李晶晶

（山東科技大學理學院 山東 青島 266590）

1 簡述(Simple Description)

時滯現(xiàn)象是自然界中普遍存在的現(xiàn)象,在控制系統(tǒng)的設計和分析中如不考慮時滯的影響，有可能導致閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定。因此近年來時滯系統(tǒng)的研究已經成為控制領域一個非常熱門的研究方向[1-3]，H∞控制是一種重要的魯棒控制方法，它要求在系統(tǒng)存在不能精確測量的外部干擾情況下，設計控制器有效抵消外來干擾的影響在一定水平之下。H∞控制無論在理論研究還是工程應用方面都取得了巨大的進展?？v觀現(xiàn)有文獻，當系統(tǒng)方程中含不確定項，狀態(tài)和控制同時有時滯情形，其相關的H∞控制研究幾乎還是個空白。本文對狀態(tài)和輸入帶時滯的不確定性線性系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality）[4]的處理方法，給出了狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器存在的條件。本文所設計的狀態(tài)反饋控器能夠使時滯系統(tǒng)不僅對參數不確定性具有魯棒性而且對外部擾動滿足給定的衰減性能指標。

2 問題描述(Problem Description)

考慮不確定線性時滯連續(xù)系統(tǒng)：

其中 x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，u(t)∈Rm為控制變量，ω(t)∈Rn為有限能量的外部干擾，y(t)為被調輸出變量，時滯d≥0。

假設參數不確定性滿足匹配和范數有界條件：

式中：H，Hd，E1，E2，Ed為適維常值矩陣，F(xiàn)(t)為時變適維 Lebesgue可測函數矩陣，且滿足

若采用無記憶狀態(tài)反饋控制

則閉環(huán)系統(tǒng)為：

本文的問題描述是：對不確定時滯連續(xù)系統(tǒng)（1），給定H∞干擾衰減指數r，如何求出狀態(tài)反饋控制（3），對任意d≥0滿足：

⑴閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;

⑵ 從外部干擾ω(t)到輸出y(t)的傳遞函數矩陣G(s)的H∞范數不超過給定的常數r，即在零初始條件x(t)=0，t∈［-d, ］0 時：

其中，r是一預先規(guī)定的常數。

如果滿足上述條件的狀態(tài)反饋控制器（3）存在，稱系統(tǒng)（1）在狀態(tài)反饋控制器（3）的作用下是具有H∞范數界r可靠魯棒鎮(zhèn)定的。

3 主要結果(Main Conclusion)

引理1[1]對如下線性時滯系統(tǒng)：

若存在對稱正定矩陣，使下列矩陣不等式成立：

則系統(tǒng)（6）具有性能 r。

引理2[2]對任意矩陣M，H和E為合適維數的實矩陣，且對于所有的 F(t)滿足 F(t)TF(t)≤I，我們有

M+HF(t)E+ETF(t)THT＜0

當且僅當存在常數ε＞0，使得：

M+εHHT+ε-1ETE＜0

引理 3[3]（schur’s 補引理）：實矩陣 N，M=MT，R=RT＞0,下列兩個式子是等價的：

定理1對系統(tǒng)（1）和給定的干擾衰減指標r＞0，使得對所有允許的不確定性F（t），如果存在對稱正定矩陣X，Q和矩陣W，以及標量ε1＞0,ε2＞0，使得以下矩陣不等式成立：

則系統(tǒng)（1）存在具有H∞性能r的無記憶狀態(tài)反饋魯棒控制器。若（）是矩陣不等式（8）的一個可行解，則是系統(tǒng)（1）的一個狀態(tài)反饋魯棒H∞控制器。

證明:要使系統(tǒng)（1）具有H∞性能指標r，根據引理1，須有下列不等式成立：

根據引理[2]，式（9）成立，當切僅當存在標量 ε1＞0,ε2＞0，使得下式成立：

將y1代入，利用Schur補性質，有：

再利用Schur補性質，有：

其中，X=P-1W=KP-1Q=P-1SP-1

從而定理得證。

4 結論(Conclusion)

針對狀態(tài)和輸入帶時滯的不確定性線性系統(tǒng)，利用線性矩陣不等式LMI（Linear Matrix Inequality），提出了反饋魯棒H∞控制器的存在條件。本文所設計的狀態(tài)反饋控器能夠使時滯系統(tǒng)不僅對參數不確定性具有魯棒性而且對外部擾動滿足衰減的性能指標。

［1］Zhang,W.H.,Chen,B.S.,Feedback stabilizability of nonlinear stochastic systems with state and control-dependent noise[M].The 4th Asian Control Conference,2002,to appear.

［2］Mao,X.,Robustness of exponential stability of uncertain stochastic differential delay equations[M].System&Control Letters,35,325-336,1998.

［3］何關玨.線性控制系統(tǒng)理論[M].沈陽:遼寧人民出版社，1982.

［4］程云鵬,張凱院,徐仲.矩陣論[M].西安:西北工業(yè)大學出版社，2002.