曾一平，李 劍，劉 瑜，彭 炯

(第二炮兵工程大學(xué)，西安 710025)

對(duì)于純粹的壓電陶瓷元件來(lái)說(shuō)，要得到共振頻率在50 kHz 以下的振子，沿其極化方向的厚度應(yīng)為4 cm 以上。這樣厚的振子，內(nèi)部阻抗太高，而且燒成和極化工藝都較困難。為了克服這一困難，常采用一種在壓電陶瓷圓片的兩端面夾以金屬塊而組成的夾心式壓電陶瓷換能器［1］，圖1 所示該換能器主要由中央壓電陶瓷片、前后金屬蓋板、預(yù)應(yīng)力螺栓、金屬電極片以及預(yù)應(yīng)力螺栓絕緣套管等組成。

圖1 夾心式換能器結(jié)構(gòu)示意圖

這種換能器應(yīng)用非常廣泛，文獻(xiàn)［2］中利用該換能器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)制作了非金屬檢測(cè)探頭，并對(duì)混凝土進(jìn)行了檢測(cè);文獻(xiàn)［3］中在該型換能器前端安裝一個(gè)變幅桿應(yīng)用于超聲加工領(lǐng)域。在夾心式換能器中，通過(guò)改變壓電陶瓷材料的厚度和形狀以及前后金屬蓋板的幾何尺寸和形狀，可以對(duì)換能器進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，來(lái)獲得不同的工作頻率和其他一些性能參數(shù)，以適應(yīng)不同的工作環(huán)境和應(yīng)用場(chǎng)合。在一般情況下，利用換能器的頻率方程設(shè)計(jì)換能器的方式有2 種:一種是給定換能器的頻率，利用頻率方程設(shè)計(jì)換能器的形狀和尺寸;另一種是給定換能器的材料和幾何尺寸，由頻率方程計(jì)算其共振頻率。本文對(duì)換能器的幾種設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了論述和推導(dǎo)，分析了它們各自的特點(diǎn)，提出簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)的方法，并找出了影響設(shè)計(jì)精度的原因，對(duì)工程上換能器的設(shè)計(jì)有一定指導(dǎo)作用。

1 解析法

依據(jù)一維細(xì)棒振動(dòng)原理，列出每個(gè)振動(dòng)元件的波動(dòng)方程，寫(xiě)出通解，利用邊界條件確定出方程中的待定系數(shù)，再利用連續(xù)性條件解方程組可導(dǎo)出換能器的頻率方程等各性能參量的解析表達(dá)式。

在圖2 所示換能器的簡(jiǎn)化模型中，1，2，3 分別表示換能器的后蓋板、壓電陶瓷晶片、前蓋板，質(zhì)點(diǎn)位移為ξ(x)，F(xiàn) 為應(yīng)力，V 為振速，c 為聲速，k 為波數(shù)，當(dāng)換能器的橫向尺寸小于時(shí)，由一維細(xì)棒的振動(dòng)原理，得到各元件波動(dòng)方程簡(jiǎn)諧解［4-5］

圖2 換能器簡(jiǎn)化模型

由換能器端面的邊界條件和交界面處力與速度的連續(xù)條件。可得到下列方程組

由式(1)和(2)聯(lián)立，即可得到換能器的頻率方程及其他所需的設(shè)計(jì)參量。

該方法是最基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)方法，由振動(dòng)理論、波動(dòng)方程、壓電方程，結(jié)合邊界條件和連續(xù)性條件推導(dǎo)出來(lái)的，其他的方法都是在它的基礎(chǔ)上優(yōu)化變換得到的。需要指出的是，前后蓋板的形狀在很多情況是變截面，有圓柱形、圓錐形、指數(shù)形、懸鏈線等復(fù)雜形狀，可根據(jù)不同需要進(jìn)行選擇，當(dāng)選擇較為復(fù)雜的截面形狀時(shí)，用該方法計(jì)算比較復(fù)雜;為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，往往假設(shè)負(fù)載為零即F3(L3)=0，但很多情況下要考慮負(fù)載，因?yàn)樨?fù)載對(duì)設(shè)計(jì)有一定影響，但當(dāng)F3(L3)≠0 時(shí)，用該方法計(jì)算較為復(fù)雜［6］。

