張 宇，羅陸鋒

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222）

0 引言

棋盤格是連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中較為常見的一種數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象[1,2]。所謂棋盤格，是指在結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中某些區(qū)域出現(xiàn)的單元材質(zhì)密度周期性分布的一種現(xiàn)象。棋盤格的出現(xiàn)與分析單元的選擇有關(guān)，與單元的類型、單元的劃分、單元彈性模量與單元密度之間的關(guān)系以及優(yōu)化算法本身等都有關(guān)系。除了棋盤格以外，在拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)值計(jì)算中一般還存在著網(wǎng)格依賴性、局部極值、多孔材料等問題。棋盤格和網(wǎng)格依賴兩種現(xiàn)象一般同時(shí)出現(xiàn)在優(yōu)化結(jié)果中，能夠有效去除棋盤格的方法通常也能有效克服網(wǎng)格依賴現(xiàn)象[3]。

拓?fù)鋬?yōu)化中數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定性的消除非常重要，它關(guān)系到數(shù)值計(jì)算的收斂性和計(jì)算結(jié)果的可制造性問題。解決棋盤格除了采用高階有限單元代替低階單元方法外，一般還有周長(zhǎng)約束、濾波法等。從算法本身來說，周長(zhǎng)約束等于在原有的模型中添加了約束類型，可能造成收斂性和數(shù)值計(jì)算問題。濾波法是圖像處理技術(shù)中的常用方法，其基本思想是將原函數(shù)與濾波函數(shù)進(jìn)行卷積運(yùn)算[3]，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行規(guī)整化處理，提高函數(shù)光滑性。該思想應(yīng)用到拓?fù)鋬?yōu)化中的具體表現(xiàn)，就是通過調(diào)整每次迭代后單元的靈敏度從而避免棋盤格的出現(xiàn)。在這種方法中，某一單元的靈敏度依賴于其自身以及濾波半徑范圍內(nèi)相鄰單元靈敏度的加權(quán)平均值。其優(yōu)點(diǎn)是不需要在優(yōu)化問題中加入額外約束，另

外容易實(shí)施，收斂性好，計(jì)算穩(wěn)定。這種方法對(duì)消除棋盤格問題非常有效，也能一并解決網(wǎng)格依賴性問題。

1 基于SIMP插值模型的濾波算法

1.1 靈敏度分析

SIMP[1,4,5]方法的思想和前提是將離散單元內(nèi)部的材料屬性定義為常數(shù)，設(shè)計(jì)變量定義為離散單元的相對(duì)密度，盡量減少結(jié)構(gòu)中間密度單元的數(shù)目，使結(jié)構(gòu)單元密度盡可能為0或1[6]，從而用連續(xù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法來近似離散優(yōu)化設(shè)計(jì)[7]。

根據(jù)變密度方法的思想，單元材料為各向同性材料，假設(shè)單元內(nèi)材料的宏觀性質(zhì)為各向同性，其泊松比與實(shí)體材料的泊松比相等。單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元材料的等效性質(zhì)相關(guān)[8]。為了控制整個(gè)結(jié)構(gòu)位移，設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

其中，C( ρ)為結(jié)構(gòu)柔度，F(xiàn)和U分別為節(jié)點(diǎn)載荷陣和位移陣，K為剛度矩陣。如果我們以最大位移為約束條件，根據(jù)變密度方法的思想，當(dāng)對(duì)連續(xù)體結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元離散以后，假設(shè)位移最大的節(jié)點(diǎn)的位移受到了限制，則約束條件如下：

式中u*為根據(jù)有限元分析的結(jié)果所給定的合理的位移上限，ρi代表單元密度，ε為人為給定的密度下限，i=j1, j2,…, jk指優(yōu)化后密度保持不變的單元號(hào)。

有限元平衡方程為：

在插值前和插值后的材料彈性模量之間引入關(guān)系式：

其中，EP代表插值以后的彈性模量，ρiP代表迭代后的單元密度，E0和Emin分別代表固體和去除部分的彈性模量，彈性模量E( ρ)與實(shí)體彈性模量E0的比值同相對(duì)密度近似成指數(shù)關(guān)系，對(duì)上式進(jìn)行簡(jiǎn)化：則目標(biāo)函數(shù)可以修改為：對(duì)材料的平衡方程進(jìn)行微分：該方程與目標(biāo)函數(shù)相結(jié)合，可得：

根據(jù)以上各式，容易得到結(jié)構(gòu)總體柔度的靈敏度等效形式：

1.2 濾波算法實(shí)現(xiàn)

濾波法本來是圖像處理技術(shù)中的常用方法，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中，F(xiàn)代表原函數(shù)，G代表濾波函數(shù)，該表達(dá)式的基本思想是將原函數(shù)與濾波函數(shù)進(jìn)行卷積，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行規(guī)整化處理，提高函數(shù)光滑性。

