而剩下的國(guó)家即為殖民地。每個(gè)國(guó)家的力量被用來(lái)指明它的健康程度。在該算法的反復(fù)使用過程中，帝國(guó)之間相互競(jìng)爭(zhēng)以獲得盡可能多的殖民地為目的。更有力量的帝國(guó)有更高的可能性去占領(lǐng)更多的殖民地，而力量薄弱的帝國(guó)將逐漸失去他們的殖民地。當(dāng)所有的殖民地都被一個(gè)帝國(guó)占有時(shí)，該算法即為結(jié)束。在連續(xù)函數(shù)優(yōu)化方面帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法在效率和質(zhì)量方面超過遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法。因此，本文引入帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法求解切削參數(shù)優(yōu)化問題。

1 切削參數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

切削速度、進(jìn)給量和切削深度統(tǒng)稱為切削用量三要素。由于切削深度對(duì)刀具耐磨度的影響較切削速度和進(jìn)給量要小，而且可根據(jù)工件余量和具體的加工要求來(lái)確定，這里視為已知量，不進(jìn)行優(yōu)化。因此，模型的設(shè)計(jì)變量包括切削速度v和進(jìn)給量f，在銑削加工中，考慮的是每齒進(jìn)給量fz。對(duì)于數(shù)控切削加工，因采用無(wú)級(jí)調(diào)速，所以切削參數(shù)是連續(xù)變量。切削參數(shù)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)選擇生產(chǎn)率，表現(xiàn)形式為加工工時(shí)。

由于切削加工過程中包含多種實(shí)際約束，并且是非線性的。主要有：機(jī)床、刀具、夾具等所組成的工藝系統(tǒng)的加工能力；零件加工質(zhì)量的要求；包括刀具壽命約束在內(nèi)的經(jīng)濟(jì)性約束等。所以，切削參數(shù)的數(shù)學(xué)模型是非線性、多約束的連續(xù)函數(shù)問題的優(yōu)化。下面以銑削加工為例建立優(yōu)化模型。

1.1 目標(biāo)函數(shù)

引入以最大生產(chǎn)率為目標(biāo)的切削參數(shù)數(shù)學(xué)模型。進(jìn)行批量生產(chǎn)時(shí)，完成一道工序的銑削加工工時(shí)為[2～4]：

式中，Tw為完成一道銑削加工的總工時(shí)；Tm為工序的切削時(shí)間；Th為單工序銑削加工中由于刀具磨損導(dǎo)致的平均一道工序的換刀時(shí)間；Tc為工序之間的換刀時(shí)間；Tot為除換刀時(shí)間以外的其他輔助時(shí)間，包括工件的裝卸載時(shí)間、機(jī)床及刀具準(zhǔn)備時(shí)間等。

工序切削時(shí)間Tm的表達(dá)式[2～5]：

式中，D為刀具直徑；L為切削長(zhǎng)度；v為切削速度；fz為銑刀每齒進(jìn)給量；Z為銑刀齒數(shù)。

由于刀具磨損導(dǎo)致的平均一道工序的換刀時(shí)間Th的表達(dá)式：

式中，L為切削長(zhǎng)度；TR為刀具磨損的換刀時(shí)間；v為切削速度；fz為銑刀每齒進(jìn)給量；ae為銑削寬度；Z為銑刀齒數(shù)；ap為銑削深度；D為刀具直徑；CV、m、y、p、u、k、q為銑刀的刀具耐用度系數(shù)。

綜合式(1)～式(3)，目標(biāo)函數(shù)為：

1.2 約束條件[2～5]

實(shí)際加工中的切削參數(shù)必須滿足上面提到的各類型約束，具體如下。

1.2.1 切削速度約束

數(shù)控機(jī)床需滿足切削速度約束，表達(dá)式如下：

式中，Nmin、Nmax分別為主軸最低和最高轉(zhuǎn)速。

1.2.2 進(jìn)給量約束

對(duì)銑削加工而言，每齒進(jìn)給量滿足的約束條件如下：

式中，vfmin、vfmax分別為機(jī)床最小和最大切削進(jìn)給速度。

1.2.3 機(jī)床切削力約束

機(jī)床進(jìn)給方向切削力應(yīng)小于主軸最大進(jìn)給力，表達(dá)式如下：

式中，F(xiàn)fmax表示機(jī)床主軸的最大進(jìn)給力；N為主軸轉(zhuǎn)速，CF、xF、yF、uF、qF、wF、KFc為切削力系數(shù)。

