彭浩，陸松年，，趙丹丹，李生紅，，張愛新

（1.上海交通大學(xué)電子工程系，上海200240；2.上海交通大學(xué)信息安全學(xué)院，上海200240）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論在對等網(wǎng)絡(luò)特性分析中的應(yīng)用?

彭浩1，陸松年1，2，趙丹丹1，李生紅1，2，張愛新2

（1.上海交通大學(xué)電子工程系，上海200240；2.上海交通大學(xué)信息安全學(xué)院，上海200240）

基于現(xiàn)有的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，研究了對等網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜特性，并就對等網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點度和節(jié)點間平均最短路徑兩個特征參數(shù)進行算法設(shè)計和仿真。仿真結(jié)果表明，對等網(wǎng)絡(luò)中使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的特性分析理論結(jié)果與實驗結(jié)果基本一致，能準(zhǔn)確反映對等網(wǎng)絡(luò)的特性。

對等網(wǎng)絡(luò)；復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)；節(jié)點的度；最短路徑長度

1 引言

近年來對等網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用越來越廣泛，如文件和數(shù)據(jù)共享及存儲、遠程協(xié)同、并行計算等［1-2］，在這些領(lǐng)域中對等網(wǎng)絡(luò)發(fā)揮著越來越重要的作用。但是，在上述對等網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用研究中，研究的重點都集中在保證系統(tǒng)性能和安全傳輸上［3］，沒有對網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點行為進行合理分析與研究，而節(jié)點的行為特征與整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的性能密不可分。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論［4-5］作為分析復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)性能的有效工具，已經(jīng)滲透到許多實際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究與設(shè)計中。具體來說，對于現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點行為方式，使用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中的平均路徑長度、聚類系數(shù)、節(jié)點的度分布等要素，能很好地描述節(jié)點行為特征。因而，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論逐漸成為研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的重要工具。

本文利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，對對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點行為的特征進行了分析，通過這些特征參數(shù)，我們能深入了解對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點的行為，從而幫助我們優(yōu)化對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的設(shè)計，更好地發(fā)揮對等網(wǎng)絡(luò)的性能。

2 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)相關(guān)理論

2.1 節(jié)點的度

節(jié)點的度是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論中描述具體節(jié)點的很重要的一個特征參數(shù)。一般的定義，節(jié)點的度是指整個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中與該節(jié)點連接的其他節(jié)點的數(shù)目。特別地，對于有向網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)來說，節(jié)點的度還分節(jié)點的入度與節(jié)點的出度兩種類型。根據(jù)節(jié)點的度的大小能定量地反映該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的重要程度，度越大意味著該節(jié)點在網(wǎng)絡(luò)中的地位越重要。

2.2 節(jié)點間的平均路徑長度

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論里，節(jié)點間的平均路徑長度是指系統(tǒng)中任意兩個節(jié)點之間距離的平均值。盡管實際網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)模龐大，節(jié)點數(shù)目驚人，但是網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度卻小得驚人。從這個角度上看，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)是具有小世界效應(yīng)的。

2.3 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型

要很好地理解網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點行為之間的關(guān)系，就必須對網(wǎng)絡(luò)的模型進行分類研究。在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論里，描述復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的模型主要包括規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型、隨機網(wǎng)絡(luò)模型、小世界網(wǎng)絡(luò)模型與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型4種。

（1）規(guī)則網(wǎng)絡(luò)模型

最初的網(wǎng)絡(luò)模型多采用規(guī)則網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如完全規(guī)則的全局耦合網(wǎng)絡(luò)及最近鄰耦合網(wǎng)絡(luò)，前者過于稠密而后者又顯稀疏，因而不能準(zhǔn)確反映實際網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和節(jié)點行為特征。

