石金喜,竇霽虹,邵彩宏

(1.西北大學數(shù)學系,陜西西安 710127;2.通遼市第一中學,內(nèi)蒙古通遼 028000)

具有脈沖種間偏利關系的Lotka-Volterra模型的穩(wěn)定性分析

石金喜1,竇霽虹1,邵彩宏2

(1.西北大學數(shù)學系,陜西西安 710127;2.通遼市第一中學,內(nèi)蒙古通遼 028000)

通過對具有偏利關系的病蟲害種群的研究,建立了具有固定時刻脈沖的偏利關系系統(tǒng),并構造頻閃映射,利用Jury判定證明了該系統(tǒng)解的最終有界性及平衡點的穩(wěn)定性,并結合理論上的結果給出了防治病蟲害方面的一些建議.

偏利關系模型;脈沖;頻閃映射;Jury判據(jù);穩(wěn)定性

1 引言

現(xiàn)實生活中的許多生物種群生長都呈現(xiàn)出脈沖效應,因此用脈沖微分方程描述這些現(xiàn)象更切合實際、更科學.比如使用殺蟲劑進行捕殺害蟲,本文通過對具有偏利關系的害蟲種群(如沙棘木蠹蛾和紅緣天牛),建立了有固定時刻脈沖的偏利關系系統(tǒng).

首先,種群間的偏利共生關系,是指種間的相互作用僅對一方有利(偏利),而對另一方?jīng)]有影響的種群間的關系.

兩種群相互作用的Lotka-Volterra模型[1]的一般形式如下:

則偏利共生關系下的Lotka-Volterra模型為:

其中x≥0,y≥0,r1＞0,r1＞0,k1＞0.k2＞0,a＞0.

r1,r2分別代表種群x,y的內(nèi)稟增長率;k1,ak2+k1分別代表種群x,y的環(huán)境最大容納量;a＞0代表種群x受益,種群y不受影響.

其次,傳統(tǒng)的Lotka-Volterra偏利共生關系模型常假定種群的發(fā)展是連續(xù)的,而事實上由于外界瞬間的影響使得其間斷,也就產(chǎn)生脈沖.本文考慮了一類具有脈沖的種間偏利共生關系的Lotka-Volterra系統(tǒng),更符合實際.

最后,基于以上及利用文獻[2]得到本文研究的具有固定脈沖收獲的偏利關系模型如下:

其中,r,k1,k2,a,μ,ν均為正常數(shù),且μ,ν均小于1,系統(tǒng)(1.1)的解

上連續(xù),而且

存在.

2模型求解

在任意一個脈沖區(qū)間(nτ,(n+1)τ]內(nèi)結合系統(tǒng)(1.1)中的第二個方程對滿足系統(tǒng)(1.1)中的y(t)進行求解得:

3 解的最終有界性

依據(jù)參考文獻[3-4]的證明思路,得到以下兩個定理.

定理3.1設(x(t),y(t))T是系統(tǒng)(1.1)的解,且x(0+)＞0,則當0＜μ＜1,0＜ν＜1時,對所有的t≥0有x(t)≥0,y(t)≥0.進一步,若t＞0,則x(t)＞0,y(t)＞0.

定理3.2當0＜μ＜1,0＜ν＜1時,脈沖動力系統(tǒng)(1.1)的每個解(x(t),y(t))T是最終有界的.

證明首先證明系統(tǒng)(1.1)中y(t)的最終有界性.

由系統(tǒng)(1.1)考慮可以得到:

若t/=nτ+,一旦y(t)≥k2,則y′(t)≤0.即對足夠大的t/=nτ+,y(t)≤k2.

若t=nτ+,則由(2.1)知,在每個連續(xù)脈沖中,有

于是y(nτ+)總不會超過正常數(shù)(1-ν)e-rτk2.由以上證明可得y(t)是最終有界的,且若規(guī)定M2=max(k2,(1-ν)e-rτk2),則對于足夠大的t有y(t)≤M2.