1.2.4 切削扭矩約束

切削扭矩不能超過主軸最大扭矩。表達(dá)式如下：

式中，Mfmax為機(jī)床主軸的最大扭矩。

1.2.5 機(jī)床功率約束

切削功率應(yīng)小于規(guī)定的最大有效切削功率，表達(dá)式如下：

式中，?為機(jī)床功率有效系數(shù)；Pmax為機(jī)床最大有效切削功率。

1.2.6 粗糙度約束

零件還需滿足表面粗糙度要求，表達(dá)式如下：

式中，r～為刀具的刀尖圓弧半徑；Rmax為表面粗糙度的最大值。

2 基于帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法的切削參數(shù)優(yōu)化

2.1 帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法流程

帝國(guó)主義算法流程描述如下：

1）初始化帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法的參數(shù)：Npop, Nimp

2）隨機(jī)生成Npop作為國(guó)家的人口數(shù)量。選擇Nimp最好的國(guó)家作為帝國(guó)并根據(jù)他們的能力規(guī)定他們的殖民地?cái)?shù)量；

3）如果終止條件未得到滿足，則重復(fù)下列步驟；

4）內(nèi)部位置交換；

5）帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)；

6）淘汰弱小的帝國(guó)；

7）保留最終剩余的帝國(guó)，其適應(yīng)度取值作為最優(yōu)解。

流程圖如圖1所示。

圖1 帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法流程圖

2.2 帝國(guó)集團(tuán)的初始化

在一個(gè)NVAR維的最優(yōu)化問題中，一個(gè)國(guó)家即為一個(gè)1×NVAR的矩陣。該矩陣定義如下[16]：

此處，Pi為被優(yōu)化的變量。這些在國(guó)家屬性中的變量為浮點(diǎn)數(shù)。國(guó)家中的每個(gè)變量可以被理解為這個(gè)國(guó)家的社會(huì)政治屬性。在算法中幾時(shí)要求我們尋找到最小的成本值。每個(gè)國(guó)家的成本由變量所組成的函數(shù)f決定：

為了開始該最優(yōu)化算法，必須初始化國(guó)家數(shù)量Ncountry.我們選擇Nimp個(gè)最優(yōu)力量的國(guó)家來(lái)形成帝國(guó)集團(tuán)。剩下的Ncol個(gè)最初國(guó)家作為這些帝國(guó)集團(tuán)中的殖民地。

圖2 初始化帝國(guó)集團(tuán)：帝國(guó)擁有的殖民地越多，它所代表的五角星越大

為了形成最初的帝國(guó)集團(tuán)，殖民地依據(jù)各帝國(guó)的力量情況決定。即：一個(gè)帝國(guó)集團(tuán)最初擁有的殖民地?cái)?shù)量應(yīng)直接與其力量所占比例相關(guān)。為了能按比例分配殖民地，每個(gè)帝國(guó)的成本被定義為：

在這里，Cn為第n個(gè)帝國(guó)的成本。計(jì)算了所有帝國(guó)的成本后，帝國(guó)的相對(duì)力量定義為：

最初的殖民地的分配依賴于其所屬的帝國(guó)集團(tuán)的力量。從而最初的殖民地分配為：

在這里，N.C.n為第n個(gè)帝國(guó)所擁有的殖民地?cái)?shù)量。如圖2所示的初始化帝國(guó)集團(tuán)，越大的帝國(guó)集團(tuán)擁有更多的殖民地?cái)?shù)量，同時(shí)，弱小的集團(tuán)擁有較少的殖民地。在該圖中，帝國(guó)1組成最有力量的帝國(guó)集團(tuán)，于是它擁有最多的殖民地?cái)?shù)量。

