盧緒祥， 劉正強(qiáng)， 黃樹紅， 李錄平

（1.華中科技大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，武漢430074；2.長(zhǎng)沙理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，長(zhǎng)沙410114）

現(xiàn)代機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中內(nèi)部或邊界上的間隙使在外界激勵(lì)作用下不同零部件間產(chǎn)生碰撞振動(dòng)，從而對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力特性、可靠性和壽命等技術(shù)指標(biāo)產(chǎn)生重要影響，如航天器伸展機(jī)構(gòu)和渦輪機(jī)械轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等機(jī)械系統(tǒng)中的運(yùn)動(dòng)副間隙引起的碰撞振動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)效率和工作精度降低［1］.然而，碰撞（沖擊）阻尼器和透平機(jī)械葉片的碰撞減振結(jié)構(gòu)卻可以利用零部件的相互碰撞來快速傳遞和耗散能量，從而提高該類結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性和壽命［2－5］.同時(shí)，含間隙的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)具有復(fù)雜的非線性和不連續(xù)性，因此對(duì)其進(jìn)行研究既具有工程實(shí)際意義又有較大的理論價(jià)值.

一般，含間隙和碰撞的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)為多參數(shù)高維系統(tǒng)，并且碰撞或沖擊等因素造成的非線性與奇異性使系統(tǒng)具有很強(qiáng)的非線性動(dòng)力特性.目前，許多研究者借助非線性振動(dòng)理論的數(shù)值解法獲得了該類系統(tǒng)的非線性振動(dòng)規(guī)律：不僅存在著多種周期運(yùn)動(dòng)，而且隨著參數(shù)的變化出現(xiàn)各種分岔（周期倍化分岔、Hopf分岔等），進(jìn)而演變成概周期、非周期或混沌運(yùn)動(dòng)［6－9］.但在研究中全面考慮碰撞中的所有物理過程十分困難，因此需對(duì)碰撞條件和碰撞過程進(jìn)行合理簡(jiǎn)化，從而建立起比較符合實(shí)際的碰撞模型.筆者采用廣義Hertz接觸理論將該碰撞振動(dòng)系統(tǒng)等效為無質(zhì)量彈簧－阻尼器，建立含對(duì)稱間隙結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，然后通過數(shù)值求解對(duì)該結(jié)構(gòu)模型在不同參數(shù)條件下的非線性振動(dòng)特性進(jìn)行分析.

1 含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

含雙側(cè)間隙結(jié)構(gòu)的對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為如圖1所示的動(dòng)力學(xué)模型.將碰撞振子簡(jiǎn)化為由剛度為k的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接而成的集中質(zhì)量塊m，在簡(jiǎn)諧激振力Fe＝F0sin wt的作用下發(fā)生振動(dòng).

當(dāng)振動(dòng)位移x大于間隙d或小于間隙－d時(shí)，碰撞振子分別與左右兩側(cè)質(zhì)體發(fā)生接觸碰撞.接觸碰撞力用廣義Hertz接觸碰撞力FR進(jìn)行描述，因而可以得到其運(yùn)動(dòng)方程：

式中：m、c、k分別為碰撞振子的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；F0為外界激振力幅值；w為激勵(lì)圓頻率.

圖1 含雙側(cè)間隙結(jié)構(gòu)的碰撞振動(dòng)模型Fig.1 Dynamic model of the impact－vibration system with double－side clearance

為研究碰撞過程中碰撞力的變化，大多學(xué)者采用考慮變形的等效彈簧阻尼模型，用彈簧來模擬碰撞中系統(tǒng)構(gòu)件的變形，用與之串聯(lián)的阻尼器來考慮接觸過程中碰撞體彈性波的影響并反映出碰撞時(shí)能量的損耗特性，其中大多數(shù)科研工作者采用Hertz接觸模型［10］.廣義的Hertz接觸碰撞力可表示為：

式中：δ為兩個(gè)質(zhì)體沿接觸面法向相對(duì)位移；δ·為相對(duì)速度；Dh為阻尼函數(shù)，Dh＝λδn；λ為滯后阻尼系數(shù)；kh為彈性力學(xué)中的Hertz接觸剛度，它取決于材料特性和曲率半徑；r1和r2分別為兩個(gè)質(zhì)體接觸點(diǎn)的曲率半徑；Ei和νi分別為兩個(gè)質(zhì)體的彈性模量和泊松比.

