田旭光， 朱元昌， 邸彥強

(中國人民解放軍軍械工程學院光學與電子工程系，石家莊 050003)

0 引言

系統(tǒng)科學認為，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)組成要素之間相互聯(lián)系相互作用的形式［1］。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可分為形式結(jié)構(gòu)、空間結(jié)構(gòu)和時間結(jié)構(gòu)。要素間相互聯(lián)系和相互作用必須通過交換信息來實現(xiàn)，形式結(jié)構(gòu)便是對系統(tǒng)要素之間信息聯(lián)系的抽象。由于現(xiàn)實中的復雜系統(tǒng)基本上都具有網(wǎng)絡化的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，因此復雜網(wǎng)絡為研究復雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)提供了一種全新的視角。

信息化條件下的指揮與控制系統(tǒng)(以下簡稱C2系統(tǒng))的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為以物理通信網(wǎng)絡為基礎的各種非線性邏輯交互關系組成的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)。同時系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有非線性、層次性以及自適應等復雜網(wǎng)絡特征。因此，從復雜網(wǎng)絡的角度研究其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是目前的一個嶄新的方向，并已取得了一定的研究成果［2-9］。但就如何以復雜網(wǎng)絡的觀點對C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行形式化建模，仍是目前研究的空白。一些研究者在這方面進行了有益的嘗試［10-11］，但缺乏一定的理論基礎。本文以集合論和圖論作為基礎理論，重點對C2系統(tǒng)中的指揮與控制實體以及其邏輯關系進行了形式化描述，并建立了C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡模型，并對建立的復雜網(wǎng)絡模型統(tǒng)計特征進行了初步探討和分析，期望為更進一步地以復雜網(wǎng)絡理論研究C2系統(tǒng)提供借鑒。

1 C2系統(tǒng)實體及其關系的形式化描述

建立C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜網(wǎng)絡形式化模型的基本思路為:將C2系統(tǒng)中的組成實體抽象為網(wǎng)絡中的節(jié)點，而其交互關系抽象為邊，因此模型的建立過程首先應涉及指揮與控制實體及其關系的分類、形式化描述、屬性分析等過程，現(xiàn)分別予以討論。

1.1 指揮與控制實體的分類及形式化描述

從以往的研究來看，對C2系統(tǒng)所包含實體的界定是比較模糊的。根據(jù)研究目的，C2系統(tǒng)可以是僅由決策者組成［12］，也有文獻認為C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)由作戰(zhàn)實體、情報實體、網(wǎng)絡、指揮控制實體［10］組成，也有研究者為體現(xiàn)C2系統(tǒng)與使命環(huán)境的交互性，同時把目標實體也包含在內(nèi)［11］。根據(jù)本文研究內(nèi)容，從功能的角度將指揮與控制實體分為感知實體、決策實體和執(zhí)行實體。

感知實體(S)主要指具有情報獲取功能的各類傳感器，如:預警雷達、各種偵查設備，其功能為獲取戰(zhàn)場情報信息、作戰(zhàn)效果評估信息等并把信息傳遞給決策實體，可描述為

式中:Cs為感知實體S的感知能力，可理解為其信息處理能力，以單位時間內(nèi)向決策實體發(fā)送的信息量描述;分別表示與此感知實體相關聯(lián)的決策實體集合和感知實體集合。

決策實體(D)代表了C2系統(tǒng)中各級的指揮與控制節(jié)點，這類節(jié)點具有根據(jù)感知實體獲取的情報信息形成戰(zhàn)場態(tài)勢并根據(jù)態(tài)勢制定決策的能力。并且決策實體通過指揮控制信息作用于執(zhí)行實體，使之產(chǎn)生作戰(zhàn)行為，可描述為

式中:CD為感知實體D的感知信息處理能力，以單位時間內(nèi)所處理的信息量描述;分別為與此決策實體具有信息聯(lián)系的決策實體集合、感知實體集合以及執(zhí)行實體集合，決策實體是關聯(lián)感知實體和執(zhí)行實體的樞紐。

執(zhí)行實體(E)是C2系統(tǒng)中指揮與控制實體決策命令的執(zhí)行者，執(zhí)行實體代表各種武器平臺以及執(zhí)行具體打擊作戰(zhàn)任務的作戰(zhàn)分隊等作戰(zhàn)力量，可描述為

