徐 琳

(中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

在多項目環(huán)境下，隨著項目數(shù)量的增加，規(guī)模的擴大以及地域范圍的擴展，必然會引起多項目并行實施過程中對有限資源的競爭。因此，合理有效地配置項目資源以保證各并行項目的工期要求是多項目管理研究的重點。然而，在多項目背景下各項目之間存在資源競爭、工期沖突等多種限制及聯(lián)系，彼此并不孤立存在，而且這些相互聯(lián)系加大了多項目資源共享的難度，尤其是并行項目間的資源沖突;同時，各項目由于資源的共享彼此相依，一個項目的延遲往往會引起整個項目系統(tǒng)的延期。因此，有效解決多項目資源共享，對確保各項目按時、按質(zhì)完成以及提升組織的經(jīng)濟效益具有重要意義。為此，本文針對各項目資源受限、工期固定條件下的多項目管理問題，在綜合考慮項目活動間資源約束及邏輯關(guān)系，假定活動所分配資源數(shù)量與活動持續(xù)時間成反比關(guān)系的條件下，以資源為決策變量，從活動分配的資源數(shù)量入手，建立了以資源為決策變量的多項目資源優(yōu)化配置方法，以優(yōu)化多項目整體工期。

1 資源作為決策變量在多項目管理中的理論依據(jù)

1.1 多項目管理中資源沖突的產(chǎn)生

在企業(yè)管理中，絕大部分的項目需要在多項目環(huán)境下執(zhí)行，項目與項目之間存在工期沖突、資源競爭等多種聯(lián)系，而且這些聯(lián)系并不孤立存在，這使得項目管理變得非常復(fù)雜。傳統(tǒng)的項目管理方法在單項目管理中能很好地發(fā)揮作用，但在資源有限的情況下，由于這些方法忽視了資源約束的存在，已經(jīng)不能有效地對并行多項目進行管理。

傳統(tǒng)的關(guān)鍵路線法(CPM)及計劃評審技術(shù)(PERT)等項目管理工具把重點放在了活動間前后關(guān)系的分析上，并沒有足夠重視資源約束，對資源的規(guī)劃功能較弱，導(dǎo)致計劃與實際執(zhí)行進度之間存在較大偏差。圖1 為關(guān)鍵路線法下單項目資源沖突示意圖。

圖1 單項目資源沖突示意圖

圖中假設(shè)活動1 的持續(xù)時間為8個工作日，活動2的持續(xù)時間為10個工作日，活動3的持續(xù)時間為15個工作日，活動4 的持續(xù)時間為10 個工作日，活動5 的持續(xù)時間為6 個工作日。在活動1 ～5 這個系統(tǒng)中，活動1、3、5是關(guān)鍵路徑;然而，活動2 需要使用與活動l 相同的資源A，而該資源只能同時執(zhí)行1項活動。因此，由于資源沖突的存在，活動2和活動1不能同時展開。在考慮資源限制的情況下，活動1、2、4應(yīng)該作為關(guān)鍵活動。由此可見，在資源的規(guī)劃上，計劃評審技術(shù)及關(guān)鍵路線法等項目管理工具由于忽視資源約束，極易造成資源沖突在活動間產(chǎn)生，故效果不佳。

資源的共享和活動間的邏輯關(guān)系會使各活動聯(lián)系緊密，1個活動的延遲會傳遞到下1個活動上，這會造成逾期累積而不僅僅是平均分?jǐn)偂?個項目在多項目系統(tǒng)中的延遲也會傳遞給下1個項目，進而推遲整個系統(tǒng)的運行時間。圖2為多項目資源沖突示意圖。

圖2 多項目資源沖突示意圖

圖2中，項目2的活動3、項目1的活動1 及活動3共享資源A。如果項目1 中活動3延期完工的話，項目2中活動3的延期開工便不可避免;即使項目1中活動3沒有延期，當(dāng)項目2中活動1未能及時完工時，也會導(dǎo)致資源A的閑置。顯然，在多項目系統(tǒng)中，人力、時間、資金等資源在項目間和項目內(nèi)部需要共享，這樣一來項目之間便會為了人力、時間、資金等資源而進行競爭，這將使得資源沖突加劇，資源在多項目間的配置難度將大大增加。

1.2 資源作為決策變量的理論依據(jù)

