李衛(wèi)東,王中科
(大連交通大學(xué) 電氣信息學(xué)院,遼寧 大連 116028)*
混雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(Hybrid Dynamic Systems)是研究同時(shí)包含連續(xù)變量動(dòng)態(tài)過程和離散事件動(dòng)態(tài)過程的復(fù)雜系統(tǒng),其混雜特性表現(xiàn)為連續(xù)變量和離散事件的相互作用[1-2].混雜系統(tǒng)具有復(fù)雜性和特殊性,即便每個(gè)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的,混雜系統(tǒng)也不一定穩(wěn)定;相反,如果有的子系統(tǒng)不穩(wěn)定,那也不代表混雜系統(tǒng)是不穩(wěn)定的[3].穩(wěn)定性分析及綜合是控制系統(tǒng)研究的基本問題,不論在理論上還是在實(shí)踐中均有重要意義,且實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)一般都要求是穩(wěn)定的.因此,自從混雜系統(tǒng)提出以來,穩(wěn)定性問題便受到了研究人員的廣泛重視,近些年在混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性方面取得的理論成果也是頗為豐富的[4-5].目前,在混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中,主要有Lyapunov意義下的穩(wěn)定性和Lagrange意義下的穩(wěn)定性兩類.本文主要研究Lyapunov意義下的穩(wěn)定性問題,同時(shí)為了使分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題能夠得到簡化,文中把穩(wěn)定性條件等價(jià)為求解線性矩陣不等式的問題,同時(shí)借助了已有的計(jì)算機(jī)工具來進(jìn)行了輔助分析.
本文討論了一類自治切換混雜系統(tǒng),其控制器被設(shè)計(jì)成一個(gè)閉環(huán)的混雜系統(tǒng).其方程描述如下:
式中,x∈Rn,m∈M={m1,…,mN},這里x表示連續(xù)狀態(tài),m表示離散狀態(tài),混合狀態(tài)空間H=Rn×M.該混雜系統(tǒng)模型的初始條件是(x0,m0)∈I0,I0表示所有可能初始條件的集合.切換集可以表示為如下形式:
每一個(gè)f(*,mi)表示一個(gè)子系統(tǒng),當(dāng)m的值改變的時(shí)候會(huì)導(dǎo)致向量場f發(fā)生改變.系統(tǒng)的變化過程可概括如下:由起始點(diǎn)處(x0,m0),當(dāng)m0=mi,在時(shí)刻t0,演變軌跡可由x·=f(x,mi)得出.當(dāng)x在t1時(shí)刻,其狀態(tài)變?yōu)?x1,mj),變化曲線可由x·=f(x,mj)得出.為了使混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性條件體現(xiàn)在函數(shù)f和φ中,前提是對于任意初始條件都存在使系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的條件,且f(x,mi)?mi∈ M 是連續(xù)的[6].
定義1 一個(gè)連續(xù)的函數(shù)α:R+→R+,滿足以下條件:
(1)α(0)=0;
(2)α(z)>0,?z>0;
(3)α(z1)≤ α(z2),z1< z2.則稱函數(shù)α為K類函數(shù).
定理1 (Lyapunov穩(wěn)定性定理)若存在函數(shù)V:Rn×R→R以及K類函數(shù)α:R+→R+,β:R+→R+滿足如下條件:
(1)α(‖x‖)≤ V(x,t)≤ β(‖x‖)
(2)?t≥ t0,V(x,t)≤ h(V(x0,t0)),h∈C[R+,R+],h(0)=0,R+= [0,+ ∞)(函數(shù) h 引用于文獻(xiàn)[7])
則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是處于Lyapunov意義下的穩(wěn)定狀態(tài).若‖x‖→∞ 時(shí),α(‖x‖)→∞則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是全局穩(wěn)定的.