2.3 帝國(guó)集團(tuán)內(nèi)部調(diào)整

為了實(shí)現(xiàn)吸收壯大的目的，帝國(guó)試圖去吸收它們的殖民地并使其成為帝國(guó)的一部分。更準(zhǔn)確的說，殖民地沿著坐標(biāo)軸向著帝國(guó)移動(dòng)。移動(dòng)過程如圖3所示?？紤]一個(gè)二維最優(yōu)化問題，殖民地在由文化和語(yǔ)言組成的坐標(biāo)軸中被帝國(guó)吸收。殖民地將會(huì)不斷地向帝國(guó)移動(dòng)，最終將使殖民地完全被帝國(guó)吸收。

圖3 殖民地向其相關(guān)帝國(guó)的移動(dòng)

在圖3中，x為一個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)x～U(0, β×d),在這里β為比1大的數(shù)，同時(shí)?為殖民地與帝國(guó)的距離。b>1將使殖民地從兩邊都離帝國(guó)更近。帝國(guó)對(duì)殖民地的吸收并不直接導(dǎo)致殖民地向帝國(guó)的移動(dòng)。即是說，殖民地并不一定依照向量所示方向向帝國(guó)移動(dòng)。為了更好模型化這個(gè)事實(shí)，引入一個(gè)隨機(jī)的角度作為移動(dòng)的方向。在圖中顯示了新的方向。在該圖中，參數(shù)θ服從均勻分布。θ～U（-γ，γ），在這里γ為角度范圍。然而?和?是隨機(jī)的。在大多數(shù)情況中，我們將?設(shè)置為 2，?設(shè)置為π/4（Rad）。

革命是指在力量和組織結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)方面在相對(duì)短時(shí)間內(nèi)發(fā)生變化。在ICA的術(shù)語(yǔ)中，革命使一個(gè)國(guó)家的社會(huì)政治特征突然產(chǎn)生變化。即是說，與帝國(guó)的吸收不同，殖民地是隨機(jī)的在社會(huì)政治坐標(biāo)軸中突然發(fā)生位置上的改變。圖3和圖4是在文化語(yǔ)言坐標(biāo)軸中的革命過程。這種革命增加了該算法的搜索過程同時(shí)組織了國(guó)家形成早期的局部收斂。算法中的革命率顯示的是每個(gè)殖民地隨機(jī)改變它們位置的比例。一個(gè)較高的革命率會(huì)降低算法的搜索效果并降低收斂率。在我們的應(yīng)用中，我們將革命率設(shè)定為0.3.即是指帝國(guó)集團(tuán)中有30%的殖民地會(huì)隨機(jī)改變它們的位置。

圖4 一個(gè)國(guó)家社會(huì)政治特征的突然改變

2.4 交換帝國(guó)和殖民地的位置

當(dāng)殖民地向帝國(guó)移動(dòng)的過程中，殖民地可能會(huì)到達(dá)一個(gè)成本比帝國(guó)要低的點(diǎn)。在這種情況下，帝國(guó)和殖民地即交換它們的位置。而后，算法將由在新位置的帝國(guó)吸收新位置的殖民地過程繼續(xù)下去。如圖5所示為帝國(guó)和殖民地交換位置的過程。在改圖中，最好的殖民地由深色表示，該殖民地比其帝國(guó)的成本要小。如圖6所示為殖民地和帝國(guó)交換位置后的狀態(tài)。

圖5 交換殖民地和帝國(guó)的位置

圖6 交換位置后的帝國(guó)和殖民地的狀態(tài)

在殖民地和帝國(guó)向著目標(biāo)最小值移動(dòng)的過程中，一些帝國(guó)可能會(huì)移動(dòng)到相似的位置，如果兩帝國(guó)之間的位置要小于初始位置，它們將會(huì)合并為一個(gè)新的帝國(guó)集團(tuán)。原帝國(guó)集團(tuán)的殖民地將會(huì)成為新帝國(guó)集團(tuán)的殖民地，同時(shí)新帝國(guó)的位置將由原帝國(guó)中二者之一的位置所決定。圖7和圖8顯示的合并過程。