項目資源分配與項目進度在多項目環(huán)境下關(guān)系密切。一方面，項目進度深受項目資源分配方法的影響，縮短項目進度可以通過資源在項目間的有效分配來實現(xiàn)，這對于產(chǎn)品周期的縮短具有積極意義，進而能使產(chǎn)品更早投入并占領(lǐng)市場，實現(xiàn)更多的利潤;另一方面，資源分配和項目進度安排又不可分割，聯(lián)系緊密。項目進度安排中的一個重要部分便是資源分配，稀缺資源的使用情況和時間節(jié)奏是項目進度安排所必須考慮的問題。在一定程度上，項目進度安排決定著項目的資源分配問題，確定每個時間段上每個活動分配的資源，有效地把組織資源分配到每一個項目的各活動中，通過資源的合理配置，可優(yōu)化多項目整體工期。多項目資源共享問題在當(dāng)前資源受限、活動持續(xù)時間一定、分配給各活動資源數(shù)量一定且已知活動間邏輯關(guān)系的情況下，為一個建立模型并對其進行求解以優(yōu)化多項目工期的過程。

一般情況下，項目進度的展開包含以下步驟:對工作結(jié)構(gòu)進行分解、對活動先后次序進行排序、對活動時間進行預(yù)測以及對網(wǎng)絡(luò)進度進行規(guī)劃。估計活動持續(xù)時間時，必須足夠重視可使用的資源數(shù)量，也即是說，在估計某項活動的持續(xù)時間時，項目管理人員必須對未來的資源可用數(shù)量有所考慮。預(yù)測活動持續(xù)時間是制定項目計劃基礎(chǔ)工作中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其準(zhǔn)確性的高低對各節(jié)點網(wǎng)絡(luò)、各活動時間的確定和整個項目所需總時間的花費均有重大影響。在估計活動持續(xù)時間時，必須充分考慮人、財、物等各種因素，做到統(tǒng)籌兼顧，避免顧此失彼。如果活動持續(xù)時間估計太長，會延長整個項目的完工期;相反，如果活動持續(xù)時間估計太短，則會造成工作被動、緊張的局面?；顒映掷m(xù)時間在實際工作中往往會受到活動實際工作量以及分配到該活動的資源數(shù)量的影響。

在已有研究的基礎(chǔ)上，假定活動工作量在每個活動中與活動持續(xù)時間成正比關(guān)系，資源數(shù)量在每個活動中與活動持續(xù)時間成反比關(guān)系，并將工作量、資源變量、活動持續(xù)時間的含義作如下規(guī)定。

1)工作量Ua為活動量的變量，表示活動a 的工作量。

2)資源數(shù)量Ra為資源分配數(shù)量的變量，表示活動a 的資源分配數(shù)量。本文以每項活動分配的資源數(shù)量為變量，假定每項活動只用到1 種資源，通過對分配給每項活動的資源數(shù)量進行優(yōu)化，來對多項目總體工期進行優(yōu)化。

3)活動持續(xù)時間Da為活動開始到活動結(jié)束所經(jīng)過的時間跨度，表示活動a 的活動持續(xù)時間。在資源變量及活動工作量已知的情況下，可以計算活動持續(xù)時間。工作量Ua、資源數(shù)量Ra、活動持續(xù)時間Da三者有如下關(guān)系

在按項目進行管理的組織中，各種資源可在項目間進行自由流轉(zhuǎn)。由于活動分配的資源數(shù)量與活動持續(xù)時間成反比，故在已知活動工作量和活動間邏輯關(guān)系的前提下，本文以每項活動分配的資源數(shù)量為決策變量，通過對其進行優(yōu)化，可實現(xiàn)多項目資源的優(yōu)化配置。

2 資源作為決策變量的多項目資源共享管理方法

多項目資源共享是否合理將嚴(yán)重影響各項目的完工期，而其在資源受限條件下又非常復(fù)雜。假設(shè)各項目工期固定、資源受限，以此實現(xiàn)多項目加權(quán)超期之和最小的問題可以描述如下:組織內(nèi)部同時進行著m 個項目，這些項目將共享L種資源;項目優(yōu)先級為已知，共享的每種資源都有有限的供給量;每個活動只用共享資源中的1 種，且同一項目中不同活動使用的共享資源不同;每個活動只能在其前面的所有活動完成之后才能開始。

2.1 資源作為決策變量的多項目資源分配模型

為了使復(fù)雜問題得到合理簡化，鑒于模型主要用于求解多項目間資源在受限情況下的分配問題，本著盡可能符合實際背景的原則，本文做出如下假設(shè):