2 等效電路法

將作用在換能器每個(gè)元件兩端的力、振速、力阻抗分別類(lèi)比于電壓、電流、電阻抗，則換能器和電路之間就有等效關(guān)系，這就是力電類(lèi)比方法［7］。如圖2 所示的換能器的三大部分，每個(gè)元件用力電類(lèi)比的方法，可得到等效的機(jī)械四端網(wǎng)絡(luò)［8］如圖3、4、5 所示，網(wǎng)絡(luò)中各等效電阻Z 都可由力電類(lèi)比求得。由于邊界振速連續(xù)，可將各元件的等效T 型網(wǎng)絡(luò)連接起來(lái)，得到整個(gè)換能器的等效電路如圖6，圖6 中Zbl、Zfl為分別是換能器前后輻射面的負(fù)載阻抗，一般情況下，Zbl=0，由于換能器的前表面與負(fù)載相連，因此對(duì)應(yīng)不同的負(fù)載，Zfl有不同的值。令電路阻抗部分為零，就可得到該換能器的頻率方程，也可對(duì)換能器的尺寸進(jìn)行設(shè)計(jì)。

該方法利用等效電路圖顯示比較直觀，物理意義清楚，可以利用電路的原理進(jìn)行分析計(jì)算。然而，從具體的推導(dǎo)過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，利用這一方法得出的換能器的頻率方程是一個(gè)非常復(fù)雜的超越方程，其求解非常困難。此時(shí)利用換能器的節(jié)面可以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。對(duì)于半波振子，在振動(dòng)時(shí)，換能器的兩端振動(dòng)位移最大，而在換能器的內(nèi)部某個(gè)位置，存在一個(gè)振動(dòng)位移為零的截面，稱(chēng)為節(jié)面。因此，在設(shè)計(jì)壓電換能器時(shí)，假如我們將此位移節(jié)面作為一個(gè)分界面，把整個(gè)換能器看成是由2 個(gè)四分之一波長(zhǎng)的振子組成，就可以利用這2 個(gè)四分之一波長(zhǎng)振子的等效電路求出其頻率方程，從而就可以得出換能器的整個(gè)頻率方程［9］。如圖2 所示，AB 表示換能器的位移節(jié)面，它將換能器分為2 個(gè)四分之一波長(zhǎng)的振子，每個(gè)四分之一波長(zhǎng)的振子都是由壓電陶瓷晶片和金屬蓋板組成的，金屬蓋板可以看成是壓電陶瓷的負(fù)載。圖7 表示一個(gè)位于位移節(jié)面右邊的四分之一波長(zhǎng)振子的機(jī)電等效電路圖。由于位移節(jié)面處的位移振速等于零，因此四分之一波長(zhǎng)振子等效電路的左邊可以看成是開(kāi)路的，其頻率方程可由回路中總電抗為零的條件來(lái)得出，由此可以得出換能器位移節(jié)面右邊四分之一波長(zhǎng)振子的頻率方程，同理對(duì)于換能器位移節(jié)面左面四分之一波長(zhǎng)振子的頻率方程，這樣就可以對(duì)換能器的形狀、尺寸及共振頻率進(jìn)行設(shè)計(jì)。

圖3 元件1 的等效T 型網(wǎng)絡(luò)

圖4 元件2 的等效T 型網(wǎng)絡(luò)

圖5 元件3 的等效T 型網(wǎng)絡(luò)