（2）隨機網(wǎng)絡(luò)模型

隨機網(wǎng)絡(luò)起源于兩位匈牙利數(shù)學(xué)家在1960提出的ER隨機圖模型［6］，該網(wǎng)絡(luò)模型描述了從多個網(wǎng)絡(luò)節(jié)點通過相同的概率p隨機相連而形成網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的過程。后來在ER隨機圖的基礎(chǔ)上，許多學(xué)者提出了不同概率的隨機連接思想實現(xiàn)擴展的ER模型［7］。

（3）小世界網(wǎng)絡(luò)模型

現(xiàn)實生活的實際網(wǎng)絡(luò)既不是完全隨機的也不是完全規(guī)則的?？的螤柎髮W(xué)的Watts［8］等人揭示了一種小世界網(wǎng)絡(luò)模型的雛形，并且在《Nature》雜志上發(fā)表了一篇題為《小世界網(wǎng)絡(luò)的群體動力學(xué)行為》的論文，這篇論文揭示了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的小世界特性。

（4）無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型

上面的隨機網(wǎng)絡(luò)模型與小世界網(wǎng)絡(luò)模型都屬于均勻網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的分布模型可以用泊松分布來表示。所謂無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型，是指網(wǎng)絡(luò)的度分布在網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的平均值附近出現(xiàn)峰值，然后迅速出現(xiàn)衰減的一種網(wǎng)絡(luò)度分布模型。

3 對等網(wǎng)絡(luò)的特征分析

對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，各個節(jié)點地位平等，不對任何系統(tǒng)中的節(jié)點強加任何屬性，任意節(jié)點可以自由地加入或離開該對等網(wǎng)絡(luò)，這樣就給整個網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)帶來了隨機性。傳統(tǒng)上對這種類型的網(wǎng)絡(luò)進行理論建模分析時，一般采用的是隨機網(wǎng)絡(luò)模型，但是隨機網(wǎng)絡(luò)模型并不能準(zhǔn)確地描述這些網(wǎng)絡(luò)的某些特性，例如節(jié)點度的概率分布、平均最短路徑長度、網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的聚集度以及在受攻擊情況下的網(wǎng)絡(luò)分布特性等?；谏鲜鲞@些理論分析與現(xiàn)實需求，本文利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，分析對等網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點度分布以及最小路徑長度等重點特征參數(shù)。

（1）對等網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度分析

前面提到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點度的相關(guān)概念，這里我們結(jié)合對等網(wǎng)絡(luò)對等、動態(tài)、隨機的特點，可以看出，最直觀描述該網(wǎng)絡(luò)的模型就是隨機網(wǎng)絡(luò)模型和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型。因此，本節(jié)對對等網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度的描述，是以隨機網(wǎng)絡(luò)模型與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型中的度的設(shè)置進行改進得出的。

在隨機網(wǎng)絡(luò)模型中，節(jié)點之間是以一定的概率隨機連接在一起。這里我們假定對等網(wǎng)絡(luò)中有N

個節(jié)點，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部各節(jié)點之間都以一定的概率p隨機連接，并獨立于其他節(jié)點之間的聯(lián)系獨立存在。對等網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度，這里我們是指與某個節(jié)點相連接的節(jié)點的數(shù)目。令對等網(wǎng)絡(luò)中N個節(jié)點的平均度為ˉn，由于各個節(jié)點之間的聯(lián)系是獨立的，那么隨機概率p可以表示為p=ˉn／N-1，這樣在對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，節(jié)點度為n的概率可以表示如下：

由等式（1）可以看出，在N值取極值時，對等網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度呈泊松分布。在實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，許多網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的度分布有時候呈冪律分布。設(shè)置方法如下：

公式（2）是利用累積分布函數(shù)經(jīng)過改進設(shè)計得出，這樣可以消除原始冪律分布函數(shù)的消極影響，同時還保持網(wǎng)絡(luò)的冪律特性。因此，本文對對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點度的分析，主要是利用公式（2）的計算得出。在本文第四節(jié)的仿真中，我們對公式（1）和（2）反映節(jié)點度的結(jié)果分別進行比較，得出最適合對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點度的計算方法。

