控制受限影響下不確定時(shí)滯系統(tǒng)的滑?？刂?/h1>
2012-07-03 08:58:48賈廷綱牛玉剛
制造業(yè)自動(dòng)化 2012年1期
賈廷綱，牛玉剛，夏 康
(1. 華東理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200237；2.上海電氣集團(tuán)股份有限公司 中央研究院，上海 200070)
0 引言
由于信道帶寬和網(wǎng)絡(luò)擁塞等環(huán)境因素的影響，實(shí)際物理系統(tǒng)中廣泛存在著時(shí)滯現(xiàn)象，而時(shí)滯（包括狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯）常常會(huì)導(dǎo)致控制系統(tǒng)性能變壞，甚至失穩(wěn)。因此，時(shí)滯系統(tǒng)的控制一直是研究的熱點(diǎn)問題，而且，近年來(lái)關(guān)于時(shí)滯系統(tǒng)的滑?？刂茊栴}也開始受到關(guān)注(見參考文獻(xiàn)[1]～[4])。
眾所周知，滑?？刂仆怀鎏攸c(diǎn)是對(duì)參數(shù)攝動(dòng)和外部干擾具有較強(qiáng)的不敏感性。作為一種有效的魯棒控制方法，滑模控制在機(jī)械手控制、電機(jī)驅(qū)動(dòng)等領(lǐng)域取得了廣泛應(yīng)用（見參考文獻(xiàn)[5]～[7]）。值得注意的是，上述研究工作都假設(shè)系統(tǒng)的控制輸入不受任何限制。
然而，現(xiàn)實(shí)物理系統(tǒng)中一些不可避免的限制存在常常導(dǎo)致激勵(lì)端呈現(xiàn)非線性特征：飽和、死區(qū)、回環(huán)、繼電特性等。這些非線性輸入會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能下降，最終使得整個(gè)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，近年來(lái)對(duì)于控制輸入受限系統(tǒng)的研究受到了許多研究者的關(guān)注，特別是， 基于滑?？刂萍夹g(shù)的輸入受限控制系統(tǒng)的研究工作也取得了一些有意義的研究成果(見參考文獻(xiàn)[8]～[10])，但是。對(duì)于同時(shí)存在狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯情況下，輸入受限系統(tǒng)的滑模控制問題尚未取得有效的研究進(jìn)展，而且，上述一些已有的研究工作并不能簡(jiǎn)單地被推廣到此類問題。
基于上述分析，本文將研究輸入受限情況下不確定時(shí)滯系統(tǒng)的滑模控制問題，其中，被控系統(tǒng)存在狀態(tài)時(shí)滯和輸入時(shí)滯，同時(shí)，參數(shù)不確定性同時(shí)存在系統(tǒng)參數(shù)矩陣和控制輸入矩陣中。本文選擇了一種新的積分型滑模面，并證明了所設(shè)計(jì)的滑模控制律能保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)該切換面，同時(shí)，利用Lyapunov方法和線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)，給出了閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。
1 系統(tǒng)描述
考慮下面的不確定輸入時(shí)滯系統(tǒng)：
不失一般性，假設(shè)：
1）B列滿秩，(A，B）可控；
本文的控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)滑?？刂坡?，以保證被控制系統(tǒng)(1)是全局漸近穩(wěn)定的。
下面的引理將在后面的證明中用到。
引理1 設(shè)E，H，F(xiàn)(t)為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且F(t)滿足FT(t)F(t)≤I，則對(duì)于任意非零常數(shù)ε＞0有：
引理2 設(shè)X，Y為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，對(duì)于任意非零常數(shù)ε＞0有：
2 滑模面的設(shè)計(jì)與滑模性能分析
本節(jié)將首先設(shè)計(jì)滑模面，并通過(guò)Lyapunov方法和線性矩陣不等式（LMI）技術(shù)，給出了滑模動(dòng)態(tài)漸近穩(wěn)定的充分條件。本文選擇切換函數(shù)為：
其中，輔助變量 滿足以下條件：
其中，設(shè)計(jì)矩陣G∈Rm×n滿足GB為非奇異矩陣，常數(shù)矩陣K∈Rm×n滿足A-BK是Hurwitz矩陣。由矩陣?yán)碚摽芍?，由于B為列滿秩，如果選擇G=BTX（其中X＞0將在后面的設(shè)計(jì)中給出）能保證矩陣GB非奇異。
利用 ，可以得到等效控制律為：
將式(7)代入系統(tǒng)(1)，可以得到切換面s(t)=0上的滑模動(dòng)態(tài)方程為：
定理 1 考慮不確定時(shí)滯控制系統(tǒng)（1）和條件(2)、(3)，選擇由式(4)、(5)確定的切換面s(t)=0。如果存在正定矩陣X＞0，R1＞0，R2＞0和標(biāo)量ε1＞0，ε2＞0滿足線性矩陣不等式：
其中，
且滑模矩陣為G=BTX, 那么滑模動(dòng)態(tài)（7）是全局漸近穩(wěn)定的。
