楊小莉

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州730070)

0 引言

文獻(xiàn)[1]給出了具有比率依賴型功能反應(yīng)函數(shù)的模型

其中u，v分別表示食餌和捕食者的密度函數(shù)，a，b分別表示各自的內(nèi)稟增長率．f(u，v)=βu/(u+mv)為比率依賴型功能反應(yīng)函數(shù)，它考慮到捕食過程中食餌起到的影響，反映了捕食者和食餌之間的相互作用關(guān)系．v方程中的v/u，稱為Leslie－Gower項(xiàng)[2]，它表示環(huán)境對捕食者的承載能力依賴于食餌的數(shù)量．Ω是n中具有光滑邊界的有界區(qū)域，η是?Ω上的單位外法向量，齊次Neumann邊界條件表示系統(tǒng)(1)是自包含的且邊界上沒有種群遷移．初值u0，v0是光滑正函數(shù)．d11，d22是u，v的擴(kuò)散率．(1)中的參數(shù)都假定為正常數(shù)．

其中d12，d21是交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)．一般地，交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)可以取正值，負(fù)值或零．其生態(tài)學(xué)解釋按文獻(xiàn)[2]的觀點(diǎn)是:一種群帶正的交錯(cuò)擴(kuò)散系數(shù)表示該種群從另一種群的高密區(qū)向低密區(qū)擴(kuò)散，而擴(kuò)散系數(shù)為負(fù)表示該種群從另一種群的低密區(qū)向高密區(qū)擴(kuò)散．

本文總假設(shè)(2)成立，主要研究交錯(cuò)擴(kuò)散對平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性的影響．

1 ODE系統(tǒng)中E1的穩(wěn)定性

本節(jié)在d11=d12=d21=d22=0時(shí)，考察E1的穩(wěn)定性．平衡點(diǎn)E1處的線性化矩陣為

當(dāng)(2)成立時(shí)，

由Routh－Hurwitz判別法知，下面的結(jié)論成立．

定理1 當(dāng)d11=d12=d21=d22=0時(shí)，正平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定．

2 系統(tǒng)(1)中E1的穩(wěn)定性

令0=μ1＜μ2＜μ3＜…是算子－△在Ω上帶齊次 Neumann邊界條件的特征值，E(μi)是H1(Ω)中與特征值μi相應(yīng)的特征子空間．令X=u∈[H1(Ω)]2:?ηu=0，x∈?Ω}，Xij={c·φij:c∈R2}，其中{φij:j=1，…，dimE(μi)}是空間E(μi)的一組正交基，則

令U=(u，v)，D=diag(d11，d22)，L=D△+J1．則(1)在E1處的線性化方程為Ut=LU．對任意的i≥1，λ是算子L的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ是－μiD+J1的特征值．而－μiD+J1的特征多項(xiàng)式為

φi(λ)=λ2+[μi(d11+d22)－(a11+a22)]λ+結(jié)合(5)和(6)式知μi(d11+d22)－(a11+a22)＞0，a11a22－a12a21＞0，所以只要d11a22+d22a11＜0就可以推出μ2id11d22－μi(d11a22+d22a11)+a11a22－a12a21＞0．即當(dāng)時(shí)，E1是(1)的局部漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)．

進(jìn)一步，當(dāng)a＞，即時(shí)，對任意的正常數(shù)d11和d22，E1都是局部漸近穩(wěn)定的．這說明當(dāng)食餌的內(nèi)稟增長率大時(shí)，擴(kuò)散不會(huì)引起不穩(wěn)定．

3 系統(tǒng)(3)非負(fù)常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性

本節(jié)討論系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)E1的穩(wěn)定性．系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E1處的線性化算子為

特征多項(xiàng)式為

因?yàn)棣蘨(d11+d22)－(a11+a22)＞0，a11a22－a12a21＞0，d11d22－d12d21＞0?d12，只要d11a22+

d22a11－d12a21－d21a12＜0，就有+a11a22－a12a21＞0．

[1] 彭銳，王明新．一個(gè)具有擴(kuò)散和比例依賴響應(yīng)函數(shù)捕食模型的定性分析[J]．中國科學(xué) A，2008，(2):135－148．

[2] Dubey B，Das B，and Hussain J，A Predator－ prey Interaction Model with Self and Cross－ diffusion[J]．Ecological modwlling，2001(1):67－76．

[3] Braza P A．The Bifurcation Structure of the Holling－ tanner Model for Predator－ prey Interactions Using Two － timing[J]．SIAM J Appl Math，2003(63):889－904．

[4] Hsu S B，Huang T W．Global Stability for a Class of Predatorprey Systems[J]．SIAM J Appl Math，1995(55):763 －783．

[5] Du Y H，Hsu S B．A Diffusive Predator－prey Model in Heterogeneous Enviroment[J]．J Differerntial Equations，2004，(203):331－364．

[6] Du Y H，Wang M X．Asymptotic Behacior of Positive Steadystates to a Predator－ prey Model[C]．Proc Roy Soc Edinburgh Sect A，2006，(136):759 －778．

[7] Peng R，Wang M X．Positive Steady－states of the Hollong－Tanner Prey－ predator Model with Diffution[C]．Proc Roy Soc Edinburgh Sect A，2005，(135):149 －464．

[8] Peng R，Wang M X．Global Stability of the Equilibrium of a Diffusive Holling － Tanner Prey － predator Model[J]．Appl Math Lett，2007，(20):664 －670．

[9] Ko W，Ryu K．Non－constant Positive Steady－states of a Predator－ prey System in Homogeneous Environment[J]．J Math A-nal Appl，2007，(327):539 －549．

[10] Rosenzweig M，Paradox of Enrichment:Destabilization of Exploitation Ecosystem in Ecological Time[J]．Science，vol．1971，(171):385 －387．