式中:CE為對執(zhí)行實體E接受指揮與控制信息能力的描述，以單位時間內(nèi)所接受并處理的信息量描述;從一個側(cè)面反映了其作戰(zhàn)能力;分別為與此執(zhí)行實體相關聯(lián)的決策實體集合和執(zhí)行實體集合。

指揮與控制實體之間通過指揮與控制關系連接組成C2系統(tǒng)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，接下來對實體間的指揮與控制關系進行描述。

1.2 指揮與控制關系的分類及形式化描述

指揮與控制系統(tǒng)是一類基于信息的系統(tǒng)，其實體之間的關系為其信息聯(lián)系的抽象。廣義的指揮與控制關系是指C2系統(tǒng)中實體之間存在的各種信息關系。根據(jù)C2系統(tǒng)中的實體類型以及信息流分類，將指揮與控制關系分為:情報關系、指揮控制關系、執(zhí)行關系、協(xié)作關系4類。

情報關系(RI)存在于感知實體和決策實體之間，是感知實體向決策實體提供的戰(zhàn)場態(tài)勢信息流的抽象，以符號表示。如:若感知實體S與決策實體D之間存在情報關系，即可描述為:。

情報關系表現(xiàn)為感知實體集與決策實體集之間的一種二元關系，依據(jù)集合論，可形式化描述為

式中:S*、D*分別表示感知實體集合和決策實體集合，S*×D*表示集合S*、D*的笛卡爾乘積。

RI具有反對稱性，即，若?S?D(S∈S*∧D∈D*)，則有

RI的反對稱性表明，情報關系為一種單向關系，即C2系統(tǒng)網(wǎng)絡為有向網(wǎng)絡。

指揮控制關系(RC)是指狹義的指揮控制關系，是指揮與控制系統(tǒng)中命令、反饋等信息流的抽象描述，存在于上級和下級決策實體之間，以符號表示，即決策實體Di和 Dj之間的指揮控制關系可描述為:

指揮控制關系為決策實體集內(nèi)部的一種二元關系，可形式化描述為

RC具有對稱性，即，若?Di?Dj(Di∈D*∧Dj∈D*)，則有

在式(7)中，若Di的級別比Dj低，表示Di對Dj的控制信息，反之則表示Di對Dj的狀態(tài)反饋信息。一般而言，控制信息和反饋信息同時存在，因此在C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡中，單純由RC構(gòu)成的網(wǎng)絡也可看作無向網(wǎng)絡。

同時RC具有傳遞性，即，若?Di?Dj?Dk(Di∈D*∧Dj∈D*∧Dk∈D*)，則有

執(zhí)行關系(RE)存在于決策實體和執(zhí)行實體之間，是決策實體向執(zhí)行實體提供的控制信息流的抽象，以符號表示。如若決策實體D與執(zhí)行實體E之間存在執(zhí)行關系，則可描述為。

執(zhí)行關系表現(xiàn)為決策實體集D*與執(zhí)行實體集E*之間的一種二元關系，可形式化描述為

同情報關系RI類似，RE也具有反對稱性，即，若?D?E(D∈D*∧E∈E*)，則有

協(xié)作關系(Rr)廣泛存在于感知實體、決策實體和執(zhí)行實體之間。感知實體之間的協(xié)作關系表示信息交互和協(xié)同感知;決策實體之間的協(xié)作關系表示同級決策實體之間的聯(lián)合決策;執(zhí)行實體之間的協(xié)作關系表示執(zhí)行之間的作戰(zhàn)協(xié)同。因此協(xié)作關系是一種雙向的關系，以符號描述。協(xié)作關系可形式化描述為

協(xié)作關系具有對稱性和傳遞性，例如對于決策實體間的協(xié)作關系有，若?Di?Dj(Di∈D*∧Dj∈D*)，則有

協(xié)作關系同時具有對稱性，若

?Di?Dj?Dk(Di∈D*∧Dj∈D*∧Dk∈D*)，則有

C2系統(tǒng)中的關系和實體共同組成C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡模型，接下來對C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡模型進行描述。

2 C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜網(wǎng)絡形式化模型

經(jīng)過以上對C2系統(tǒng)中的實體及其關系的分析，C2系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡模型最終可形式化描述為

式中:Gc2表示C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡模型;非空有限節(jié)點集Vc2代表對指揮與控制實體的抽象;非空有限邊集Ec2代表指揮與控制實體之間的關系的抽象;映射ψc2則將任意一對指揮與控制實體映射到指揮與控制關系。根據(jù)對節(jié)點之間關系的分析可知，C2系統(tǒng)網(wǎng)絡是一種有向網(wǎng)絡，其方向性由指揮與控制關系的反對稱性決定?？紤]到信息在網(wǎng)絡中邊的傳輸延遲，將Gc2設定為加權網(wǎng)絡，并為每條邊分配一個權值w。