（2）對等網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點間平均最短路徑分析

在本文的第二節(jié)提到節(jié)點間平均路徑長度的概念，這里我們也要借鑒其中的概念。另外，這里分析對等網(wǎng)絡(luò)中的最小路徑長度，需要介紹Newman［3］等人提出的節(jié)點度分布的生成函數(shù)。

定義1：設(shè)對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中包含N個節(jié)點，則該網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點度分布的生成函數(shù)可以表示成：

式中，pn表示對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點度為n的概率，并且滿足F（1）=1。這里生成函數(shù)具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)1：在概率pn所定義的概率空間里，所有N個節(jié)點的平均度可以用定義1中的生成函數(shù)表示如下：

性質(zhì)2：對等網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點互相獨立、地位平等，那么m個節(jié)點的聯(lián)合生成函數(shù)可以用單個節(jié)點生成函數(shù)的m次冪獲得。下面，我們以兩個節(jié)點為例來具體說明該性質(zhì)：

由上面公式可以看出，xn的系數(shù)是對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中兩個節(jié)點的度之和為n的pipj之和，不難驗證，高階次的n同樣滿足性質(zhì)2，這里不進行驗證。

下面根據(jù)上述兩個性質(zhì)來計算對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中任意節(jié)點間的路徑長度。假定對等網(wǎng)絡(luò)中存在一度為n的節(jié)點，則對等網(wǎng)絡(luò)中任意節(jié)點連接到該節(jié)點的概率與該節(jié)點的度成正比。這樣，任意節(jié)點能連接到該節(jié)點的概率的生成函數(shù)可以表示如下：

對上述公式進行歸一化處理，可以得到

對于上面隨機選擇的度為n的節(jié)點，從該節(jié)點出發(fā)，可以直接達到與該節(jié)點連接的節(jié)點，然后可以向下到達下面一層連接的節(jié)點，以此類推。這樣，沿著上述任意一條路徑訪問某個節(jié)點時，與該節(jié)點連接的其他節(jié)點數(shù)的分布的生成函數(shù)可以表示如下：

由性質(zhì)2可知，對于對等網(wǎng)絡(luò)中某一特定的節(jié)點，它的第二層相連的節(jié)點（也就是與第一層節(jié)點直接相連的其他節(jié)點）總數(shù)的概率分布生成函數(shù)可以表示為

與上述公式類似，可以推算與網(wǎng)絡(luò)中某一特定的節(jié)點相連的第三層相連的節(jié)點總數(shù)的概率分布生成函數(shù)可以表示為F（F1（F1（x））），以此類推其他各層相連節(jié)點的。這樣根據(jù)公式（9）可知，與該節(jié)點第二層相連的所有節(jié)點平均度可以計算如下：

由公式（4）與公式（10）可知與對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中指定節(jié)點相連的節(jié)點以及第二層接連的節(jié)點的度的平均度。將公式（2）分別代入式（4）和式（10），假定對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點度的最大值為nmax，則有

由文獻［9］可知，對具有N個節(jié)點的冪律指數(shù)為α的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，所有節(jié)點的最大度可以表示如下：

由上述分析可知，F(xiàn)′（1）與F′（1）F′1（1）分別代表與指定節(jié)點相連的節(jié)點數(shù)量的平均度，令

以此類推第i層節(jié)點數(shù)量的平均度記作Li，可以得到

根據(jù)上述公式推導(dǎo)，下面我們來分析對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中任意兩節(jié)點的最短路徑長度。假定對等網(wǎng)絡(luò)中存在兩個節(jié)點a、b以及兩節(jié)點間的最短路徑長度s，可以看出s表示為節(jié)點a與b之間從第一層到第s層的層數(shù)，且是最短的。同時在對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，節(jié)點與節(jié)點通過各種連接與多種層次連接的節(jié)點總數(shù)（包括直接或間接連接的）為（N-1），可以得出

