CHEN Jing-song，LIU Yan-wei

0 引言

數(shù)字信息處理在現(xiàn)今的社會發(fā)展中已經(jīng)起著非常重要的作用，而數(shù)字濾波作為數(shù)字信號處理的一個重要的組成部分，成為許多科學(xué)家研究的重點對象。根據(jù)單位取樣響應(yīng)h(n)的時域特性，現(xiàn)今的數(shù)字濾波器科學(xué)地被劃分為兩個形式的系統(tǒng)，一個是無限脈沖響應(yīng)(IIR)系統(tǒng)，另外一個是限脈沖響應(yīng)(FIR)系統(tǒng)。與IIR數(shù)字濾波器相比，F(xiàn)IR 數(shù)字濾波器有著嚴格的線性相位,且具有任意的幅度特性，使得傳遞函數(shù)沒有極點，這在很大程度上保證了設(shè)計出的FIR 數(shù)字濾波器是平穩(wěn)的。

找到一組數(shù)據(jù)（a,b），只要能滿足特定FIR濾波器的要求就是設(shè)計的實質(zhì)。而在完成設(shè)計濾波器設(shè)之后，還要進一步考慮將其實現(xiàn)的細節(jié)，像是選擇哪一種結(jié)構(gòu)的濾波器結(jié)構(gòu)，濾波運算等。其中實現(xiàn)算法是實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的一個重要實現(xiàn)部分，在本文中采用的窗函數(shù)的概念，就是對無限長的信號截取一段時間內(nèi)的信號進程處理和分析，然后將得到的實驗結(jié)果進行周期性的拓展，最終取得的無限進行進行傅里葉變換和分析，且通過與傳統(tǒng)算法實現(xiàn)的FIR濾波器對比，用仿真實驗說明本文算法的優(yōu)越性。

1 窗函數(shù)設(shè)計及分析

窗函數(shù)w(t)本身具有頻帶無限的特征，即使是限制帶寬的原信號x(t)，通過窗函數(shù)截斷以后也具有了無限帶寬的性質(zhì)，使得頻域的能量與分布得到了擴展。當然，在這個截斷的過程中，即便采樣頻率很高，也會引起信號的一些誤差。從一些實驗數(shù)據(jù)中科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，這些誤差都與窗函數(shù)頻譜的兩側(cè)旁瓣有著非常緊密地聯(lián)系，故針對不同的時域要采用不同的窗函數(shù)來進行截斷，來確保與真實的頻譜相接近。窗函數(shù)的種類相對來說資源比較豐富，本文就其中三種相對常用的窗函數(shù)性質(zhì)和特點來簡要地闡述一下：

1）矩形窗

矩形窗屬于時間變量的零次冪窗，主瓣相對居中，旁瓣較高，有負旁瓣，容易在中帶變化中帶進高頻干擾和泄漏，有負譜現(xiàn)象存著的可能。其矩形窗的時域和頻域的表達式如下：

2）漢寧（Hanning）窗

3) 海明（Hamming）窗

海明窗也是余弦窗的一種，與漢寧窗相比，旁瓣達到了更小，且衰減速度相對較慢。海明窗函數(shù)的時域和頻域的具體表達式如下：

從上面的三個具體代表性的窗函數(shù)的描述上可以看出，不同的窗函數(shù)，對應(yīng)的信號頻譜影響不一樣，導(dǎo)致的能量泄露也不一致，且這與傅里葉算法中產(chǎn)生的柵欄效應(yīng)一樣，都是不能完全刪除的，故在進行窗函數(shù)的選擇時，應(yīng)考慮被分析信號的性質(zhì)與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便于分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強的干擾噪聲，則應(yīng)選用旁瓣幅度小的窗函數(shù)，如漢寧窗、三角窗等；對于隨時間按指數(shù)衰減的函數(shù)，可采用指數(shù)窗來提高信噪比。通過選擇不同的窗函數(shù)對它們的影響進行抑制，從而更好地降低設(shè)計要求，提高效率。

2 窗函數(shù)實現(xiàn)FIR數(shù)字濾波器的原理及設(shè)計

2.1 FIR數(shù)字濾波器的原理

數(shù)字濾波器的主要作用是通過改變原有的信號形式，估計信號的特征量，使得呈現(xiàn)信號中需要表達的最佳形式。FIR數(shù)字濾波器具有嚴格的線性相位，代表任意的幅度特性，單位抽樣響應(yīng)是有限長的，因而濾波器一定是穩(wěn)定的，再用快速傅立葉變換(FFT)算法來實現(xiàn)過濾信號。其具體地原理是：尋求一系統(tǒng)函H(z)，使其頻率響應(yīng)H(ejω)逼近濾波器要求的理想頻率響應(yīng)Hd(ejω)，其對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)hd(n)。一個截止頻率為ωc(rad/s)的理想數(shù)字低通濾波器，其傳遞函數(shù)的表達式是：