對于信息的傳輸延遲，采用權值相異性原則，即權值越大，信息傳輸延遲越長。

總之，C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜網(wǎng)絡模型可描述為:網(wǎng)絡節(jié)點由感知實體S，決策實體D和執(zhí)行實體E組成，而邊由3種實體之間的情報關系RI，指揮控制關系RC，執(zhí)行關系RE和協(xié)作關系Rr組成，如圖1所示。

圖1 C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜網(wǎng)絡元級模型Fig.1 Metal-model for C2system complex network model

圖1中的T表示對作戰(zhàn)目標的抽象，本文沒有把T作為C2系統(tǒng)的組成部分，因此對于T和S以及E之間的關系沒有定義。圖1只是抽象地描述了C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的一般組成，可看作一種元級結(jié)構(gòu)，實際系統(tǒng)可由多個以上結(jié)構(gòu)組成。C2系統(tǒng)網(wǎng)絡由3種網(wǎng)絡相互連接組成:感知網(wǎng)絡Gs、指揮控制網(wǎng)絡Gc和執(zhí)行網(wǎng)絡Ge。

下面針對每種網(wǎng)絡給出其形式化模型。

感知網(wǎng)絡形式化模型:Gs=(Vs，Es，ψs)。其中，Vs=D*∪S*即感知網(wǎng)絡的節(jié)點由決策實體和感知實體組成，并滿足以下條件

1)若 vi∈D*，vj∈S*，則 ψs(vi，vj)=RI。

式(17)描述了感知網(wǎng)絡中存在的情報關系，情報關系將感知實體和決策實體聯(lián)系起來，并由感知實體指向決策實體。

2)若 vi∈S*，vj∈S*，則 ψs(vi，vj)=RSr。

式(17)則描述感知網(wǎng)絡中存在的協(xié)作關系，協(xié)作關系表現(xiàn)為感知實體之間的信息共享或協(xié)作感知。

對感知網(wǎng)絡的形式化模型表明，感知網(wǎng)絡包含兩種實體——感知實體和決策實體;兩種關系——協(xié)作關系和情報關系。

指揮控制網(wǎng)絡形式化模型為Gc=(Vc，Ec，ψc)。其中，Vc=D*即指揮控制網(wǎng)絡的節(jié)點由決策實體組成，并滿足以下條件

并有 ψc(vi，vj)=Rc或 ψc(vi，vj)=RDr。

式(18)表明了指揮控制網(wǎng)絡由指揮與控制關系以及決策實體，或協(xié)作關系以及決策實體相關聯(lián)而成。

執(zhí)行網(wǎng)絡形式化模型為 GE=(VE，EE，ψE)，其中，VE=D*∪E*即執(zhí)行網(wǎng)絡的節(jié)點由決策實體和執(zhí)行實體組成，并滿足以下條件

1)若 vi∈D*，vj∈E*，則 ψE(vi，vj)=RE。

式(19)描述了執(zhí)行網(wǎng)絡中存在的執(zhí)行關系，執(zhí)行關系將執(zhí)行實體和決策實體聯(lián)系起來，并由決策實體指向執(zhí)行實體。

2)若 vi∈E*，vj∈E*，則 ψE(vi，vj)=。

式(19)描述執(zhí)行網(wǎng)絡中存在的協(xié)作關系，協(xié)作關系表現(xiàn)為執(zhí)行實體之間的作戰(zhàn)協(xié)同。

執(zhí)行網(wǎng)絡的形式化模型表明，執(zhí)行網(wǎng)絡包含兩種實體——執(zhí)行實體和決策實體;兩種關系——協(xié)作關系和執(zhí)行關系。

3 C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡特征分析

3.1 C2系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)

為了進一步形象地描述C2系統(tǒng)地復雜網(wǎng)絡模型，下面以某型C3I防空C2系統(tǒng)部分組成為例，對該系統(tǒng)的實體組成，以及蘊涵的指揮與控制關系進行抽象，建立其復雜網(wǎng)絡模型描述如圖2所示。