證明：
選取Lyapunov函數(shù)為
沿滑模動(dòng)態(tài)（8）的狀態(tài)軌跡對(duì)V(t)求導(dǎo)，得到：
根據(jù)引理1，對(duì)于任意非零常數(shù)ε1＞0有：
由ΔB(t)=Bδ(t)及根據(jù)引理2，對(duì)于任意非零常數(shù)ε2＞0有：
將式（11），（12）代人式（10）得：
其中
3 控制律的設(shè)計(jì)
作為滑?？刂圃O(shè)計(jì)的第二步驟，下面將設(shè)計(jì)滑模控制律保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能在有限時(shí)間到達(dá)滑模面s(t)=0，并被吸引在該滑模面上。
由于系統(tǒng)（1）的控制輸入滿足非線性限制條件(2)、(3)，因此，本文設(shè)計(jì)如下的滑模控制律：
下面定理將證明，雖然系統(tǒng)(1)存在不確定性及控制輸入受限，但所設(shè)計(jì)的滑?？刂坡桑?5）仍就能夠保證所設(shè)計(jì)的切換面的可達(dá)性。
定理2 考慮不確定時(shí)滯控制系統(tǒng)（1），滿足假設(shè)條件（2）～（3）。如果切換面由（4）、（5）確定，其中G=BTX（X＞0滿足線性矩陣不等式（9），則滑模控制律（15）可以保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)被吸引到由所確定的切換面s(t)=0上。
證明：由（15）可得，當(dāng)Si＞0時(shí)因此，由（3）及（15）可知：
當(dāng)Si＞0時(shí)，
當(dāng)Si＜0時(shí)，
由（16）-（17）式，可得對(duì)于所有si有：
從而：
從而，由（6）、（18）式可知：
這表示對(duì)于由（4）、（5）式所確定的滑模面的可達(dá)性條件成立。證畢。
文中控制器輸入端的非線性表示具有一定的普遍性，設(shè)計(jì)的滑模面有一定的靈活性，保證了系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的最終穩(wěn)定性，獨(dú)特的控制律設(shè)計(jì)也保證了可達(dá)性的成立。
4 結(jié)論本文研究控制輸入受限情況下時(shí)滯系統(tǒng)的滑?？刂?，給出了切換函數(shù)和滑?？刂坡傻脑O(shè)計(jì)方法，
分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；并且已在磨煤機(jī)、表格輪轉(zhuǎn)印刷機(jī)、壓縮機(jī)的智能控制系統(tǒng)中應(yīng)用，在下一步的研究工作中，我們將進(jìn)一步將本文方法應(yīng)用于其它機(jī)電設(shè)備的驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中。
[1] Y.Niu and Daniel W C Ho. Robust observer design for Ito stochastic time-delay systems.Systems&Control Letters,2006,55:781-793.
[2] Y.J.Huang and H.K.Way.Sliding mode control design for discrete multivariable systems with time-delayed input signals, Int. J.of Systems Science,2002,33:789-798.
[3] M.Yan and Y.Shi.Robust discrete-time sliding mode control for uncertain systems with time-varying state delay.IET Control Theory&Applications,2008,2:662-674。
[4] F.Da.Sliding mode predictive control for long delay time systems[J].Physics Letters A,2006,348(3):228-232。
[5] 孫宜標(biāo),郭慶鼎,等.基于模糊自學(xué)習(xí)的交流直線伺服系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2001,16(1):52-56.
[6] 吳勃,許文芳,陳虹麗.神經(jīng)滑?？刂圃跈C(jī)器人軌跡跟蹤中的應(yīng)用[J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào).2009,13(A01):99-104.
[7] 李麗霞,宛波,田衛(wèi)華.滑模變結(jié)構(gòu)控制在直流直線電機(jī)中的應(yīng)用研究[J].沈陽(yáng)工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,6(7):35-37.
[8] 陶洪峰,胡壽松.具有飽和死區(qū)非線性輸入的自適應(yīng)滑模跟蹤控制.信息與控制.2009,38(3):281–285.
[9] Y.Niu and D.W.C.Ho.Design of sliding mode control for nonlinear stochastic systems subject to actuator nonlinearity聯(lián)[J].IEE Proc.-Control Theory Apply,2006,153(6):737–744.