將該思想引用到連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化中，針對(duì)本文變密度法模型，利用有限元法對(duì)設(shè)計(jì)區(qū)域進(jìn)行離散化，每次迭代計(jì)算后對(duì)靈敏度場(chǎng)進(jìn)行濾波，以濾波后的靈敏度場(chǎng)作為下次迭代的初始值，直至收斂。設(shè)j單元在某一次迭代后的靈敏度數(shù)值為，

現(xiàn)計(jì)算j單元濾波處理后的靈敏度值。在濾波范圍內(nèi)每個(gè)單元具有一個(gè)權(quán)重因子hi，hi的大小與該單元和當(dāng)前計(jì)算單元的中心距離成反比，計(jì)算式如下：

式中，rf表示濾波特征半徑，disk(i, j )表示單元i和當(dāng)前計(jì)算單元j的距離。當(dāng)disk(i, j )＞rf時(shí)，hi取值恒為0。

則單元濾波后的靈敏度值可以表示為：

在本文所采用的拓?fù)鋬?yōu)化算法中，每一次迭代后，有一部分單元會(huì)被刪除，也就是說這一部分已被刪除的單元不應(yīng)該再在濾波過程中起作用，為了忽略這部分單元的影響，將模型中加入懲罰系數(shù)p，則濾波函數(shù)可以修改為：

當(dāng)單元存在時(shí)，pi取值為1，否則為零。利用這種方法在每一次迭代后對(duì)設(shè)計(jì)區(qū)域中所有設(shè)計(jì)單元進(jìn)行濾波，形成濾波后的靈敏度場(chǎng)，作為下一次迭代的初始值，如此循環(huán)直到得到最優(yōu)拓?fù)湫问健?/p>

從該算法的濾波半徑設(shè)置以及濾波公式可以看出，在濾波半徑范圍之內(nèi)的單元對(duì)單元靈敏度更新有影響，并且當(dāng)濾波半徑趨近于0時(shí)，修改后的靈敏度值趨于不變，當(dāng)濾波半徑趨近于無限大時(shí)，各單元靈敏度相等。通過對(duì)每次迭代后全局靈敏度進(jìn)行修改，可以有效克服數(shù)值計(jì)算中的棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴。

2 數(shù)值模擬分析

添加了濾波算法后的基于SIMP的變秘密度法拓?fù)鋬?yōu)化方法的算法流程圖如圖1所示。

采用數(shù)值模擬方法加以驗(yàn)證。分析模型采用單邊（左側(cè)）固支懸臂梁，右邊中點(diǎn)加載集中載荷。梁的彈性模量為210×109，泊松比為0.3，厚度為2mm，右側(cè)中點(diǎn)加載向下集中載荷為1000N，位移約束為-0.18×10-3m。有限元?jiǎng)澐志W(wǎng)格24×16個(gè)。

圖1 加入濾波算法后的變密度拓?fù)鋬?yōu)化流程

圖2和圖3分別給出了未加入濾波算法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果和加入了濾波算法之后的新的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。表1是加入濾波算法前后的各項(xiàng)數(shù)據(jù)指標(biāo)。

圖2 未加入濾波算法前的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖3 加入濾波算法后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

從圖2到圖3的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可以看出，在加入濾波算法后，棋盤格現(xiàn)象消除；由表1可以看出，濾波后所得結(jié)構(gòu)滿足約束要求，結(jié)構(gòu)最終質(zhì)量略有變動(dòng)但變動(dòng)不大。棋盤格結(jié)構(gòu)中存在的應(yīng)力集中現(xiàn)象也得到了一定的控制，整體應(yīng)力分布更加均勻。

表1 加入濾波算法前后的各項(xiàng)指標(biāo)

3 結(jié)束語(yǔ)

基于工程中常用的SIMP變密度函數(shù)模型，進(jìn)行了靈敏度分析，提出了以結(jié)構(gòu)最小柔度為目標(biāo)函數(shù)、位移為約束的變密度插值模型為基礎(chǔ)的濾波思想，并推導(dǎo)了具體的計(jì)算方法。通過算例分析，明顯消除了棋盤格現(xiàn)象，同時(shí)對(duì)網(wǎng)格依賴性有所控制。證明了這種濾波方法是切實(shí)有效的。

在濾波算法算例中，設(shè)置的濾波半徑為1.8，也就是說采取的是二階濾波，對(duì)于濾波算法來講，選取合適的濾波半徑也是非常重要的。濾波半徑過小，則靈敏度變化不大，不能起到很好的消除棋盤格式的效果；反之，則會(huì)導(dǎo)致靈敏度變化過于劇烈，所得結(jié)構(gòu)完全脫離原來拓?fù)淠Ｐ?。同時(shí)，濾波法難以對(duì)全局?jǐn)?shù)值變量進(jìn)行控制，而且沒有嚴(yán)格的理論依據(jù)，有時(shí)會(huì)導(dǎo)致邊界擴(kuò)散化，產(chǎn)生模糊的邊界。這也是濾波方法的不足之一，是在具體實(shí)施過程中需要密切注意的問題。

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