圖2 某型C2系統(tǒng)部分組成的復雜網(wǎng)絡模型Fig.2 A special C2complex network model

在圖2所描述的C2網(wǎng)絡中，系統(tǒng)中的決策實體D(各級指揮與控制機構(gòu))，感知實體S(防空雷達，情報觀測站)以及執(zhí)行實體E(高炮，防空導彈)組成網(wǎng)絡的節(jié)點，而感知實體S到?jīng)Q策實體D的探測信息流(情報信息)抽象為情報關系RI;決策實體D到執(zhí)行實體E的指控信息流(命令信息、通報信息)抽象為執(zhí)行關系RE;而中心感知實體D到其下級感知實體D的指控信息流(命令信息、通報信息)抽象為指控關系RC;決策實體D之間以及感知實體S之間在任務過程中的協(xié)同組成協(xié)作關系Rr。并且整個網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)由感知實體組成的戰(zhàn)場感知網(wǎng)絡Gs，決策實體組成的指揮與控制網(wǎng)絡Gs以及執(zhí)行實體組成的火力打擊網(wǎng)絡Ge3個子網(wǎng)絡組成。

以上定性地描述了C2網(wǎng)絡的抽象建立過程，接下來將以復雜網(wǎng)絡的統(tǒng)計參數(shù)對C2網(wǎng)絡的特征進行定量描述。鑒于小規(guī)模的網(wǎng)絡不能很好地表現(xiàn)其統(tǒng)計特征，建立了更大規(guī)模的網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)，為了對比分析，一并建立了具有相同網(wǎng)絡規(guī)模的傳統(tǒng)平臺中心戰(zhàn)C2網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)，分別如圖3中a、b所示。

圖3 C2系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)Fig.3 Complex network topology for C2systems

兩種網(wǎng)絡的基本參數(shù)如表1所示。

表1 C2系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡拓撲結(jié)構(gòu)基本參數(shù)Table 1 Basic parameters for C2networks

3.2 C2系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡統(tǒng)計特征［13］分析

3.2.1 度分布特征

圖3中所描述的兩種網(wǎng)絡的度分布特征見圖4。

圖4 C2系統(tǒng)的復雜網(wǎng)絡度分布Fig.4 Degree distribution of C2networks

由圖4可以看出，圖3b網(wǎng)絡中大部分節(jié)點的度都很小，有很大一部分的節(jié)點的度都分布于1～5之間，這類節(jié)點基本占總節(jié)點數(shù)的42%左右。而少部分節(jié)點卻擁有大的度連接，圖3b中最核心的5個節(jié)點的度竟達到了15。這反映了在實際系統(tǒng)中，決策實體節(jié)點總是處于系統(tǒng)的中心，而最高級別的決策實體總是擁有最多的指揮和感知的優(yōu)勢，這種度分布特征與無標度網(wǎng)絡特征比較相似，可以認為信息化條件下C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)具有無標度網(wǎng)絡的性質(zhì)。而圖3a所描述的傳統(tǒng)C2系統(tǒng)網(wǎng)絡的這種特征(小圖)則表現(xiàn)得不是很明顯，它的度基本分布于幾個固定的點上。

3.2.2 簇系數(shù)以及平均最短路徑長度

兩種網(wǎng)絡的簇系數(shù)以及平均最短路徑長度見表2。

表2 簇系數(shù)以及平均最短路徑長度Table 2 Coefficient and average shortest path for C2networks

從表2的數(shù)據(jù)可以看出，“信息網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)”的平均最短路徑長度較短，這是因為在此網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)中，同級決策實體以及感知實體之間的協(xié)作關系，從而使得信息傳輸?shù)穆窂阶兌?，并且引起了簇系?shù)變大，簇系數(shù)描述了復雜網(wǎng)絡中節(jié)點的集聚性，反映到C2系統(tǒng)中，描述了各種指揮與控制實體之間的交互性的提高。

4 總結(jié)與討論

本文重點研究了C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡形式化模型建立方法?；趫D論和集合論對C2系統(tǒng)中的實體以及相互的邏輯關系進行了分類和形式化描述，從而建立了C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的復雜網(wǎng)絡模型。并以某具體系統(tǒng)為例，簡要分析了其復雜網(wǎng)絡特征。本文對以復雜網(wǎng)絡對C2系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進行建模和分析提供了一種可行的研究途徑?；趶碗s網(wǎng)絡模型，可以從系統(tǒng)層面對C2系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)可靠性、拓撲結(jié)構(gòu)的演化形成機制［10］，抗毀重構(gòu)策略等方面進行研究，為信息化條件下的C2系統(tǒng)研究與評估開辟了一個新的方向。

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