李衛(wèi)東，王中科

(大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

0 引言

混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(Hybrid Dynamic Systems)是研究同時(shí)包含連續(xù)變量動(dòng)態(tài)過程和離散事件動(dòng)態(tài)過程的復(fù)雜系統(tǒng)，其混雜特性表現(xiàn)為連續(xù)變量和離散事件的相互作用［1-2］.混雜系統(tǒng)具有復(fù)雜性和特殊性，即便每個(gè)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的，混雜系統(tǒng)也不一定穩(wěn)定;相反，如果有的子系統(tǒng)不穩(wěn)定，那也不代表混雜系統(tǒng)是不穩(wěn)定的［3］.穩(wěn)定性分析及綜合是控制系統(tǒng)研究的基本問題，不論在理論上還是在實(shí)踐中均有重要意義，且實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)一般都要求是穩(wěn)定的.因此，自從混雜系統(tǒng)提出以來，穩(wěn)定性問題便受到了研究人員的廣泛重視，近些年在混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性方面取得的理論成果也是頗為豐富的［4-5］.目前，在混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中，主要有Lyapunov意義下的穩(wěn)定性和Lagrange意義下的穩(wěn)定性兩類.本文主要研究Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題，同時(shí)為了使分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題能夠得到簡化，文中把穩(wěn)定性條件等價(jià)為求解線性矩陣不等式的問題，同時(shí)借助了已有的計(jì)算機(jī)工具來進(jìn)行了輔助分析.

1 系統(tǒng)模型

本文討論了一類自治切換混雜系統(tǒng)，其控制器被設(shè)計(jì)成一個(gè)閉環(huán)的混雜系統(tǒng).其方程描述如下:

式中，x∈Rn，m∈M={m1，…，mN}，這里x表示連續(xù)狀態(tài)，m表示離散狀態(tài)，混合狀態(tài)空間H=Rn×M.該混雜系統(tǒng)模型的初始條件是(x0，m0)∈I0，I0表示所有可能初始條件的集合.切換集可以表示為如下形式:

每一個(gè)f(*，mi)表示一個(gè)子系統(tǒng)，當(dāng)m的值改變的時(shí)候會(huì)導(dǎo)致向量場f發(fā)生改變.系統(tǒng)的變化過程可概括如下:由起始點(diǎn)處(x0，m0)，當(dāng)m0=mi，在時(shí)刻t0，演變軌跡可由x·=f(x，mi)得出.當(dāng)x在t1時(shí)刻，其狀態(tài)變?yōu)?x1，mj)，變化曲線可由x·=f(x，mj)得出.為了使混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性條件體現(xiàn)在函數(shù)f和φ中，前提是對于任意初始條件都存在使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的條件，且f(x，mi)?mi∈ M 是連續(xù)的［6］.

2 理論分析

2.1 穩(wěn)定性理論

定義1 一個(gè)連續(xù)的函數(shù)α:R+→R+，滿足以下條件:

(1)α(0)=0;

(2)α(z)＞0，?z＞0;

(3)α(z1)≤ α(z2)，z1＜ z2.則稱函數(shù)α為K類函數(shù).

定理1 (Lyapunov穩(wěn)定性定理)若存在函數(shù)V:Rn×R→R以及K類函數(shù)α:R+→R+，β:R+→R+滿足如下條件:

(1)α(‖x‖)≤ V(x，t)≤ β(‖x‖)

(2)?t≥ t0，V(x，t)≤ h(V(x0，t0))，h∈C［R+，R+］，h(0)=0，R+= ［0，+ ∞)(函數(shù) h 引用于文獻(xiàn)［7］)

則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是處于Lyapunov意義下的穩(wěn)定狀態(tài).若‖x‖→∞ 時(shí)，α(‖x‖)→∞則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是全局穩(wěn)定的.

假設(shè)混雜系統(tǒng)(1)、(2)中的混雜狀態(tài)空間分為 l個(gè)不相交的區(qū)域 Ωq，q=1，…，l，Ωq既可以是有界的也可能是無界的，在每個(gè)區(qū)域Ωq中有函數(shù)Vq(x，t)作為系統(tǒng)的能量函數(shù).為了在區(qū)域Ωq得到唯一的連續(xù)狀態(tài)，這里假定:

當(dāng) (x，m)∈ Ωq時(shí)，V(x，t)=Vq(x，t)，且假定初始狀態(tài)是(x0，m0)∈ I0，能量是V(x0，t0).進(jìn)而得出如下推論:

推論1 如果存在能量函數(shù)Vq(x，t)，以及K類函數(shù)α:R+→R+，β:R+→R+滿足如下條件:

(1)?(x，m)∈ Ωq，α(‖x‖)≤Vq(x，t)≤β(‖x‖)，q=1，…，l

(2)?(x，m)∈ Ωq，?t ≥ t0，Vq(x，t)≤h(V(x0，t0))，q=1，…，l

則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是處于Lyapunov意義下的穩(wěn)定狀態(tài).