1)各項目的優(yōu)先級已經(jīng)確定;

2)在各項目執(zhí)行期間，各種共享約束資源總供給量保持不變;

3)項目內(nèi)部活動間的邏輯關(guān)系為“開始—結(jié)束”關(guān)系，即任一活動只有在其所有緊前活動都結(jié)束后才能開始;

4)各項目中所有活動所涉及的工作一旦開始，那么在執(zhí)行完成之前不能被其他活動中斷;

5)活動持續(xù)時間與所分配的資源數(shù)量(在一定資源區(qū)間內(nèi))成反比關(guān)系，與活動工作量成正比關(guān)系;

6)每個活動最多受到1 種資源約束。

根據(jù)以上假設(shè)，對項目優(yōu)先級進行綜合考慮，得到了用于求解多項目間資源在受限情況下分配問題的模型。此模型將各活動分配的資源數(shù)量作為一個決策變量，通過對共享資源數(shù)量進行優(yōu)化，達到了多項目整體工期優(yōu)化的目的。

1)目標(biāo)函數(shù)，用于求解m 個項目超期之和的最小值

2)第t 天實際使用第f 種資源的數(shù)量St

3)第t 天項目k 使用第l 種資源的數(shù)量

4)項目k 活動i-j 的開始時間限制

5)項目k 活動i-j 的結(jié)束時間限制

6)資源限制

7)項目k 的實際工期求解函數(shù)

8)項目k 的緊前關(guān)系約束

9)項目k 各活動的持續(xù)時間

10)項目k 活動i-j 實際可分配資源數(shù)量的約束

式中:F(m)為目標(biāo)函數(shù)，表示企業(yè)m 個項目加權(quán)超期之和;m 為項目代碼;Tk為項目k 的實際完工工期;T*k 為項目k 的合同工期;l 為資源代碼;Sl為第l 種資源的可用數(shù)量;Xkij為0，i 變量，當(dāng)項目k 代碼i、j 相聯(lián)系時取1，否則取0;Ykij為項目k 活動i-j 分配第l 種資源的上限;Zkij為項目k 活動i -j分配第l 種資源的下限;TS(ki，kj)為項目k 活動i -j 的實際開始時間;TF(ki，kj)為項目k 活動i - j 的實際結(jié)束時間;R(lt)為第l 種資源在第t 天的實際使用量;Rk(lt)為項目k在第t 天使用第l 種資源的數(shù)量;Rkij(l)為項目k 活動i-j 分配第l 種資源的數(shù)量;Wki為項目k 活動i 的開始時間;Ukij為項目k 活動i-j 的工作量;Dkij為項目k 活動i -j 的持續(xù)時間;Pk為項目k 的優(yōu)先級。

2.2 基于遺傳算法的模型求解

遺傳算法是一種基于選擇機制和生物進化的隨機搜索算法，其對求解問題的限制以及本身的并行性較少，具有收斂快、通用性強以及計算簡單等優(yōu)點。同時，由于他能在整個解空間進行搜索，有利于找到最優(yōu)解，故在解決多項目資源優(yōu)化問題中得到了廣泛應(yīng)用。圖3 為基于遺傳算法的多項目管理問題求解流程。

圖3 基于遺傳算法的多項目管理問題求解流程

利用遺傳算法對模型進行求解包含如下步驟。

1)產(chǎn)生潛在初始解群體的方法。隨機選取作為一組初始解的n 個解，稱作一個種群(population)。在以資源為決策變量的多項目資源共享管理中，每個初始解均表示在分配不同資源組合的情況下，多項目所有活動的總體工期。一系列初始解構(gòu)成的解集稱為原始群體。初始解具有隨機性，如果時間允許，其可能產(chǎn)生于整個解空間之中，能更好地體現(xiàn)優(yōu)化問題所描述的生態(tài)環(huán)境。母體數(shù)N 是每一代的個體總數(shù)，為固定值，即初始解的個數(shù)。因為總計算時間會受到每一代運算量的影響，結(jié)果會受到初始解分布情況的影響，所以N對計算時間和計算結(jié)果都有影響。N 越大，所需的時間越多。根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)，合適的N 值應(yīng)該在50 左右。

在首次迭代時，初始解群體會在解空間中隨機產(chǎn)生，此時應(yīng)設(shè)置進化代數(shù)f 為1;否則，應(yīng)當(dāng)操作遺傳算子產(chǎn)生一些新個體，并從記憶庫中提取Nm個最優(yōu)個體來組成新一代群體，并將進化代數(shù)t 增加1。