借助于Newton恢復(fù)系數(shù)e＝－ν／ν0確定碰撞前、后速度，并結(jié)合由試驗(yàn)結(jié)果擬合的恢復(fù)系數(shù)對(duì)于碳鋼和青銅材料，系數(shù)ai＝0.08～0.32s／m，一般取一階近似），再根據(jù)碰撞接觸過程中的能量守恒可得滯后阻尼系數(shù)λ：

故廣義Hertz接觸碰撞力可表示為：

考慮到間隙對(duì)動(dòng)力學(xué)模型的影響，故碰撞力可表示為：

為便于微分方程的數(shù)值求解，引入以下參數(shù)：無量綱時(shí)間τ（τ＝ωnt）、激振力頻率ω、固有頻率ωn阻尼因子無量綱頻率比并引入新變量或新狀態(tài)量

則可將該動(dòng)力學(xué)模型化成以下狀態(tài)空間形式：

2 數(shù)值求解方法與模型相關(guān)參數(shù)

含間隙碰撞動(dòng)力學(xué)模型中引入了非線性的Hertz接觸力，很難直接用解析方法進(jìn)行求解，因此筆者采用具有良好計(jì)算精度和穩(wěn)定性的四－五階Runge－Kutta法對(duì)該模型的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解.通過數(shù)值仿真得到該含間隙碰撞模型在不同頻率比、間隙和激振力幅值下非線性響應(yīng)的分岔圖、時(shí)域波形圖、相圖、Poincaré圖和功率譜圖，并以此進(jìn)一步研究該模型的非線性振動(dòng)特性.

筆者以長(zhǎng)沙理工大學(xué)振動(dòng)實(shí)驗(yàn)室葉柵碰撞試驗(yàn)臺(tái)上獲得的自帶冠葉片參數(shù)作為模擬參數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解.各模擬參數(shù)分別為：m＝0.16kg，ζ＝0.02，a1＝0.1，ωn＝2πf1＝421rad／s，kh＝108N／m.在進(jìn)行頻率比變化分析時(shí)，其余參數(shù)的取值分別為：F0＝20N，d＝0.1mm，Ω＝0.55～1.5；在進(jìn)行激振力幅值變化分析時(shí)，其余參數(shù)分別取值如下：d＝0.1mm，Ω＝1.02，F(xiàn)0＝20～50N；在進(jìn)行間隙變化分析時(shí)，其余參數(shù)分別取值為：F0＝20N，Ω＝1.02，d＝0～5mm.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與非線性振動(dòng)特性

3.1 頻率比變化對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖2為在一定激振力幅值F0和間隙d下該模型系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)振幅x隨頻率比Ω變化的分岔圖.由圖2（a）可知：x隨頻率比Ω 變化經(jīng)歷了周期運(yùn)動(dòng)、倍周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)以及混沌運(yùn)動(dòng)等各種復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)形式，且寬、窄的混沌帶隨頻率比變化交替出現(xiàn)；在頻率比約為1時(shí)，非線性振動(dòng)特性變化較為顯著.由圖2（b）可知：當(dāng)1＜Ω＜1.031時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)主要以周期運(yùn)動(dòng)為主；在Ω＝1.031時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)經(jīng)過一個(gè)倍周期分岔為周期2運(yùn)動(dòng)；當(dāng)1.031＜Ω＜1.034時(shí)，進(jìn)入?yún)?shù)域極窄的混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)頻率比Ω達(dá)到1.034時(shí)，又進(jìn)入周期2運(yùn)動(dòng)；隨后在1.048＜Ω＜1.072時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)又進(jìn)入周期運(yùn)動(dòng)，但在Ω達(dá)到1.072之后，系統(tǒng)響應(yīng)由周期運(yùn)動(dòng)陣發(fā)性進(jìn)入?yún)?shù)域較寬的混沌運(yùn)動(dòng).