圖7 合并前的帝國(guó)集團(tuán)

圖8 兩帝國(guó)合并后的狀態(tài)

2.5 帝國(guó)集團(tuán)競(jìng)爭(zhēng)

一個(gè)帝國(guó)集團(tuán)的總力量主要由它的帝國(guó)力量所決定?？墒侵趁竦氐牧α恳矊?duì)帝國(guó)集團(tuán)的力量有影響。一個(gè)帝國(guó)集團(tuán)的總成本由式（16）所決定[16]：

此處，T.C.為第n個(gè)帝國(guó)集團(tuán)的總成本。ξ為一個(gè)較小的正數(shù)。ξ越大會(huì)使殖民地對(duì)帝國(guó)集團(tuán)的影響越大。在大部分的情況下ξ取0.1被認(rèn)為是最好的。

每個(gè)帝國(guó)集團(tuán)都試圖占領(lǐng)并控制其他帝國(guó)集團(tuán)的殖民地。帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)過程中，強(qiáng)國(guó)將更強(qiáng)，弱國(guó)將更弱。帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)一般先選出最弱帝國(guó)集團(tuán)，并使其他帝國(guó)集團(tuán)競(jìng)爭(zhēng)去占領(lǐng)該集團(tuán)。圖9顯示帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)。在這個(gè)過程中，基于各自的力量，每個(gè)集團(tuán)都有占領(lǐng)最弱集團(tuán)的可能性。從另一個(gè)方面來(lái)說，最弱國(guó)不一定確定被最強(qiáng)國(guó)家占領(lǐng)，但是越強(qiáng)的集團(tuán)占領(lǐng)弱集團(tuán)的可能性越大。為了開始這個(gè)競(jìng)爭(zhēng)過程，首先最弱的帝國(guó)集團(tuán)的一個(gè)殖民地將被選出來(lái)，并確定每個(gè)國(guó)家占領(lǐng)的可能性。占領(lǐng)可能性Pp依據(jù)帝國(guó)集團(tuán)的總力量所決定：

圖9 帝國(guó)競(jìng)爭(zhēng)：帝國(guó)越有力量，越有可能占領(lǐng)最弱帝國(guó)集團(tuán)的殖民地

此處，T.C.n和N.C.n為第n個(gè)帝國(guó)集團(tuán)的總成本和相對(duì)成本。依據(jù)相對(duì)成本，每個(gè)帝國(guó)的占領(lǐng)可能性由下式?jīng)Q定：

為了將在帝國(guó)集團(tuán)中將上述的殖民地分類，我們引入如下向量P：

向量R是與向量P具有相同規(guī)格的向量，其元素服從均勻分布：

向量D由向量P減去向量R所得：

向量D中元素值最大的對(duì)應(yīng)帝國(guó)集團(tuán)即會(huì)占領(lǐng)上述的殖民地。

這樣選擇帝國(guó)集團(tuán)的過程與遺傳算法中選擇母類的輪盤賭過程相似。但是這里的選擇方法比相關(guān)的輪盤賭過程要快。因?yàn)檫@個(gè)過程并不需要計(jì)算累積分布函數(shù)，并且選擇過程僅僅基于可能性的值。因此，帝國(guó)集團(tuán)的選擇過程可以完全替換遺傳算法中的輪盤賭，并增加執(zhí)行速度。上述步驟將會(huì)持續(xù)下去直至實(shí)現(xiàn)國(guó)家收斂并且達(dá)到成本最小的目標(biāo)。不同標(biāo)準(zhǔn)可用來(lái)結(jié)束該算法。一種思想是設(shè)定最大迭代次數(shù)。或者當(dāng)僅剩一個(gè)帝國(guó)集團(tuán)時(shí)即結(jié)束該算法。

