劉剛

(衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系,湖南衡陽(yáng) 421002)

具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱根的多項(xiàng)式的牛頓映照

劉剛

(衡陽(yáng)師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系,湖南衡陽(yáng) 421002)

主要研究特殊多項(xiàng)式的牛頓映照的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).通過(guò)研究根的分布和重?cái)?shù),揭示了當(dāng)多項(xiàng)式的根關(guān)于某點(diǎn)具有一定的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,且對(duì)稱根的重?cái)?shù)都相同時(shí),此類多項(xiàng)式的牛頓映照要么是雙曲的,要么是次雙曲的.另外多項(xiàng)式的牛頓映照的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)為多項(xiàng)式的某些問(wèn)題提供了新的思路.

牛頓映照;Julia集;雙曲;次雙曲

1 引言及主要結(jié)果

給定多項(xiàng)式f,則如下定義的公式

稱之為關(guān)于多項(xiàng)式f的牛頓映照,簡(jiǎn)稱為牛頓映照.牛頓映照Nf的有限不動(dòng)點(diǎn)與f的根一一對(duì)應(yīng),進(jìn)一步而言,f的根為Nf的(超)吸性不動(dòng)點(diǎn).因此牛頓映照迭代給出了多項(xiàng)式的一種求根算法,該算法即為經(jīng)典的牛頓方法.很多數(shù)學(xué)工作者從復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度對(duì)其進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[1]證明了所有根的直接吸引域是單連通的.隨后文獻(xiàn)[2]利用擬共形手術(shù)得到牛頓映照的Julia集是連通的.文獻(xiàn)[3]對(duì)三次多項(xiàng)式的牛頓映照進(jìn)行了組合分類.文獻(xiàn)[4]利用Yoccoz拼圖片的方法證明了存在一個(gè)三次多項(xiàng)式,它的牛頓映照具有Cremer點(diǎn)但其Julia集仍可局部連通,此性質(zhì)與多項(xiàng)式的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)截然相反.關(guān)于牛頓映照J(rèn)ulia集的對(duì)稱性問(wèn)題,可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5].盡管已有很多關(guān)于牛頓映照的動(dòng)力學(xué)結(jié)果,然而對(duì)高次多項(xiàng)式的牛頓映照,其結(jié)果相對(duì)較少且缺乏好的分析方法.

研究牛頓映照的一個(gè)重要的簡(jiǎn)化途徑為標(biāo)量定理(見(jiàn)引理2.1),該定理告訴我們牛頓映照的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)某種程度上決定于根的分布及其重?cái)?shù),而與位置沒(méi)有關(guān)系.本文旨在通過(guò)研究多項(xiàng)式根的特殊分布及其重?cái)?shù),從而其牛頓映照具有好的動(dòng)力學(xué)性質(zhì).下記(f,g)為多項(xiàng)式f和g首一的最大公因式,?f為f不同根的數(shù)目.本文獲得的主要結(jié)果為:

定理1.1 從復(fù)平面上一點(diǎn)ξ向無(wú)窮遠(yuǎn)處引n(≥2)條射線,且任意相鄰的兩條射線所夾的角度相等.若多項(xiàng)式f的根都分布在這n條射線上,另外還滿足如下條件之一:

(1)n=2;

(2)n為奇數(shù),ξ為f的根(任意重?cái)?shù)),其它的根以ξ為對(duì)稱中心均勻地分布在上述n條射線上,且任何兩個(gè)到ξ距離相等的根的重?cái)?shù)相同;

(3)n為大于2的偶數(shù),此時(shí)將這n條射線分為兩組,每組相鄰的兩條射線所圍成的扇形區(qū)域恰好包含另一組的一條射線.ξ為f的根(任意重?cái)?shù)),且每組射線上的根以ξ為對(duì)稱中心進(jìn)行均勻地分布,且每組上任何兩個(gè)到ξ距離相等的根的重?cái)?shù)相同;

則Nf是雙曲的.

若在上述定理?xiàng)l件(2)和(3)中,對(duì)稱中心不是該多項(xiàng)式的根,該類多項(xiàng)式的牛頓映照的動(dòng)力學(xué)仍難以刻畫(huà),然而在特殊情況下有如下結(jié)論.