圖2 當(dāng)F0＝20N、d＝0.1mm時(shí)模型系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨Ω變化的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of system response xvarying with frequency ratioΩ （F0＝20N，d＝0.1mm）

圖3給出了頻率比Ω分別為1.02、1.04和1.2時(shí)的時(shí)域波形圖、相平面圖、Poincaré截面圖和功率譜圖.由圖3（a）的波形圖和相平面圖可知：每個(gè)周期內(nèi)碰撞振子在左右兩端各碰撞2次；同時(shí)，在Poincaré截面圖上出現(xiàn)1個(gè)孤立點(diǎn)，在功率譜圖上只出現(xiàn)了無量綱頻率Ω倍頻時(shí)的孤立譜峰.由此可見，系統(tǒng)在此頻率比下呈周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)頻率比為1.04時(shí)，雖然碰撞振子每周期也在左右兩端各碰撞2次，但相鄰兩周期內(nèi)的碰撞運(yùn)動(dòng)情況不同，因此出現(xiàn)了圖3（b）中相平面的運(yùn)動(dòng)形式，同時(shí)在Poincaré截面圖上出現(xiàn)2個(gè)孤立點(diǎn)，在功率譜圖上也出現(xiàn)了除無量綱頻率Ω倍頻的孤立譜峰以外的分頻譜峰，說明系統(tǒng)此時(shí)進(jìn)入了周期2的倍周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)頻率比為1.2時(shí)，從時(shí)域圖看出系統(tǒng)響應(yīng)的波形出現(xiàn)了紊亂的峰線，看不出明顯的周期波形線，在周期內(nèi)的碰撞次數(shù)變化不定，在相應(yīng)的相平面圖中也呈無規(guī)律運(yùn)動(dòng)，同時(shí)Poincaré截面圖呈現(xiàn)分散性堆積的散點(diǎn)圖，在功率譜圖上出現(xiàn)連續(xù)的譜線，說明系統(tǒng)發(fā)生了混沌運(yùn)動(dòng).

圖3 不同頻率比時(shí)的振動(dòng)特性Fig.3 Vibration characteristics at various frequency ratios

3.2 激振力幅值變化對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖4給出了頻率比為1.02、間隙為0.1mm時(shí)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨激振力幅值變化的分岔圖.由圖4可知：在一定條件下，激振力幅值的變化對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性有很大影響，在較大的激振力幅值范圍內(nèi)存在著較寬的混沌帶，變化范圍較長(zhǎng)的周期運(yùn)動(dòng)和倍周期運(yùn)動(dòng)（周期2）只出現(xiàn)在激振力幅值為20～22N、33～35.8N和43～46.7 N內(nèi)，且其中依然摻雜著混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，許多情況下都是由周期運(yùn)動(dòng)陣發(fā)性進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng).圖5給出了激振力幅值為33.5N和50N時(shí)的時(shí)域圖、相平面圖、Poincaré截面圖和功率譜圖.由圖5可知：在激振力幅值為33.5N時(shí)出現(xiàn)了周期2的倍周期運(yùn)動(dòng)，但碰撞振子在每周期內(nèi)左右兩端碰撞次數(shù)各不相同，且在左端的碰撞情況比右端復(fù)雜；而在激振力幅值為50N時(shí)出現(xiàn)了明顯的混沌運(yùn)動(dòng)，Poincaré截面圖上出現(xiàn)了無規(guī)律的散點(diǎn)，且在功率譜圖上出現(xiàn)連續(xù)的譜線.

