郭占社 ， 曹 樂(lè) ， 趙 鑫 ， 樊尚春

（1. 北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191；2. 精密光機(jī)電一體化教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100191）

微機(jī)械靜電梳齒驅(qū)動(dòng)器自1989年由Tang[1]等提出以來(lái)，由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、與集成電路工藝兼容等優(yōu)點(diǎn)而在微機(jī)電系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。尤其在航空航天領(lǐng)域，MEMS梳齒驅(qū)動(dòng)器已經(jīng)成為 MEMS慣性器件如加速度傳感器[2]以及MEMS陀螺[3]最主要的驅(qū)動(dòng)源以及弱信號(hào)檢測(cè)的手段。

目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)MEMS梳齒驅(qū)動(dòng)器的研究，大多都是利用理想情況下的計(jì)算[4]得到的，即認(rèn)為計(jì)算過(guò)程中電場(chǎng)的邊緣效應(yīng)可以忽略不計(jì)。然而，由于實(shí)際利用 MEMS工藝制作梳齒電容過(guò)程中加工工藝的限制，導(dǎo)致梳齒間的深寬比相對(duì)較小，在此情況下，電容的邊緣效應(yīng)已不可忽略[5-7]。因此，欲得到高精度的計(jì)算結(jié)果，必須對(duì)其理想模型進(jìn)行重新評(píng)估，以得到較精確的計(jì)算結(jié)果。

本文利用有限元分析方法中的能量法，提出了一種基于能量法的對(duì)梳齒驅(qū)動(dòng)器電容量進(jìn)行高精度仿真計(jì)算的方法，實(shí)驗(yàn)證明，相對(duì)于其它常用的電容仿真方法[8-10]，此方法具有較高的計(jì)算精度。

1 微機(jī)械梳齒驅(qū)動(dòng)器工作原理

典型的微機(jī)械梳齒驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，它主要由可動(dòng)梳齒、固定梳齒、支撐梁、錨點(diǎn)等4部分組成?？蓜?dòng)梳齒與支撐梁相連接，固定在錨點(diǎn)上。測(cè)試過(guò)程中首先在驅(qū)動(dòng)端施加一電壓V，由于靜電梳齒驅(qū)動(dòng)器電容極板間靜電力作用，驅(qū)動(dòng)器可動(dòng)梳齒沿 X方向會(huì)產(chǎn)生一定位移，使得檢測(cè)端梳齒交疊面積發(fā)生變化，使電容量C也隨之發(fā)生變化。通過(guò)檢測(cè)電容量的變化，便可實(shí)現(xiàn)對(duì)位移的檢測(cè)。

圖1 梳齒驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)示意圖

可見(jiàn)，電容量的精確計(jì)算對(duì)于 MEMS傳感器中梳齒驅(qū)動(dòng)器的性能研究及設(shè)計(jì)具有重要意義。

2 梳齒電容驅(qū)動(dòng)器有限元仿真方法

一般地，梳齒電容計(jì)算采用理想模型進(jìn)行計(jì)算，該公式中電容可表示為

其中，ε為介電常數(shù)，a為梳齒寬度，b為相鄰梳齒的重疊長(zhǎng)度，d為相鄰梳齒間距，n表示組成梳齒驅(qū)動(dòng)器的極板電容的對(duì)數(shù)。

然而，由于 MEMS制作工藝限制，導(dǎo)致梳齒電容極板的深寬比較小，此時(shí)，邊緣效應(yīng)已不可忽略。由于影響電容量的因素比較復(fù)雜，所以欲推導(dǎo)出真正符合計(jì)算要求的理論模型十分困難，而有限元仿真技術(shù)正是解決這一問(wèn)題有效手段之一。

2.1 常用仿真方法

一般地，有限單元法對(duì)梳齒電容計(jì)算大多是采用CMATRIX宏命令進(jìn)行的。該方法能進(jìn)行多元模擬求得多導(dǎo)體系統(tǒng)自電容和互電容，并能把對(duì)地電容矩陣變換成集總電容矩陣，以便用于電路仿真。但對(duì) MEMS梳齒驅(qū)動(dòng)器的研究通常不關(guān)心其自、互電容和電容矩陣，而是期望得到直觀的電容量數(shù)值。所以用CMATRIX對(duì)驅(qū)動(dòng)器進(jìn)行電容提取會(huì)給研究帶來(lái)很多不必要的麻煩，在進(jìn)行復(fù)雜模型的相關(guān)計(jì)算時(shí)對(duì)試驗(yàn)機(jī)器硬件要求較高，且精度較低。因此，該方法雖能給出參考結(jié)果，但并不能完全勝任梳齒驅(qū)動(dòng)器的電容檢測(cè)仿真分析工作。

2.2 能量法進(jìn)行電容有限元仿真

鑒于針對(duì)梳齒驅(qū)動(dòng)器的電容檢測(cè)仿真分析方法的現(xiàn)狀，本文提出利用被熟知的能量和電容的關(guān)系來(lái)對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行電容提取。計(jì)算過(guò)程中首先利用有限元軟件計(jì)算出在極板施加電壓后電容器每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的能量 Ei施加驅(qū)動(dòng)電壓后電容器所有節(jié)點(diǎn)的能量之和。該結(jié)果可表示為