由上述公式可以得出，該濾波器具有無限性和因果性。為了得到有限長度的沖激響應(yīng)函數(shù)，取樣響應(yīng)為h(n)，長度為N，其系數(shù)函數(shù)為H(z)：

同時也可以得到FIR數(shù)字濾波器輸出y(n)的Z變換形式Y(jié)(z)與輸入x(n)的Z變換形式之間的關(guān)系如下：

對上述表達式進行反Z變換可以得到：

【劇情回顧】《易筋經(jīng)》是少林上乘內(nèi)功秘笈，也是所有學(xué)武之人的向往?！短忑埌瞬俊分心饺輳?fù)的侍女阿朱化裝潛入少林寺中盜出此書，并為此身受重傷。后該書輾轉(zhuǎn)被聚賢莊少莊主游坦之得到，不僅解了他身上的劇毒，還救了他一命。

從上面的公式我們可以看出，在對濾波器實際設(shè)計時，整個過程的運算量很大，且在數(shù)字濾波器設(shè)計的過程中，還要根據(jù)設(shè)計要求，不斷地調(diào)整濾波效果，以達到最優(yōu)。在這種情況下，本文提出了利用仿真實驗工具和窗函數(shù)綜合進行設(shè)計，則可以快速有效地設(shè)計出FIR數(shù)字濾波器。

2.2 窗函數(shù)的應(yīng)用

Hd(ejω)是矩形頻率響應(yīng)特性，故hd(n)一定是無限長序列，且是非因果的，而FIR濾波器的h(n)必然是有限長的，所以要用有限長的h(n)來逼近無限長的hd(n)，最有效方法是截斷hd(n)或者說用一個有限長度的窗口函數(shù)序列ω(n)來截取hd(n)，即

利用窗函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的具體步驟如下：

1）根據(jù)具體的性能要求通過對過渡帶寬度Δω及阻帶衰減AS，等參數(shù)的分析選擇合適的窗函數(shù)，并估計濾波器的長度N。

假設(shè)存在一個低通濾波器，截止頻率為ωc，滿足線性要求。設(shè)低通特性的群延時為α，

根據(jù)hd(n)是中心點在α的偶對稱無限長非因果序列，矩形窗RN(n)在得到有限長的h(n)存在優(yōu)勢，即

2）由給定的濾波器的幅頻響應(yīng)參數(shù)求出理想的單位脈沖響應(yīng)和單位取樣響應(yīng)。但是按照線形相位濾波器的約束，h(n)必須是偶對稱的，對稱中心應(yīng)為長度的一半(N-1)/2，因而必須α=(N-1)/2，所以有：

進一步得出：

3）驗證技術(shù)指標是否滿足要求。分析所設(shè)計的濾波器的幅頻特性，按照復(fù)卷積公式，在時域是相乘、頻域上是周期性卷積關(guān)系，即

對矩形窗RN(n)，則有

WR(ejω)就是頻域抽樣內(nèi)插函數(shù)，其幅度函數(shù)WR(ω)在ω=±2π/N之內(nèi)為一個主瓣，兩側(cè)形成許多衰減振蕩的旁瓣，如果將理想頻率響應(yīng)也寫成

則其幅度函數(shù)為

從FIR濾波器的頻率特性就能看出，加窗處理后提高了對頻率的響應(yīng)。窗函數(shù)的頻率特性W (ejω)使得 H (ejω)在很大程度上逼近 Hd(ejω)。此時，h(n)=h(N-1-n)同時滿足了線性相位的特征。

3 結(jié)束語

窗函數(shù)法的優(yōu)點是簡單，有閉合形式的公式可循，因而很實用。窗函數(shù)法是從時域出發(fā)，通過一定的窗函數(shù)截取有限長的單位脈沖響應(yīng)來逼近理想單位脈沖響應(yīng)；頻率抽樣法則是從頻域出發(fā)對理想脈沖響應(yīng)的逼近。所設(shè)計的數(shù)字濾波器和傳統(tǒng)設(shè)計的濾波器比較,頻率響應(yīng)同理想頻率響應(yīng)之間的逼近誤差最小,速度提高了很多,設(shè)計過程得到了很大的簡化,方便了開發(fā)設(shè)計。

[1] 黃大衛(wèi). 數(shù)字濾波器[M]. 北京: 中國鐵道出版社. 1991.

[2] 丁美玉, 高西全. 數(shù)字信號處理[M]. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社. 2001.

[3] 常迥. 數(shù)字信號處理[M]. 北京: 地質(zhì)出版社, 1980.

[4] 樓順天, 李博菡. 基于窗函數(shù)的系統(tǒng)分析與設(shè)計——信號處理[M]. 西安: 西安電子科技大學(xué)出版社. 2000.