圖6 換能器的等效電路

圖7 節(jié)面右邊四分之一波長(zhǎng)振子的等效電路

3 傳輸矩陣法

根據(jù)一維振動(dòng)原理，換能器的每個(gè)振動(dòng)元件都有其等效的四端網(wǎng)絡(luò)，由波動(dòng)方程的通解，求出四端網(wǎng)絡(luò)兩端速度與力的關(guān)系，并將這一關(guān)系用矩陣表示。矩陣中的各個(gè)元素由元件的材料及形狀決定，由振動(dòng)理論可求得。把3 個(gè)元件的四端網(wǎng)絡(luò)按組合順序串聯(lián)起來(lái)，將各網(wǎng)絡(luò)矩陣相乘，可簡(jiǎn)化為一個(gè)換能器總體四端網(wǎng)絡(luò)［10-12］。利用換能器兩端自由的條件得到系統(tǒng)的諧振頻率。

將換能器各元件看作是一維縱振動(dòng)，其四端網(wǎng)絡(luò)如圖8所示，寫(xiě)成表達(dá)式為

由細(xì)棒縱振動(dòng)的波動(dòng)方程，可得

圖8 四端網(wǎng)絡(luò)

如圖2 所示換能器由3 個(gè)元件組成，各元件分別按順序標(biāo)以1，2，3。F1，V1，F(xiàn)2，V2，F(xiàn)3，V3，F(xiàn)4，V4分別表示各個(gè)元件兩端的力與振速，根據(jù)前面的討論有第i 個(gè)元件的等效四端網(wǎng)絡(luò)為

由連續(xù)性條件，將3 個(gè)元件的四端網(wǎng)絡(luò)聯(lián)立得換能器的四端網(wǎng)絡(luò)，如圖9 所示。

圖9 換能器的等效四端網(wǎng)絡(luò)

將該式(6)進(jìn)行簡(jiǎn)化，則

由換能器兩端自由，得邊界條件，F(xiàn)1=F4=0，則得

這種方法很簡(jiǎn)單方便，利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)能較好運(yùn)用在工程設(shè)計(jì)上，特別針對(duì)不同形狀的前后蓋板，利用傳輸矩陣編成子程序，設(shè)計(jì)時(shí)按需要進(jìn)行調(diào)用，不僅方便設(shè)計(jì)，在理論上也接近實(shí)際。需要注意的是，傳輸矩陣法只適應(yīng)于單純振動(dòng)的換能器，如果存在復(fù)合振動(dòng)，如縱彎、縱扭等，這種方法將不再適用。

4 有限元法

常用的有限元設(shè)計(jì)換能器的軟件是ANSYS。其設(shè)計(jì)的一般步驟有:預(yù)處理、前處理、求解、后處理［13］。如圖10 所示。有限元方法對(duì)換能器建模時(shí)，一旦完成對(duì)換能器的建模，其計(jì)算過(guò)程就比較簡(jiǎn)單，而且計(jì)算結(jié)果是以數(shù)值解給出的，通過(guò)可視化編程，后處理模塊可將這些數(shù)值解以圖形的方式顯示出來(lái)，由此觀察到換能器的各個(gè)振動(dòng)模態(tài)、位移分布以及應(yīng)力分布。有限元方法特別應(yīng)用于不規(guī)則的、無(wú)法得到解析解的換能器的設(shè)計(jì)上。

圖10 ANSYS 設(shè)計(jì)換能器的一般步驟示意圖

5 結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)的解析法和等效電路法設(shè)計(jì)分析換能器時(shí)，會(huì)有較大的局限性:它們都要對(duì)被分析對(duì)象建立簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，如等效電路法處理的對(duì)象是集中參數(shù)系統(tǒng)，因而它只能得出換能器處于諧振狀態(tài)時(shí)(這時(shí)可簡(jiǎn)化為集中的參數(shù)系統(tǒng))的一些參數(shù);又因?yàn)榈贸龅男阅軈?shù)都是以解析式的形式表達(dá)出來(lái)，所以要確切地知道換能器系統(tǒng)內(nèi)部的如位移分布、應(yīng)力分布等量，都要經(jīng)過(guò)很繁瑣的運(yùn)算才能得到。傳輸矩陣法有效地避免了這一問(wèn)題，特別是針對(duì)復(fù)雜形狀函數(shù)換能器性能表達(dá)式復(fù)雜、計(jì)算工作量大的難點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算機(jī)編程，能方便地對(duì)換能器進(jìn)行設(shè)計(jì)。而有限元法通過(guò)可視化的特點(diǎn)，不僅能對(duì)換能器性能參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，還可以顯示換能器內(nèi)部位移分布和應(yīng)力分布情況，適合對(duì)換能器進(jìn)行分析驗(yàn)證。