2)染色體編碼方式的確定。使用遺傳算法進行求解前，需要對目標(biāo)問題進行編碼和譯碼。由遺傳算法編碼空間向問題空間的映射稱作譯碼(decoding);相應(yīng)地，由問題空間向遺傳算法編碼空間的映射稱作編碼(encoding)。編碼很大程度依賴于問題的性質(zhì)，是遺傳算法的關(guān)鍵步驟，其好壞對遺傳操作的設(shè)計效果有直接影響。在進行編碼時，必須對“染色體”的可行性、合法性、約束性及有效性進行考慮。

3)染色體的Lamarkian 特性。染色體的Lamarkian 特性是指染色體的優(yōu)點(merit)是否可以通過遺傳操作傳到后代種群的一種特性。如果通過遺傳操作后代可以有效繼承父代的優(yōu)點，編碼便具有Lamarkian 特性;反之，編碼便不具有Lamarkian 特性。

4)解碼的復(fù)雜性。不同的編碼方案所帶來的解碼復(fù)雜程度不同，由于個體經(jīng)過遺傳操作后，必須通過解碼才能確定其適應(yīng)值，因此解碼的復(fù)雜性也是需考慮的一個因素。

5)編碼的空間特性。這里希望得到僅含可行解的搜索空間，因此編碼時需要考慮碼所表征空間的冗余性、完全性和可行性。

6)存儲的需求。編碼可以分為二進制編碼和非二進制編碼兩大類，編碼方法的選取與實際問題密切相關(guān)。二進制編碼將問題空間的參數(shù)表示為字符集{0，1}構(gòu)成的位串，具有域的獨立性，對處理的所有問題非常簡潔、一致。然而，其對于許多問題的處理又不自然，此時便要用到非二進制編碼。

本文考慮問題的具體要求，采用非二進制編碼。結(jié)合上述分析，選取活動分配的資源數(shù)量作為染色體基因值，按照活動編號順序?qū)⑺谢顒优帕谐? 行，組成1 個染色體串。圖4 為染色體結(jié)構(gòu)。圖1 中，Rkij(l)表示第k 個項目活動i→j 分配第l 種資源的數(shù)量

圖4 染色體結(jié)構(gòu)

與傳統(tǒng)二進制編碼相比，這種染色體編碼方式具有如下優(yōu)點:①串行進度安排方案的特點在圖4 所示的表示方法中得到了巧妙利用，使得解碼和編碼過程算法基本保持一致，讓工作變得比較簡單;②定做的遺傳算子的存在能滿足編碼方案的要求，又避免了后代染色體在二進制編碼方案中出現(xiàn)。

3 資源作為決策變量的多項目資源共享方法應(yīng)用

以某航空研究所為例，在研究所內(nèi)部由于多項目資源共享牽涉到眾多部門，通過對具有相似功能的資源進行歸類，調(diào)整后的研究所成為了一個資源平臺。同時，研究所通過對相似項目進行整合，形成了項目成組管理模式，非常有利于資源效用最大限度地發(fā)揮。此外，資源在研究室內(nèi)部也由若干項目組成一個小組，若干組項目便對應(yīng)著研究室的多個小組。以某成組項目為例來介紹多項目資源共享以資源為決策變量的方法實施程序。在與關(guān)鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)進行比較的基礎(chǔ)上，驗證了以資源為決策變量的多項目資源共享方法的有效性。

3.1 背景分析

假設(shè)研究所現(xiàn)在面臨甲、乙、丙3 個項目。項目按重要程度和緊急程度依次為項目甲、項目乙、項目丙，工期分別為50、60、70 d，每個項目均包含光學(xué)設(shè)計、結(jié)構(gòu)設(shè)計、系統(tǒng)設(shè)計、視頻電子集成、制造、控制系統(tǒng)設(shè)計、裝配調(diào)控檢測以及空間環(huán)境模擬等8 項任務(wù)。圖5 為項目雙代號網(wǎng)絡(luò)圖。

圖5 項目雙代號網(wǎng)絡(luò)圖

由于研究所資源有限，若項目甲、項目乙和項目丙同時進行，則資源沖突將不可避免。因此，明確每項任務(wù)的基礎(chǔ)之后，辨別出瓶頸資源是首要任務(wù)。即必須弄清制約多項目各活動的資源因素，進而確定每個時間段內(nèi)每項活動的資源分配數(shù)量。