圖4 頻率比為1.02、間隙為0.1mm時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨激振力幅值變化的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system response xvarying with amplitude of exciting force（Ω＝1.02，d＝0.1mm）

3.3 間隙變化對(duì)振動(dòng)特性的影響

圖5 不同激振力幅值下的振動(dòng)特性Fig.5 Vibration characteristics at various amplitudes of exciting force

圖6 當(dāng)F0為20N、Ω為1.02時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)振幅x隨間隙變化的分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of system response xvarying with clearance（F0＝20N，Ω＝1.02）

圖7 不同間隙下的系統(tǒng)振動(dòng)特性Fig.7 Vibration characteristics at various clearances

圖6為在一定頻率比和激振力幅值下系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)振幅x隨間隙變化的分岔圖.圖7為不同間隙下的系統(tǒng)振動(dòng)特性.由圖6可知：當(dāng)頻率比和激振力幅值一定，即外部激振力一定時(shí)，間隙變化對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)振幅的影響較小，但間隙較小時(shí)變化較為復(fù)雜，即在間隙d為0～0.4mm時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)振幅出現(xiàn)了周期、倍周期（如間隙為0.2mm時(shí)的周期2、0.25mm時(shí)的周期3和0.3mm時(shí)的周期5運(yùn)動(dòng)）和混沌運(yùn)動(dòng)；當(dāng)間隙為0.85～1.45mm時(shí)出現(xiàn)了較寬參數(shù)域的周期3運(yùn)動(dòng)，而在間隙大于1.45mm后，除了在間隙為2.65mm時(shí)出現(xiàn)了周期2的倍周期運(yùn)動(dòng)外，其余間隙情況下都出現(xiàn)單周期運(yùn)動(dòng)，且隨著間隙的增大，系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)振幅的幅值也增大.由圖7可知，當(dāng)系統(tǒng)處在不同間隙時(shí)，其振動(dòng)特性不同：當(dāng)間隙為0.15mm時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)顯現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，不同周期內(nèi)碰撞振子在兩端的碰撞次數(shù)也不同；在間隙為2.65mm時(shí)，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)周期2運(yùn)動(dòng)，碰撞振子在每個(gè)周期內(nèi)都只在一端碰撞1次，功率譜上也出現(xiàn)了1／2分頻振動(dòng)；當(dāng)間隙增大到2.8 mm或更大的間隙時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入了規(guī)則的單周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)在相平面圖上呈現(xiàn)橢圓形狀，而在功率譜圖上則只出現(xiàn)了工頻振動(dòng)的譜峰，說明此時(shí)系統(tǒng)已無碰撞.同時(shí)，由圖7中的各分圖還可以看出：碰撞振動(dòng)系統(tǒng)通過碰撞可以起到良好的碰阻減振作用，且隨著間隙的增大，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的功率增加，這也說明自帶冠葉片的冠間間隙大小對(duì)其振動(dòng)特性影響較大，間隙較小時(shí)碰撞減振效果較好.

4 結(jié) 論

（1）采用廣義的Hertz接觸理論，將含雙側(cè)間隙的諧對(duì)稱碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的碰撞特性等效為無質(zhì)量彈簧－阻尼器，建立了一類含對(duì)稱間隙的碰撞振動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型，可以比較客觀地描述該結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性.

（2）頻率比、激振力幅值和間隙對(duì)含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性均有影響，并隨著這些參數(shù)的改變，碰撞振動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)了周期、倍周期和混沌運(yùn)動(dòng).

（3）頻率比和激振力幅值對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響很大，出現(xiàn)了較寬的混沌帶.而間隙對(duì)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)的影響相對(duì)較小，但在較小的間隙變化范圍內(nèi)，系統(tǒng)的振動(dòng)特性變化較大.因此，在工程上如要使碰撞振動(dòng)系統(tǒng)能夠處于穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需先研究這些參數(shù)在不同情形下的振動(dòng)特性，以便獲得較好的碰撞減振效果，從而提高碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的可靠性.

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