李艷午,程海霞

(1.蕪湖信息技術職業(yè)學院,安徽 蕪湖 241003;2.南京大學數學系,江蘇 南京 210093; 3.安徽師范大學數學與計算機科學學院,安徽 蕪湖 241000)

SF-環(huán)的內射性

李艷午1,程海霞2,3

(1.蕪湖信息技術職業(yè)學院,安徽 蕪湖 241003;2.南京大學數學系,江蘇 南京 210093; 3.安徽師范大學數學與計算機科學學院,安徽 蕪湖 241000)

研究了SF-環(huán)與P-內射環(huán)的關系,構造了SF-環(huán)成為P-內射環(huán)的一系列條件.證明了SF-環(huán)R只要滿足其中之一:R的每個極大左理想是有限生成的;特殊右零化子的降鏈條件;對R的每個極大左理想M,l(M)在R中是本質的,那么R就是P-內射環(huán).在此基礎上,利用一定條件下SF-環(huán)的P-內射性,發(fā)展了SF-環(huán)的若干新結果,這些結果部分地拓展了有關文獻中的結果.

SF-環(huán);正則環(huán);P-內射環(huán);半單環(huán);零化子升(降)鏈條件

1 引言及預備知識

顯然,正則環(huán)是SF-環(huán),也是P-內射環(huán),但SF-環(huán)和P-內射環(huán)是否為正則環(huán),仍懸而未決.而且SF-環(huán)和P-內射環(huán)之間的關系也尚不明確,鮮有研究.因此,研究SF-環(huán)和P-內射環(huán)之間的關系,構造兩者之間的充分條件或充要條件是有意義的,在所構造的條件下,這兩個重要環(huán)類的一些重要性質就可以互相傳遞,從而拓展已有的相關結果,豐富環(huán)論的內容,同時對環(huán)論的研究思路也有一定的啟發(fā)意義.

鑒于以往很多作者都討論了SF-環(huán)與正則環(huán)以及強正則環(huán)之間的關系[810],而對于SF-環(huán)的其它性質涉及甚少.本文首先研究了SF-環(huán)與P-內射環(huán)的關系,構造了SF-環(huán)成為P-內射環(huán)的條件;然后,在所構造的條件下,利用SF-環(huán)的P-內射性,發(fā)展了關于SF-環(huán)的若干新結果.文中結果部分拓展了文獻[8-10]中的有關結果.

2 SF-環(huán)與P-內射環(huán)

3 SF-環(huán)的內射性

上面構造了SF-環(huán)成為P-內射環(huán)的條件,本節(jié)在上面所構造的條件下,利用SF-環(huán)的內射性發(fā)展了SF-環(huán)的若干新結果,拓展了文獻[8-10]的有關結果.

定理2.1和定理2.2表明了半單環(huán)在刻畫環(huán)類時的重要作用,因此研究一個環(huán)與半單環(huán)的等價性或一個環(huán)成為半單環(huán)的條件都是有意義的.

文獻[8]的定理2利用特殊右零化子的降鏈條件刻畫了SF-環(huán)的阿丁半單性,受此啟發(fā),下面定理則是利用特殊左零化子的升鏈條件得到了SF-環(huán)的半單性.

定理 3.1 設環(huán)R是滿足特殊左零化子升鏈條件的非奇異的SF-環(huán),那么只要R再滿足下列條件之一,R就是半單環(huán).

(1)R的不可分解的商環(huán)是正則的;

(2)R的每個極大左理想是有限生成的;

(3)對R的每個極大左理想M,l(M)在R中是本質的;

(4)R的不可分解商環(huán)是左quasi-duo的;

(5)R是約化環(huán).

(1)R有一個生成子RG是Noether的;

(2)每一個有限生成左R-模是Noether的;

(3)每一個有限生成左R-模的每個子模是有限生成的.