在實(shí)際的設(shè)計(jì)中我們可以根據(jù)需要選擇不同設(shè)計(jì)方法。針對(duì)不同的研究對(duì)象，有時(shí)候可將幾種方法結(jié)合起來(lái)使用，以簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，另外使用不同方法也可以相互驗(yàn)證。比如，對(duì)一端帶有圓錐桿的換能器，就可以用傳輸矩陣法進(jìn)行設(shè)計(jì)，用有限元方法進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于工程應(yīng)用，換能器的設(shè)計(jì)應(yīng)該系列化，假定有一“最佳”設(shè)計(jì)的參考換能器，諧振頻率為ω0，根據(jù)需要新設(shè)計(jì)的頻率ωs，確定頻率比例因子s=ωs/ω0，按比例改變參考換能器的尺寸，得到的新?lián)Q能器除少數(shù)性能參數(shù)有規(guī)律地變化外，其他性能參數(shù)不變，可以極大地簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)。同時(shí)如果能用設(shè)計(jì)方法本身統(tǒng)一換能器各元件性能參數(shù)的表達(dá)式，就可以方便地設(shè)計(jì)，而且用統(tǒng)一的表達(dá)式，也能更方便更深入地研究換能器的聲學(xué)性質(zhì)。

然而，在利用以上方法能對(duì)換能器進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，由于建模過(guò)程中進(jìn)行了簡(jiǎn)化，實(shí)驗(yàn)值與理論值存在一定的誤差，通過(guò)分析，得到影響設(shè)計(jì)精度的原因有:

1)探頭中預(yù)應(yīng)力螺栓對(duì)換能器性能參數(shù)的影響。文獻(xiàn)［14］中的研究結(jié)果表明，當(dāng)螺栓的長(zhǎng)度、直徑和位置變化時(shí)，換能器的共振頻率變化可達(dá)1.3kHz，而有效機(jī)電耦合系數(shù)的相對(duì)變化可達(dá)25.5%。設(shè)計(jì)螺栓時(shí)，適當(dāng)設(shè)計(jì)螺栓的長(zhǎng)度和減小螺栓的直徑，可提高換能器的機(jī)電耦合系數(shù)。

2)節(jié)面選擇對(duì)換能器性能參數(shù)的影響。文獻(xiàn)［15］中分別對(duì)3 種節(jié)面位置進(jìn)行了分析，得出其在換能器尺寸、前后振速比和有效機(jī)電耦合系數(shù)方面3 種特殊位置公式，并進(jìn)行對(duì)比分析，不同位置這3 個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)有較大差距?？筛鶕?jù)不同的設(shè)計(jì)需要，選擇不同的節(jié)面位置。

3)負(fù)載對(duì)換能器性能參數(shù)的影響。設(shè)計(jì)時(shí)為簡(jiǎn)化，忽略了負(fù)載的影響，然而在實(shí)際工作過(guò)程中，換能器都是有負(fù)載的，而且對(duì)換能器的頻率影響也比較大。在換能器的材料、形狀和幾何尺寸給定后，其共振頻率僅由換能器的負(fù)載確定。

4)橫向耦合效應(yīng)對(duì)換能器性能參數(shù)的影響。為簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，將換能器各元件都看作純縱向振動(dòng)，然而實(shí)際上過(guò)程中存在橫向耦合振動(dòng)，引起固有頻率下降?？v振動(dòng)固有頻率的下降與換能器徑長(zhǎng)比有關(guān)，徑長(zhǎng)比越大，固有頻率下降程度就越嚴(yán)重。

在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中，要綜合考慮以上因素，才能進(jìn)一步提高設(shè)計(jì)的精度。

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