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        關(guān)于一個二元整數(shù)函數(shù)正負(fù)性的研究

        2012-07-05 15:44:58
        科技視界 2012年10期
        關(guān)鍵詞:列數(shù)數(shù)論對角

        李 強

        (大慶職業(yè)學(xué)院工商管理系 黑龍江 大慶 163000)

        0 引言

        我們要研究的二元整數(shù)函數(shù)為:

        此問題源于我們要論證的一個數(shù)論問題,本文的目的就是考查該函數(shù)在其定義域內(nèi)函數(shù)值符號的變化情況.

        1 引理及定理

        此結(jié)果可借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識簡單推得,故略.

        引理2當(dāng)n≥7時,有:

        容易驗證當(dāng)n=7,8,9時,上式也成立.命題得證.

        定理 1 當(dāng) k≥n≥2 時,有:f(k,n)>0.

        證明 當(dāng)n=2時,根據(jù)引理1有

        由(4),(5),(1)式知,定理成立.

        定理 2 當(dāng) n≥7,2≤k≤n-1 時,有:f(k,n)<0.

        證明 當(dāng) n≥7 時,有:n-1≥6.

        由(1)式知,定理成立.

        根據(jù)定理 1 知,陣列(f(k,n))(k≥2,n≥2)的對角及下三角塊上的元素都為正數(shù)。而由定理2,當(dāng)列數(shù)n≥7時,上三角塊中的元素均取負(fù)數(shù).再經(jīng)過驗知:f(2,3),f(2,4),f(2,5),f(3,4),f(4,5),f(5,6),取正,而 f(2,6),f(3,5),f(3,6),f(4,6)取負(fù).綜上,我們可得下表.

        表1 二元整數(shù)函數(shù)f(k,n)的符號變化(空白代表函數(shù)在該處的取值為負(fù))

        具體地,我們通過MATLAB編程計算出了當(dāng)2≤k,n≤9時,二元整數(shù)函數(shù) f(k,n)的取值情況.

        由表2可見,表1所得到的結(jié)果是完全正確的.

        表2 二元整數(shù)函數(shù)f(k,n)的部分函數(shù)值

        2 小結(jié)

        本文通過函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)知識,探求了二元整數(shù)函數(shù)f(k,n)函數(shù)值符號的變化規(guī)律,得到如下結(jié)論:

        函數(shù) f(k,n)在其定義域{(k,n)|k≥2,n≥2,k∈N,n∈N}內(nèi)各點處的取值均不為零.其中,位于陣列(f(k,n))對角及下三角塊上的元素均取正號,位于上三角塊中的元素當(dāng)列數(shù)n≥7時取負(fù)號,而當(dāng)列數(shù)2≤n≤6時,需要計算才能確定其符號.

        上述結(jié)果不僅利于我們對二元整數(shù)函數(shù) f(k,n)性質(zhì)的理解,還能從中生成系列不等式.例如:當(dāng)n≥7,2≤k≤n-1時,有:

        而不等式(8)可用于解決數(shù)論等一些相關(guān)的問題.此外,關(guān)于函數(shù) f(k,n)的符號判定問題,也可通過數(shù)學(xué)歸納法、均值不等式等其他數(shù)學(xué)工具加以解決.

        [1]常庚哲,史濟懷.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [2]Helmut Hasse.Number Theory[M].北京:世界圖書出版公司,2010.

        [3]鄭毓信.數(shù)學(xué)方法論[M].南寧:廣西教育出版社,2003.

        [4]G.波利亞.數(shù)學(xué)與猜想[M].北京:科學(xué)出版社有限責(zé)任公司,2011.

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