其中n表示有限元網(wǎng)格中結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)，n越大，得到的計(jì)算精度越高。

于是，由能量與兩極板間電勢(shì)差及電容量間的關(guān)系

式中V1和V2分別表示施加于兩個(gè)極板的電勢(shì)，we是靜電場(chǎng)能量，C為電容，得到電容表達(dá)式為

2.3 能量分析法在MEMS梳齒驅(qū)動(dòng)仿真中的應(yīng)用

為驗(yàn)證該方法的測(cè)試精度，利用有限元軟件Ansys，對(duì)利用MEMS工藝制作的硅微機(jī)械陀螺上用于質(zhì)量塊驅(qū)動(dòng)的靜電梳齒驅(qū)動(dòng)器電容進(jìn)行了仿真計(jì)算，器件實(shí)物圖如圖2所示，圖中梳齒共 180個(gè)，材料為單晶硅， 仿真過(guò)程中材料相關(guān)機(jī)械參數(shù)如表1所示。

表1 材料特性參數(shù)表

圖2 MEMS 陀螺顯微圖片

建立得到的有限元模型如圖3所示，模型中相關(guān)尺寸即采用實(shí)際加工完畢后的數(shù)值，其具體數(shù)值如表2所示。

圖3 梳齒電容驅(qū)動(dòng)器有限元模型

表2 梳齒驅(qū)動(dòng)器的尺寸數(shù)據(jù) ( μm )

采用能量法，計(jì)算得到平板電容電場(chǎng)分布如圖4所示，由圖可以看出，在MEMS梳齒驅(qū)動(dòng)器邊緣，電場(chǎng)強(qiáng)度仍然具有較大的數(shù)值，表明MEMS梳齒驅(qū)動(dòng)器的邊緣效應(yīng)是不可忽略的。

圖4 電場(chǎng)分布模擬仿真結(jié)果

計(jì)算得到的各節(jié)點(diǎn)能量之和為1.91×10-11J。把該結(jié)果代入式（4）得到該梳齒驅(qū)動(dòng)器中電容計(jì)算結(jié)果為1.5283 pF。

同樣，對(duì)相同梳齒驅(qū)動(dòng)器，運(yùn)用前述CMATRIX法計(jì)算得到的結(jié)果為1.5793 pF。

利用公式（1），采用相同的尺寸及材料參數(shù)，可得到在忽略邊緣效應(yīng)及制作工藝條件下該梳齒驅(qū)動(dòng)器電容量理想值為1.27pF。

可見(jiàn)，由于考慮了邊緣效應(yīng)的影響，采用能量法以及CMATRIX法得到的結(jié)果都比采用理想公式得到的結(jié)果大得多。而采用能量法得到的計(jì)算結(jié)果更接近于理想計(jì)算結(jié)果。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步比較能量法以及CMATRIX法的計(jì)算精度，利用高精度 LCR測(cè)試儀，對(duì)在同一工藝條件下，一個(gè)加工批次制作的硅 MEMS陀螺質(zhì)量塊上的梳齒驅(qū)動(dòng)器的電容量進(jìn)行了測(cè)試。為減小測(cè)試過(guò)程中的偶然誤差，測(cè)試共選取了3個(gè)樣品，并對(duì)每個(gè)樣品進(jìn)行了3次測(cè)試。

利用高精度LCR設(shè)備測(cè)試得到的結(jié)果如表3所示。

表3 梳齒驅(qū)動(dòng)器電容量測(cè)量值 (pF)

依據(jù)誤差理論與數(shù)據(jù)處理相關(guān)知識(shí)，得到電容量平均值

可見(jiàn)，相對(duì)于理想計(jì)算結(jié)果，實(shí)驗(yàn)結(jié)果同樣具有較大的數(shù)值。該測(cè)量結(jié)果與本文提出的能量法的基于ANSYS的電容檢測(cè)仿真計(jì)算得到的結(jié)果間的相對(duì)誤差為

同樣，對(duì)相同梳齒驅(qū)動(dòng)器，該測(cè)量結(jié)果與利用CMATRIX方法比較得到的相對(duì)誤差為

式中 Ce和 Cm分別表示利用能量法以及CMATRIX法得到的電容量計(jì)算結(jié)果?？梢?jiàn)，相對(duì)于CMATRIX法，采用能量法能夠得到更加準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于能量法的對(duì)梳齒電容驅(qū)動(dòng)器電容量進(jìn)行高精度仿真計(jì)算的方法并利用 Ansys軟件實(shí)現(xiàn)了該方法。然后，以 MEMS陀螺上的靜電梳齒驅(qū)動(dòng)器為研究對(duì)象，對(duì)其電容量進(jìn)行了仿真計(jì)算。利用該方法及常用的CMATRIX法得到的計(jì)算結(jié)果分別為 1.5283 pF和1.5793 pF。該計(jì)算結(jié)果與利用高精度LCR測(cè)試儀測(cè)得的電容值1.5172 pF之間的相對(duì)誤差分別為0.73%和4.09%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法具有較高的計(jì)算精度，能夠滿(mǎn)足相關(guān)運(yùn)算的需求。

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