將公式（18）代入式（19），可以得出

對于對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)而言，節(jié)點的數(shù)量級別一般在104～105左右，因此節(jié)點的數(shù)量N?L1、L2。這樣公式（20）可以表示為

現(xiàn)在我們代入公式（14）與公式（16），可以得出對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的節(jié)點最短路徑長度：

由公式（22）可知：對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，節(jié)點間的最短路徑長度主要與這個網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的節(jié)點規(guī)模相關(guān)，對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的冪律指數(shù)不起主要作用。

4 仿真與討論

本實驗以典型的對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)Gnutella為仿真場景，通過P2Psim軟件建立Gnutella網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，分析對等網(wǎng)絡(luò)節(jié)點行為的度分布、平均路徑長度兩種特征。設(shè)每個用戶共享帶寬為5 Mbit／s，定義系統(tǒng)中擁有節(jié)點用戶數(shù)為50 000個，0≤n≤nmax（節(jié)點度大小為n的節(jié)點），s為對等網(wǎng)絡(luò)中最小路徑長度。

（1）節(jié)點度分布與節(jié)點數(shù)量的關(guān)系

根據(jù)公式（1）與公式（2）分別對應(yīng)的隨機網(wǎng)絡(luò)模型和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型對應(yīng)的節(jié)點度計算方法，分別與節(jié)點實際的度分布數(shù)據(jù)進行對比，如圖1所示，可以看出，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的度分布計算方法得出的數(shù)據(jù)更加接近實際的度分布，這與第三節(jié)的理論分析基本吻合。

圖1 節(jié)點度分布與節(jié)點數(shù)量的關(guān)系Fig.1 The relationship between the degree distribution of peers and the number of peers

（2）節(jié)點間的最短路徑分析

在本文第3節(jié)我們提到，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型更加適合用來分析對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點的行為分析，因此這里我們基于P2Psim軟件運行的數(shù)據(jù)，將實驗結(jié)果的理論數(shù)據(jù)（即公式（22）所反映的最短路徑計算方法）與實際數(shù)據(jù)通過Pajek軟件［9］進行分析，比較結(jié)果如表1所示?？梢钥闯?，我們在節(jié)點規(guī)?？刂圃?2 500、25 000、37 500、50 000分別進行分析，實際數(shù)據(jù)與無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型的最短路徑長度誤差基本控制在10%左右（這里是對所有節(jié)點最短路徑取了平均值，因此精確到小數(shù)點后3位）；由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的小世界特性，最短路徑長度一般不會超過7，因此誤差在10%完全可以忽略。同時我們可以看到，理論分析數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)存在一定的差異性。產(chǎn)生該差異的原因主要包括兩點：首先，是我們在進行理論分析的過程中，為了討論的連續(xù)性，對數(shù)據(jù)進行了近似處理，如公式（14）和公式（21）的近似處理；其次，我們在實際數(shù)據(jù)收集的過程中，存在許多不確定因素，如仿真環(huán)境、網(wǎng)絡(luò)帶寬、仿真主機的數(shù)據(jù)處理能力等。上述兩點因素的相互影響，分別對理論數(shù)據(jù)和實際數(shù)據(jù)產(chǎn)生了一定的影響，就對等網(wǎng)絡(luò)仿真實驗的結(jié)果而言，誤差范圍控制在±15%內(nèi)都可以接受，顯然這里的數(shù)據(jù)對比結(jié)果完全可以滿足仿真實驗的要求。因此，本文第三節(jié)給出的對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中節(jié)點間最短路徑的理論分析具有一定的正確性和合理性。

表1 實驗數(shù)據(jù)與模型數(shù)據(jù)比較Table 1 Comparison between experimental data and model data