定理1.2 從復(fù)平面上一點(diǎn)ξ向無(wú)窮遠(yuǎn)處引n(≥3)條射線,且任意相鄰的兩條射線所夾的角度相等.若多項(xiàng)式f所有的根以ξ為對(duì)稱中心均勻地分布在這n條射線上,且所有根的重?cái)?shù)(記為m)都相同,但ξ不為f的根,則Nf是次雙曲的.

以上兩個(gè)定理,實(shí)際上要求f的根關(guān)于某點(diǎn)具有一定的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性,且相應(yīng)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱根的重?cái)?shù)相同.

滿足定理1.1條件的多項(xiàng)式為定理1.3提供了豐富的具體例子,此時(shí)無(wú)需計(jì)算便有相關(guān)的結(jié)論.對(duì)于非雙曲的例子,有無(wú)重根難以決定,但定理1.3中的不等式在一定情形可以改進(jìn)(例如考慮定理1.2中情形).進(jìn)一步的研究,更多關(guān)于多項(xiàng)式的某些問(wèn)題可從復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的角度進(jìn)行考慮.

2 相關(guān)定義及引理

其中c為非零的常數(shù).

該引理的意義在于,對(duì)于給定的多項(xiàng)式,將其所有的根整體做平移,旋轉(zhuǎn),伸縮后所構(gòu)成的新多項(xiàng)式的牛頓映照的動(dòng)力學(xué)與原多項(xiàng)式的牛頓映照的動(dòng)力學(xué)一致.為證明文中結(jié)果,還需以下的定義和引理.

引理 2.2[2]對(duì)任意非常數(shù)的多項(xiàng)式f,其對(duì)應(yīng)的牛頓映照的Julia集J(Nf)是連通的.

定義 2.2 (到無(wú)窮的趨近)在B?(ξ)中以 ξ為起點(diǎn)且通向無(wú)窮的定端同倫曲線族稱之為B?(ξ)的一個(gè)到無(wú)窮的趨近.

3 主要定理的證明

命題 3.1 (1)設(shè)多項(xiàng)式 f的根關(guān)于直線 l對(duì)稱且對(duì)稱根的重?cái)?shù)相同,則 J(Nf)和任意Fatou分支也關(guān)于該直線對(duì)稱.特別地,實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的牛頓映照的J(Nf)和任意Fatou分支關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.

(2)若實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f至少有三個(gè)不同的實(shí)根,則對(duì)于任意介于最小與最大實(shí)根之間的實(shí)根x,則B?(x)含有正偶數(shù)個(gè)Nf的臨界點(diǎn).

滿足該定理?xiàng)l件的多項(xiàng)式在牛頓法下的分形圖集見(jiàn)圖1.

圖1 J(Nf)(多項(xiàng)式f(z)滿足定理1.1中條件)

圖2 J(Nf)(多項(xiàng)式f(z)滿足定理1.2中條件)

2.即使多項(xiàng)式的根關(guān)于實(shí)軸,虛軸,原點(diǎn)對(duì)稱,且所有根的重?cái)?shù)都相同,其相應(yīng)的牛頓映照的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)也難以分析.例如實(shí)四次多項(xiàng)式族fc(z)=(z2+1)(z2?c)(c∈{0})的牛頓映照,階大于1的吸性域,拋物域,Siegel盤(pán)均可能出現(xiàn).

圖3 J(N~f),J(Nf0.12)和J(Nf0.16)

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Newton maps for polynomials with rotationally symmetric roots

Liu Gang
(Department of Mathematics and Computational Science,Hengyang Normal University, Hengyan 421002,China)

The dynamical properties of Newton maps for special polynomials are investigated.Analysis of the distribution and multiplicities of roots revealed that Newton maps for polynomials,whose roots are some rotationally symmetric with a fi xed point and the multiplicities of symmetric roots are all the same,are either hyperbolic or subhyperbolic.Moreover,the study of dynamical properties of Newton maps for polynomials produce new ideas for some problems of polynomials.

Newton map,Julia set,hyperbolic,subhyperbolic

O174.5

A

1008-5513(2012)05-0628-07

2011-10-20.

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(2010YS02).

劉剛(1982-),博士生,研究方向：復(fù)動(dòng)力系統(tǒng).

2010 MSC:37F45