張立柱

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海 200433)

收斂無窮限廣義積分被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處性質(zhì)

張立柱

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海 200433)

討論了第一型廣義積分收斂時(shí)被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處漸近性質(zhì),證明當(dāng)廣義積分收斂時(shí),被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處不一定趨于零,而可以表現(xiàn)為其他多種形式,如劇烈振蕩的連續(xù)函數(shù),或間斷函數(shù),甚至可以是特殊形式的非負(fù)連續(xù)函數(shù)等.最后給出當(dāng)廣義積分收斂時(shí),判別被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處是否趨于零時(shí)的幾個(gè)條件.

廣義積分;漸近性質(zhì);收斂

1 引言

從幾何意義上講,積分可理解為函數(shù)曲線與x軸所圍圖形面積的代數(shù)和.從sin x2的圖像可看出(圖1),當(dāng)x充分大時(shí),函數(shù)劇烈震蕩,可以近似理解為,此時(shí)無論如何選取積分區(qū)間,被積函數(shù)與x軸所圍正的面積與負(fù)的面積可以相互抵消,從而導(dǎo)致廣義積分收斂.

圖1 函數(shù)y=sin x2的圖像

由此而引發(fā)的一個(gè)很自然的想法,如果廣義積分收斂,同時(shí)排除上面這種會(huì)導(dǎo)致正負(fù)面積抵消的函數(shù)出現(xiàn),即限定廣義積分不僅收斂,而且是絕對(duì)收斂的,是否就會(huì)有l(wèi)imx→+∞f(x)=0呢?答案依然是否定的.定義函數(shù)

在區(qū)間[0,+∞)中的絕大部分里都有f(x)=0(如圖2所示),只有總和不超過2的區(qū)間里才有f(x)＞0,看起來似乎是由于f(x)＞0的區(qū)間段過小導(dǎo)致積分收斂,如果針對(duì)這一點(diǎn),將函數(shù)再修正為在整個(gè)積分區(qū)間上都有f(x)＞0,此時(shí)應(yīng)該會(huì)有l(wèi)imx→+∞f(x)=0了吧？答案依然是不能.考察函數(shù)

這里函數(shù)g(x)是按公式(2)定義的.顯然在區(qū)間[1,+∞)上f(x)＞0連續(xù).再由

圖2 (2)式定義的函數(shù)圖像

2 ∫+∞af(x)d x收斂時(shí)使得limx→+∞f(x)=0成立的條件

以上反例的一個(gè)共同點(diǎn)是,當(dāng)x充分大時(shí),函數(shù)總有“震蕩點(diǎn)”存在,這些“震蕩點(diǎn)”對(duì)廣義積分收斂影響不大,但卻會(huì)影響函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性質(zhì),這就是廣義積分與無窮級(jí)數(shù)的一個(gè)很重要的區(qū)別.下面研究如何消除這些“震蕩點(diǎn)”的影響.

定理2.1若∫+∞af(x)d x收斂,且f(x)單調(diào),則

證明不妨設(shè)f(x)單調(diào)減少,則此時(shí)必有f(x)≥0.否則設(shè)存在x0使得f(x)＜0,由f(x)單調(diào)減少知,?x＞x0有f(x)＜f(x0)＜0,根據(jù)廣義積分比較判別法知積分發(fā)散,從而與題設(shè)矛盾.

[1]殷承元.數(shù)學(xué)分析(下)[M].上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社,2005.

[2]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[3]謝惠民,韞自求,易法槐,等.數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義(上)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[4]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.

[5]程希旺.收斂無窮限反常積分被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限[J].安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006,12(1):40-45.

[6]連丹青.關(guān)于的收斂性與的關(guān)系[J].湖南民族學(xué)院學(xué)報(bào),2008,26(4):386-388.

Asymptotic properties of convergent in finite integral′s integrand

Zhang Lizhu
(Department of App lied Mathematics,Shanghai University of Finance and Econom ics, Shanghai 200433,China)

In this paper,asym ptotic properties of convergent infinite integral′s integrand are discussed.It is proved that the lim itation of integrand at infinite distance does not equal zero when the in finite integral is convergent,but the integrand can bem any other types,such as violent vibrating continuous function,discontinuous function,or even non-negative continuous function of specialized type.Several conditions are given to distinguish whether the lim itation of integrand at in finite distance equals zero or not when the in finite integral is convergent.

infinite integral,asym p totic p roperty,convergence

O172.2

A

1008-5513(2012)03-0303-05

2011-07-02.

張立柱(1973-),博士,講師,研究方向：計(jì)算流體力學(xué).

2010 MSC:26A 42