1)對每項活動需要使用的資源數(shù)量進行明確。巧婦難為無米之炊，資源的支撐完成活動的基礎(chǔ)，活動的持續(xù)時間取決于資源搭配的合理程度及分配的數(shù)量。

2)通過分析活動需要使用的資源，對關(guān)鍵資源予以確定。在對每項活動需要使用的資源數(shù)量進行明確的基礎(chǔ)上，需要對每項活動的關(guān)鍵資源進行確定，同時對各項活動所需的資源進行分析。

3)對活動工作量進行明確。由于資源分配數(shù)量與活動持續(xù)時間成反比關(guān)系，活動工作量與活動持續(xù)時間成正比關(guān)系，故必須根據(jù)模型需要對各活動的工作量進行確定。對活動工作量進行確定可采用專家判斷法，通過與以往相似項目歷史信息進行類比實現(xiàn)。表1 所示為活動信息。

表1 活動信息

3.2 資源作為決策變量的多項目管理方法應(yīng)用研究

運用前述多項目資源共享以資源為決策變量的方法，根據(jù)表1 給定的約束條件和相關(guān)數(shù)據(jù)，可通過求解得到分配給各活動的具體資源數(shù)量，詳細信息見表2。

在此基礎(chǔ)上，假定項目每天均是工作日，并且甲的第1個活動從一已知時間開始，就能得到每個活動分配的資源以及開始、持續(xù)和結(jié)束時間。

3.3 關(guān)鍵鏈多項目管理方法應(yīng)用研究

依照前文給定的約束條件，可運用關(guān)鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)，采用最快完成時間，求解得到每個項目活動的開始時間、結(jié)束時間以及資源在各活動間的分配情況，見表3。

表2 多項目各活動分配資源數(shù)量

表3 各項目活動分配資源數(shù)量

為了能與本文所述方法一致，同樣假定項目每天均是工作日，并且甲的第1 個活動從一已知時間開始，就能夠得到每個活動分配的資源及開始、持續(xù)和結(jié)束時間。

3.4 數(shù)據(jù)對比及原因分析

提取2 種方法求解得出的計算工期，通過將合同工期與以上2 種方法求解得出的計算工期進行比對，不難發(fā)現(xiàn)2 種方法孰優(yōu)孰劣。本文方法與關(guān)鍵鏈多項目管理方法具體的比對結(jié)果見表4。

表4 本文方法與CCMPM 的結(jié)果對比分析

分析表4 可知:在本文所述方法下，3 個項目在合同期內(nèi)均能完成。然而，關(guān)鍵鏈在多項目管理方法下，第3 個項目將會延期4.6 個工作日，雖然能夠在規(guī)定的合同期內(nèi)完成前2 個項目，但3 個項目的整體效果不如本文的方法。比對顯示本文方法具有一定的優(yōu)勢。通過與關(guān)鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)進行實踐比較，本文方法的適應(yīng)性和先進性得到有效驗證。

下面對本文所述方法與關(guān)鍵鏈多項目管理方的優(yōu)劣進行比對分析。在關(guān)鍵鏈多項目管理方法下，企業(yè)只對活動的先后順序和資源約束等情況進行了考慮。以資源為決策變量，通過對每個活動分配的資源數(shù)量進行優(yōu)化，使得實現(xiàn)資源共享在多項目間得到了有效實施，擴大了對多項目進行優(yōu)化的范圍。通過對求解區(qū)域進行比對可知，本文方法通過假設(shè)活動分配的資源數(shù)量與活動持續(xù)時間成反比關(guān)系，每個活動的工作量確定，擴大了資源共享管理的求解區(qū)域，因此有利于找到更滿意的解。

4 結(jié)束語

當(dāng)前對多項目資源共享的研究主要集中于多項目工期的優(yōu)化，而且這一研究基于各項目持續(xù)時間和各項目所分配數(shù)量這一既定假設(shè)。本文在活動分配資源與活動時間成反比的假設(shè)下進行研究，將資源作為研究變量，通過對資源配置進行優(yōu)化來更好地實施多個項目，在此基礎(chǔ)上，建立了資源作為決策變量的多項目資源共享管理方法，給出了數(shù)學(xué)模型及算法。通過與關(guān)鍵鏈多項目管理方法(CCMPM)實際應(yīng)用結(jié)果的比對，進一步驗證了本文資源配置方法的可行性和有效性。

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