作為正則環(huán)的一個例子,利用SF-環(huán)在一定條件下的半單性,我們可以證明:

參考文獻

[1]Nicholson W K.Principally injective rings[J].Journal of Algebra,1995,174:77-93.

[2]章聚樂,陳建龍.P-內射環(huán)的某些研究[J].J.of Math.,1992,12(2):141-145.

[3]Zhang Jule,Wu Jun.Generalizations of P-injective rings[J].Algebra Colloquium,1999,6(3):277-282.

[4]Zhang Jule.P-injective rings and nov-neumann regular rings[J].Northeast Math.J.,1991,(3):326-331.

[5]Chen Jianlong,Ding Nanqing.On general principally injective rings[J].Common Algebra,1999,27(5):2097-2116.

[6]Chen Jianlong,Ding Nanqing.On Generalizations of Injectivity[C].Boston:Florida Boston International Sympoism on Ring Theory,1999.

[7]Goodearl K R.Von Neumann Regular Rings[M].Florida:Krieger Publishing Company Malabar,1991.

[8]章聚樂.關于SF-環(huán)的幾點注記[J].數學雜志,1993,14(2):197-202.

[9]章聚樂,杜先能.Von Neumann正則環(huán)和SF-環(huán)[J].數學年刊:A,1993,14(1):6-11.

[10]周海燕,王小冬.Von Neumann正則環(huán)和左SF-環(huán)[J].數學研究與評論,2004,24(4):679-683.

[11]Rotman J J.An introduction to Homlojical Algebra[M].New York:Acad.Press,1979.

[12]Faith C.Algebra II:Rings Theory[M].New York:Springer-Verlag,1976.

[13]陳家鼐.環(huán)與模[M].北京:北京師范學院出版社,1989.

[14]Rege M B.On Von Neumann regular rings and SF-rings[J].Math.Japonica,1986,36(1):927-936.

[15]Chattes A W,Hajarnavis C R.Rings with Chain Conditions[M].London:Pitman,1980.

[16]Zhang J L.On nonsingular rings[J].Journal of Anhui Normal University:Natural Science,1986,9(4):6-11.

[17]Goodearl K R.Rings Theory,Nonsingular Rings and Modules[M].New York:Marcel Dekker,1976.

[18]Anderson F W,Fuller K R.Rings and Categories of Modules[M].New York:Springer-Verlag,1974.

[19]Fisher J W.Von Neumann regular rings[J].Pure and Appl.Math.,1974,7:101-119.

[20]Camillo V,Nicholson W K.Ikeda-Nakayama Rings[J].Journal of Algebra,2000,226:1001-1010.

The injectivity of SF-Rings

Li Yanwu1,Cheng Haixia2,3
(1.Wuhu Vocational College of Information Technology,Wuhu 241000,China;
2.Department of Mathematics,Nanjing University,Nanjing 210093,China;
3.College of Mathematics and Computer Science,Anhui Normal University,Wuhu 241000,China)

In this paper,we studied the relations between the SF-rings and the P-injective rings.Firstly, we constructed some conditions that SF-rings be P-injective rings.In this section,we proved that a SF-ring R as soon as satis fi es one of the conditions:every maximal left ideal of R is fi nitely generated and special right annihilator descending chain condition and is essential in R for any maximal left ideal of R,then R is a P-injective ring.Secondly,we developed some new results about SF-rings by their injectivity based on certain conditions.Our work extends some results of related references to some extent.

SF-rings,regular rings,P-injective rings,semi-simple rings,annulator ACC(DCC)

0153.3

A

1008-5513(2012)01-0017-08

2011-02-03.

2009年安徽高校省級自然科學研究項目(KJ2009B017Z);安徽省教育廳優(yōu)秀青年人才基金(2009SQRZ223);安徽省2008年高等學校省級教學研究重點資助項目(2008jyxm180).

李艷午(1975-),碩士,副教授,研究方向:環(huán)論.

MSC 2010:16E50