推論2 如果存在能量函數(shù)Vq:×R→R，q=1，…，l與時(shí)間無關(guān)，且每個(gè)能量函數(shù)Vq(x)對x(?x ∈ Ωxq，q=1，…，l)可微，滿足如下條件，(1)?x∈，α(‖x‖)≤ Vq(x，t)≤β(‖x‖)，q=1，…，l

(2)?(x，m)∈ Ωq，(x)≤ 0，q=1，…，l

(3)?x∈ Ωqr，Vr(x)≤ Vq(x)，q=1，…，l，r=1，…，l

其中，α:R+→ R+，β:R+→ R+為 K 類函數(shù)，Ωqr表示系統(tǒng)從狀態(tài)區(qū)域Ωq進(jìn)入到Ωr，則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是處于Lyapunov意義下的穩(wěn)定狀態(tài).

2.2 等價(jià)線性矩陣不等式分析

引理1 一個(gè)向量場f:Rn→Rn可以表示為如下形式:

根據(jù)上述引理可以把所有非線性子系統(tǒng)f(*，mi)，mi∈M通過加權(quán)的線性子系統(tǒng)來表示，形式如下:

為了把系統(tǒng)穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化成為求解線性矩陣不等式的問題，這里考慮把能量函數(shù)表示為如下形式:

從而可以得出以下推論:

推論3 如果存在矩陣 Pq，q=1，…，l，α ＞0，β＞0，滿足如下條件:

(3)?x ∈ Ωqr，Pr≤ Pq，q，r=1，…，l

系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是Lyapunov意義下的全局穩(wěn)定狀態(tài).

3 仿真分析

考慮如下兩個(gè)包含離散狀態(tài)的混雜系統(tǒng):

其中切換集為S12={x∈R2|x2=0}，S21={x∈ R2|x2=0.5x1}，初始狀態(tài)設(shè)為(x0，m0)=(［－ 5，5］T，m1)，系統(tǒng)的狀態(tài)變化曲線如圖1所示，從圖中可見該混雜系統(tǒng)趨于0點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài).

圖1 混雜系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線

通過引理1可以把系統(tǒng)描述為如下形式:

根據(jù)推論3可以求得

能量函數(shù)的變化曲線如圖2所示，從圖中可以看出能量函數(shù)隨時(shí)間推移呈遞減趨勢，即系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件，從而證明了所提出理論是可行的.

圖2 能量函數(shù)變化仿真圖形

4 結(jié)論

混雜系統(tǒng)中的穩(wěn)定性問題是研究人員關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容之一，且已經(jīng)在許多文獻(xiàn)中進(jìn)行了闡述和分析.本文通過對經(jīng)典穩(wěn)定性理論進(jìn)行擴(kuò)展，給出了含有非線性子系統(tǒng)的自治切換混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù).隨后，把穩(wěn)定性問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的問題，進(jìn)而利用便利的計(jì)算機(jī)工具對給出的實(shí)例進(jìn)行了仿真分析，通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出理論的正確性及分析方法的有效性.

［1］莫以為，蕭德云.混合動(dòng)態(tài)系統(tǒng)及其應(yīng)用綜述［J］.控制理論與應(yīng)用，2002，19(1):1-8.

［2］MORSE A S，PANTELIDES C C.Introduction to the Special Issue on Hybrid Systems ［J］.Automatics，1999，35(3):347-348.

［3］BRANICKY M S.Multiple Lyapunov Functions and other analysis tools for switched and hybrid systems［J］.IEEE Trans.Automat.Contr，1998，43(4):475-482.

［4］DECARLO R A，BRANICKY M S，PATTERSON S，et al.Perspectives and results on the stability and stabilizability of hybrid systems［J］.Proceedings of the IEEE，2000，88(7):1069-1082.

［5］DAVRAZOS G N，KOUSSOULAS N T.A Review of Stability Results for Switched and Hybrid Systems［C］.Dubrovnik，9th Mediterranean Conference on Control and Automation，2001:235-244.

［6］SLOTINE J E，LI W.Applied Nonlinear Control［J］.Prentice-Hall，2003，18(2):25-38.

［7］YE H，MICHEL A N，HOU L.Stability theory for hybrid dynamical systems［C］.Croatia，In Proc.of 34th CDC，1999:2679-2684.