下面證明x(t)的最終有界性.

那么,由以上證明和V(t)的定義及y(t)的最終有界性可得到x(t)也是最終有界的,證畢.

4 模型平衡點及穩(wěn)定性

首先,利用(2.3)式以及模型(1.1)的后兩個方程,得到頻閃映射(脈沖時刻的種群數(shù)量遞推關系)如下:

由于(4.2.2)中后兩個式子均大于0,而只要當n充分大時(4.2.2)中的第三個式子就可以大于0,所以所以由Jury條件知:只要(4.2.2)中第一個式子也大于0,則E1也穩(wěn)定,又因為當n充分大時,當ν＞1-e-rτ時(4.2.2)中第一個式子也大于零.

即當ν＞1-e-rτ時,E1是穩(wěn)定的,否則不穩(wěn)定,證畢.

5 結論分析

自然界中有許多變化規(guī)律都呈現(xiàn)初脈沖效應,比如,在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的對害蟲的治理,使用殺蟲劑進行治理害蟲.對于本文,可以將其利用到具有偏利共生關系的害蟲(如沙棘木蠹蛾和紅緣天牛)的治理中,聯(lián)系本文以上的結論可以發(fā)現(xiàn),隨著殺蟲劑的長期使用,只要藥量足夠,這兩種害蟲種群的發(fā)展趨勢[6-7]只有兩種:

(1)對應E1的穩(wěn)定性,種群x逐漸消失,而種群y的數(shù)量逐漸達到固定值;

(2)對應E0的穩(wěn)定性,兩種害蟲逐漸消失.本文沒有考慮殺蟲劑對捕食者的影響,對于廣譜性殺蟲劑,它不僅僅殺害害蟲,同時也會誤殺天敵,對于廣譜性殺蟲劑產(chǎn)生的脈沖效應的研究將是進一步要做的工作.

[1]陳蘭蓀.數(shù)學生態(tài)學模型及研究方法[M].北京:科學出版社,1988.

[2]Jiang Guirong,Lu Qishao,Luo Guilie.Im pulsive control of a stage-structured pestm anagem ent system[J]. Journal of Mathem atical Study,2003,36(4):331-344.

[3]桂占吉.生物動力學模型與計算機仿真[M].北京:科學出版社,2005.

[4]李萬同,霍海峰.脈沖非線性生物動力系統(tǒng)的周期解與穩(wěn)定性[D].蘭州:蘭州大學,2006.

[5]鄭寶東,梁麗潔,張春蕊.擴展Jury判據(jù)[J].中國數(shù)學,2009,39(10):1239-1260.

[6]任慶軍,竇霽虹.具有非單調(diào)功能反應和脈沖擾動的捕食系統(tǒng)的分析[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2006,24(4):444-445.

[7]Cheng Huidong.Stage structured p redator-p rey m odel with im pulsive perturbations on beneficial insect and delay[J].Acta.Scientiarum Naturalium Universitatis Sunyatseni,2011,50(1):23-30.

A nalysis of stability of commensalism s Lotka-Volterra model with impulsive effect

Shi Jinxi1,Dou Jihong1,Shao Caihong2
(1.Departm ent of Mathem atics,Northwest University,X i′an 710127,China; 2.Tongliao No.1 Midd le School,Tongliao 028000,China)

Through the relationship with commensal pest population study,im pulsive differential system with the relation of comm ensalism s was establish.U ltim ate Boundedness of and the stability of equilibrium s was discussed by stroboscopic m apping and Jury criterion.Combined with theoretical analysis,proposals for pest controlwere given.

comm ensalism sm odel,im pu lsive,stroboscopic m apping,Jury criterion,stability

O175.12

A

1008-5513(2012)03-0357-06

2012-03-05.

陜西省教育廳自然科學專項基金(11JK 0511).

石金喜(1987-),碩士生,研究方向：數(shù)學建模及應用.

2010 MSC:34D 05