假設(shè)混雜系統(tǒng)(1)、(2)中的混雜狀態(tài)空間分為 l個(gè)不相交的區(qū)域 Ωq,q=1,…,l,Ωq既可以是有界的也可能是無界的,在每個(gè)區(qū)域Ωq中有函數(shù)Vq(x,t)作為系統(tǒng)的能量函數(shù).為了在區(qū)域Ωq得到唯一的連續(xù)狀態(tài),這里假定:
當(dāng) (x,m)∈ Ωq時(shí),V(x,t)=Vq(x,t),且假定初始狀態(tài)是(x0,m0)∈ I0,能量是V(x0,t0).進(jìn)而得出如下推論:
推論1 如果存在能量函數(shù)Vq(x,t),以及K類函數(shù)α:R+→R+,β:R+→R+滿足如下條件:
(1)?(x,m)∈ Ωq,α(‖x‖)≤Vq(x,t)≤β(‖x‖),q=1,…,l
(2)?(x,m)∈ Ωq,?t ≥ t0,Vq(x,t)≤h(V(x0,t0)),q=1,…,l
則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是處于Lyapunov意義下的穩(wěn)定狀態(tài).
推論2 如果存在能量函數(shù)Vq:×R→R,q=1,…,l與時(shí)間無關(guān),且每個(gè)能量函數(shù)Vq(x)對x(?x ∈ Ωxq,q=1,…,l)可微,滿足如下條件,(1)?x∈,α(‖x‖)≤ Vq(x,t)≤β(‖x‖),q=1,…,l
(2)?(x,m)∈ Ωq,(x)≤ 0,q=1,…,l
(3)?x∈ Ωqr,Vr(x)≤ Vq(x),q=1,…,l,r=1,…,l
其中,α:R+→ R+,β:R+→ R+為 K 類函數(shù),Ωqr表示系統(tǒng)從狀態(tài)區(qū)域Ωq進(jìn)入到Ωr,則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是處于Lyapunov意義下的穩(wěn)定狀態(tài).
引理1 一個(gè)向量場f:Rn→Rn可以表示為如下形式:
根據(jù)上述引理可以把所有非線性子系統(tǒng)f(*,mi),mi∈M通過加權(quán)的線性子系統(tǒng)來表示,形式如下:
為了把系統(tǒng)穩(wěn)定性條件轉(zhuǎn)化成為求解線性矩陣不等式的問題,這里考慮把能量函數(shù)表示為如下形式:
從而可以得出以下推論:
推論3 如果存在矩陣 Pq,q=1,…,l,α >0,β>0,滿足如下條件:
(3)?x ∈ Ωqr,Pr≤ Pq,q,r=1,…,l
系統(tǒng)在平衡點(diǎn)0處是Lyapunov意義下的全局穩(wěn)定狀態(tài).
考慮如下兩個(gè)包含離散狀態(tài)的混雜系統(tǒng):
其中切換集為S12={x∈R2|x2=0},S21={x∈ R2|x2=0.5x1},初始狀態(tài)設(shè)為(x0,m0)=([- 5,5]T,m1),系統(tǒng)的狀態(tài)變化曲線如圖1所示,從圖中可見該混雜系統(tǒng)趨于0點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài).
圖1 混雜系統(tǒng)狀態(tài)變化曲線
通過引理1可以把系統(tǒng)描述為如下形式:
根據(jù)推論3可以求得
能量函數(shù)的變化曲線如圖2所示,從圖中可以看出能量函數(shù)隨時(shí)間推移呈遞減趨勢,即系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件,從而證明了所提出理論是可行的.
圖2 能量函數(shù)變化仿真圖形
混雜系統(tǒng)中的穩(wěn)定性問題是研究人員關(guān)注的重點(diǎn)內(nèi)容之一,且已經(jīng)在許多文獻(xiàn)中進(jìn)行了闡述和分析.本文通過對經(jīng)典穩(wěn)定性理論進(jìn)行擴(kuò)展,給出了含有非線性子系統(tǒng)的自治切換混雜系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù).隨后,把穩(wěn)定性問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式的問題,進(jìn)而利用便利的計(jì)算機(jī)工具對給出的實(shí)例進(jìn)行了仿真分析,通過仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出理論的正確性及分析方法的有效性.
[1]莫以為,蕭德云.混合動(dòng)態(tài)系統(tǒng)及其應(yīng)用綜述[J].控制理論與應(yīng)用,2002,19(1):1-8.
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