[10]胡慶雷,馬廣富.帶有輸入非線性的撓性航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)變結(jié)構(gòu)控制.宇航學(xué)報(bào)[J].2006,27(4):630–634.
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1）B列滿秩，(A，B）可控；
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下面的引理將在后面的證明中用到。
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引理2 設(shè)X，Y為適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，對(duì)于任意非零常數(shù)ε＞0有：
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其中，輔助變量 滿足以下條件：
其中，設(shè)計(jì)矩陣G∈Rm×n滿足GB為非奇異矩陣，常數(shù)矩陣K∈Rm×n滿足A-BK是Hurwitz矩陣。由矩陣?yán)碚摽芍?，由于B為列滿秩，如果選擇G=BTX（其中X＞0將在后面的設(shè)計(jì)中給出）能保證矩陣GB非奇異。
利用 ，可以得到等效控制律為：
將式(7)代入系統(tǒng)(1)，可以得到切換面s(t)=0上的滑模動(dòng)態(tài)方程為：
定理 1 考慮不確定時(shí)滯控制系統(tǒng)（1）和條件(2)、(3)，選擇由式(4)、(5)確定的切換面s(t)=0。如果存在正定矩陣X＞0，R1＞0，R2＞0和標(biāo)量ε1＞0，ε2＞0滿足線性矩陣不等式：
其中，
且滑模矩陣為G=BTX, 那么滑模動(dòng)態(tài)（7）是全局漸近穩(wěn)定的。
證明：
選取Lyapunov函數(shù)為
沿滑模動(dòng)態(tài)（8）的狀態(tài)軌跡對(duì)V(t)求導(dǎo)，得到：
根據(jù)引理1，對(duì)于任意非零常數(shù)ε1＞0有：
由ΔB(t)=Bδ(t)及根據(jù)引理2，對(duì)于任意非零常數(shù)ε2＞0有：
將式（11），（12）代人式（10）得：
其中
3 控制律的設(shè)計(jì)
作為滑?？刂圃O(shè)計(jì)的第二步驟，下面將設(shè)計(jì)滑模控制律保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡能在有限時(shí)間到達(dá)滑模面s(t)=0，并被吸引在該滑模面上。
由于系統(tǒng)（1）的控制輸入滿足非線性限制條件(2)、(3)，因此，本文設(shè)計(jì)如下的滑模控制律：
下面定理將證明，雖然系統(tǒng)(1)存在不確定性及控制輸入受限，但所設(shè)計(jì)的滑?？刂坡桑?5）仍就能夠保證所設(shè)計(jì)的切換面的可達(dá)性。
定理2 考慮不確定時(shí)滯控制系統(tǒng)（1），滿足假設(shè)條件（2）～（3）。如果切換面由（4）、（5）確定，其中G=BTX（X＞0滿足線性矩陣不等式（9），則滑模控制律（15）可以保證系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在有限時(shí)間內(nèi)被吸引到由所確定的切換面s(t)=0上。
證明：由（15）可得，當(dāng)Si＞0時(shí)因此，由（3）及（15）可知：
當(dāng)Si＞0時(shí)，
當(dāng)Si＜0時(shí)，
由（16）-（17）式，可得對(duì)于所有si有：
從而：
從而，由（6）、（18）式可知：
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分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；并且已在磨煤機(jī)、表格輪轉(zhuǎn)印刷機(jī)、壓縮機(jī)的智能控制系統(tǒng)中應(yīng)用，在下一步的研究工作中，我們將進(jìn)一步將本文方法應(yīng)用于其它機(jī)電設(shè)備的驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)中。
[1] Y.Niu and Daniel W C Ho. Robust observer design for Ito stochastic time-delay systems.Systems&Control Letters,2006,55:781-793.
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[3] M.Yan and Y.Shi.Robust discrete-time sliding mode control for uncertain systems with time-varying state delay.IET Control Theory&Applications,2008,2:662-674。
[4] F.Da.Sliding mode predictive control for long delay time systems[J].Physics Letters A,2006,348(3):228-232。
[5] 孫宜標(biāo),郭慶鼎,等.基于模糊自學(xué)習(xí)的交流直線伺服系統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2001,16(1):52-56.
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[8] 陶洪峰,胡壽松.具有飽和死區(qū)非線性輸入的自適應(yīng)滑模跟蹤控制.信息與控制.2009,38(3):281–285.
[9] Y.Niu and D.W.C.Ho.Design of sliding mode control for nonlinear stochastic systems subject to actuator nonlinearity聯(lián)[J].IEE Proc.-Control Theory Apply,2006,153(6):737–744.
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