5 結(jié)論

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論，對對等網(wǎng)絡(luò)中網(wǎng)絡(luò)行為的特征進行了深入分析。這些特征主要包括節(jié)點的度、平均路徑長度等衡量參數(shù)，這些參數(shù)作為對等網(wǎng)絡(luò)的重要特征量，直接關(guān)系到諸如對等網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)路由、拓撲結(jié)構(gòu)等性能的優(yōu)化和改進。實驗結(jié)果表明，本文給出的特征分析結(jié)果具有一定的合理性，能很好地體現(xiàn)對等網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點行為特征。然而，對于類似P2P網(wǎng)絡(luò)這樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，還需結(jié)合具體的網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)進行特征分析，從而豐富本文的理論，更好地描述對等網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點行為特征，這將是下一步的研究重點。

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PENG Hao was born in Taixing，Jiangsu Province，in 1982.He received the M.S.degree in 2007.He is currently working toward the Ph.D.degree.His research concerns network security，computer communication networks.

Email：penghao2007＠sjtu.edu.cn

陸松年（1947—），男，上海人，1982年獲學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為計算機通信網(wǎng)、信息保密與安全；

LU Song-nian was born in Shanghai，in 1947.He received the B.S.degree in 1982.He isnow a professor and also the Ph.D. supervisor.His research concerns computer communication networks，information secracy and security.

Email：snlu＠sjtu.edu.cn

趙丹丹（1981—），女，浙江臺州人，2007年獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為信息安全、視頻編解碼技術(shù)；

ZHAO Dan-dan was born in Taizhou，Zhejiang Province，in 1981.She received the M.S.degree in 2007.She is currently working toward the Ph.D.degree.Her research concerns information security and video codec technology.

Email：zhaodandan＠sjtu.edu.cn

李生紅（1971—），男，遼寧葫蘆島人，1999年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為教授、博士生導(dǎo)師，主要研究方向為信息安全、信號與信息處理；

LISheng-hong was born in Huludao，Liaoning Province，in 1971.He received the Ph.D.degree in 1999.He is now a professor and also the Ph.D.supervisor.His research concerns information security，signal and information processing.

Email：shli＠sjtu.edu.cn

張愛新（1973—），女，上海人，2003年獲博士學(xué)位，現(xiàn)為副研究員、碩士生導(dǎo)師，主要研究方向為信息安全、密碼協(xié)議、多媒體信息處理及內(nèi)容安全。

ZHANG Ai-xin was born in Shanghai，in 1973.She received the Ph.D.degree in 2003.She is now an associate research fellow and also the instructor of graduate students.Her research concerns information security，cryptographic protocols，multimedia information processing，and content security.

Email：axzhang＠sjtu.edu.cn

Application of Com plex Network Theory in Characteristics Analysis of Peer to Peer Networks

PENGHao1，LU Song-nian1，2，ZHAO Dan-dan1，LISheng-hong1，2，ZHANGAi-xin2
（1.Department of Electronic Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai200240，China；2.School of Information Security，Shanghai Jiaotong University，Shanghai200240，China）

According to the existing complex network theory，the complexity characteristics of peer to peer network are studied and then the achievement algorithm of two characteristic parameters including the degree of peers and the average shortest path between peers is designed and simulated.Simulation results show that the theoretical results using the analysis of the characteristics of the complex network theory are basically consistent with the experimental data results and the theoretical results can accurately reflect the characteristics of peer to peer network.

P2P（Peer to Peer networks）；complex network；the degree of a peer；the shortest path length

The National Program on key Basic Research Project（973 Program）（2010CB731403／2010CB731406）；The National Natural Science Foundation of China（No.61071152／61171173）

TP393.01

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.04.030

彭浩（1982—），男，江蘇泰興人，2007年獲碩士學(xué)位，現(xiàn)為博士研究生，主要研究方向為網(wǎng)絡(luò)安全、計算機通信網(wǎng)；

1001-893X（2012）04-0571-05

2011-12-20；

2012-03-13

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展規(guī)劃（973計劃）項目（2010CB731403／2010CB731406）；國家自然科學(xué)基金資助項目（61071152／61171173）