2.6 約束處理

依前所述，切削加工過程中存在各類非線性約束條件。ICA算法也是針對(duì)無(wú)約束優(yōu)化問題的隨機(jī)尋優(yōu)算法，因此，必須結(jié)合約束處理技術(shù)，才可用于解決切削參數(shù)優(yōu)化問題。目前流行的約束處理技術(shù)主要是罰函數(shù)法[17]。文獻(xiàn)中考慮了粒子的歷史約束狀態(tài)，本文結(jié)合二者進(jìn)行約束處理。針對(duì)本文數(shù)學(xué)模型，罰函數(shù)如公式(22)所示：

式中，α為罰因子。根據(jù)公式(22)來(lái)評(píng)價(jià)帝國(guó)和殖民地，如果當(dāng)前帝國(guó)沒有違反約束條件，則以目標(biāo)函數(shù)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，否則，根據(jù)罰函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)帝國(guó)。

3 實(shí)例分析與結(jié)果比較

3.1 模型與算法中的參數(shù)設(shè)置

3.1.1 切削參數(shù)優(yōu)化模型中相關(guān)參數(shù)設(shè)置

前面引入?yún)⒖嘉墨I(xiàn)[2～4]中的模型，這樣便于比較結(jié)果，同理，也采用相同的實(shí)例。

刀具直徑：100mm；切削長(zhǎng)度：159mm；切削深度：2mm；切削寬度：60mm。

銑刀齒數(shù)：4；

刀具刀尖直徑：1mm；

表面粗糙度最大值：3.2 ；

刀具磨損導(dǎo)致的換刀時(shí)間：600s；

主軸最低轉(zhuǎn)速：45轉(zhuǎn)/分 ；

主軸最高轉(zhuǎn)速：6000轉(zhuǎn)/分；

最小進(jìn)給速度：3mm/s；

最大進(jìn)給速度：8000mm/s ；

機(jī)床主軸最大進(jìn)給力：8000N；

機(jī)床主軸最大扭矩：200N×m；

機(jī)床主軸最大有效功率：7.5Kw；

機(jī)床功率有效系數(shù)：0.8；

查切削用量手冊(cè)[5]得刀具耐用度系數(shù)：

Cv:1067 m:0.2 y:0.2 p:0.15 u:0.1 k:0.1 q:0.25；

切削力系數(shù)：

Cf:7900 xf:1.0 yf:0.75 uf:1.1 qf:1.3 wf:0.2 kfc:0.25。

3.1.2 ICA算法中的參數(shù)設(shè)置

ICA算法中，初始國(guó)家數(shù)量為20，其中帝國(guó)數(shù)量為5，殖民地?cái)?shù)量為15；ξ為0.1，β設(shè)置為2，γ 設(shè)置為 π/4（Rad）；罰因子 α=1。

3.2 結(jié)果比較與分析

將ICA算法隨機(jī)測(cè)試20次，所得最好結(jié)果、平均值、最差結(jié)果和標(biāo)準(zhǔn)差結(jié)果與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行比較，如表1所示，其中PSO+LS代表采用局部搜索的PSO混合算法；PSO代表基本的PSO算法；SA代表模擬退火算法；Dynamic與Adaptive分別代表采用動(dòng)態(tài)及自適應(yīng)懲罰策略的遺傳算法。從表中可以看出，ICA算法最好解、平均解和標(biāo)準(zhǔn)差的值均優(yōu)于其他算法，表明了ICA算法應(yīng)用于切削參數(shù)優(yōu)化問題的有效性和優(yōu)越性。

表1 不同算法隨機(jī)測(cè)試20次的統(tǒng)計(jì)結(jié)果

4 結(jié)論

本文在考慮機(jī)床加工和工件的實(shí)際約束的基礎(chǔ)上,建立以最大生產(chǎn)率為目標(biāo)函數(shù)的銑削參數(shù)數(shù)學(xué)模型,然后應(yīng)用帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法對(duì)數(shù)控機(jī)床的銑削參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu),并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。同時(shí)，在理論研究的基礎(chǔ)上，開發(fā)出相應(yīng)的原型系統(tǒng)軟件，本文的研究?jī)?nèi)容和成果可為帝國(guó)主義競(jìng)爭(zhēng)算法求解其他相似類型問題提供啟發(fā)和借鑒。

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