蔣俊華 ，蔣代楊，汪閩，汪偉

(1.天津市測繪院，天津 300381;2.天津市勘察院，天津 300191)

1 引言

對于單頻大采樣率載波相位數(shù)據(jù)，很多因素造成的誤差足以讓小周跳湮沒在噪聲中難以探測。并且，在很多情況下，噪聲也不是高斯白噪聲。基于這種考慮，結(jié)合周跳產(chǎn)生的規(guī)律，用星間－歷元間的兩次差分和小波多尺度分析的方法，來探測周跳，并利用小波變換的最細(xì)的兩個(gè)尺度層形成空間屏蔽濾波器，對小波探測后的數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪，使得周跳點(diǎn)得以顯露。大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:對大采樣率的單頻載波相位數(shù)據(jù)，用這種方法可以準(zhǔn)確的探測到2周以上的周跳，對完全湮沒在噪聲中的一周左右的小周跳，該方法不具備優(yōu)勢。但通過設(shè)置軟閾值利用小波變換對信號做平滑降噪處理，從而認(rèn)為近似處理掉了一周左右的小周跳。

2 數(shù)學(xué)方法與模型

2.1 小波基礎(chǔ)

如果:φ(t)∈L2(R)，且滿足

通過該變換，可以把時(shí)域信號f(x)展開成若干描述子頻帶的時(shí)域分量之和［1］。對小波函數(shù)，用二進(jìn)的方法對其離散化，可以得到:

用該小波基采用Mallat快速算法對等采樣率的離散載波相位數(shù)據(jù)進(jìn)行離散小波變換。小波函數(shù)采用正交的、具有近似對稱性的、緊支集長度為2的 Daubechies小波。采用該小波的原因是:連續(xù)歷元二次差前有周跳的數(shù)據(jù)點(diǎn)是關(guān)于突變中心奇對稱的，選擇具有近似中心奇對稱的db2小波，經(jīng)小波變換后，可以得到局部范圍中心偶對稱的極值點(diǎn)，根據(jù)該極值點(diǎn)，可以檢測到周跳所在。

2.2 Mallat快速算法

建立在多分辨率分析(Multi－Resolution Analysis)基礎(chǔ)上的金字塔式離散小波分解過程可以描述為:

其中，n=1，2，…N －1，(N 為采樣點(diǎn)數(shù))，j為小波分解層數(shù)，hk－2n，gk－2n分別為分解的權(quán)系數(shù)。

2.3 空間屏蔽濾波器

空間屏蔽是用Daubechies小波變換的兩個(gè)最大尺度j和j+1的細(xì)節(jié)系數(shù)對應(yīng)相乘，即:

其中，F(xiàn)(x)是空間濾波器系數(shù)，Dj(x)和Dj+1(2x)分別為第j和j+1層細(xì)節(jié)對應(yīng)的分解參數(shù)。噪聲在兩個(gè)相鄰尺度上的小波分解，可認(rèn)為是不相關(guān)的，即滿足:E［xj，xj+1］=0。而信號畸變點(diǎn)的小波變換在相鄰兩個(gè)尺度上有一致的變化趨勢，利用該特征組合成空間屏蔽濾波器可以更加突現(xiàn)畸變點(diǎn)而削弱噪聲。畸變點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)與小波變換在該點(diǎn)的極大值關(guān)系為［7，8］:

其中，j是變換尺度，K是與尺度函數(shù)相關(guān)的常量，a是Lipchitz指數(shù)。對二次差后的載波相位數(shù)據(jù)，其Lipschitz指數(shù)a＞0，所以，隨著小波變換尺度的增加，畸變點(diǎn)的最大值隨著增加。相鄰兩個(gè)尺度的小波變換細(xì)節(jié)系數(shù)構(gòu)成的空間屏蔽濾波器可以削弱噪聲，突現(xiàn)畸變點(diǎn)。

2.4 探測原理

根據(jù)單頻星間－歷元間的二次差，我們知道，在沒有噪聲干擾和周跳發(fā)生的情況下，在連續(xù)歷元時(shí)間間隔內(nèi)，衛(wèi)地距的變化加速度是緩慢的、其曲線一階導(dǎo)數(shù)是平滑的［5］;而星間－歷元間的二次差可以消除接收機(jī)鐘差的影響，從而使得由于接收機(jī)鐘差對周跳的影響消除，經(jīng)歷元間求差后可以削弱大氣影響。如果把周跳看做是信號瞬間能量，那么，星間－歷元間的二次差相當(dāng)于提高了信噪比。用緊支集長度為2的Daubechies小波對二次差后離散數(shù)據(jù)進(jìn)行多尺度的時(shí)—頻局部化分析，結(jié)合Mallat離散小波的快速算法，檢測出周跳的具體位置。因?yàn)榘自肼暤男〔ǚ纸庠谳^細(xì)尺度層上是均勻稠密且相關(guān)性很差，所以用第j層和第j+1層的db2小波分析的細(xì)節(jié)系數(shù)構(gòu)成空間屏蔽濾波器，對db2小波分析的高頻細(xì)節(jié)部分做濾波處理，進(jìn)一步削弱噪聲的影響，讓周跳位置更清晰的顯露。

3 算例及分析

人為模擬周跳:用事先準(zhǔn)備好的、采樣率為30 s的、沒有周跳的某型號單頻GPS接收機(jī)實(shí)測的16#、31#衛(wèi)星數(shù)據(jù)作星間－歷元間雙差，并人為在星間單差的第50、150、350 個(gè)歷元處分別加入 1、2、2 周周跳(表1)，經(jīng)過歷元間雙差(圖1)，后用db2小波5個(gè)尺度層進(jìn)行探測，探測結(jié)果如圖2所示，db2探測結(jié)果的高頻系數(shù)經(jīng)小波變換的最高層跟次高層組成的空間屏蔽濾波器后的效果如圖3所示。

增加周跳前后的數(shù)據(jù)列表表1

圖1 星間－歷元間二次差結(jié)果

圖2 經(jīng)db2小波探測周跳結(jié)果

圖3 經(jīng)空間濾波器后的周跳結(jié)果

從圖2可以看出，對采樣率為30 s的單頻含周跳數(shù)據(jù)做db2小波變換后，2周的周跳結(jié)果探測比較明顯(圖2第150、第350歷元處)。對1周的周跳，在該點(diǎn)噪聲很小的情況下可以顯現(xiàn)(圖2第50歷元處)。經(jīng)過空間屏蔽濾波器后，由圖3可見:噪聲明顯降低了很多，2周周跳點(diǎn)的位置十分突出;但對1周的周跳，如果在該點(diǎn)的噪聲很小的情況下，就可以探測到。但對小采樣率的數(shù)據(jù)(小于5 s)來說，在一個(gè)歷元間隔內(nèi)，相位數(shù)據(jù)受到加性噪聲的干擾要比大采樣率的數(shù)據(jù)小，故對小采樣率的單頻數(shù)據(jù)來說，用該方法對1周左右的周跳是容易探測到的。

4 小波探測周跳的關(guān)鍵技術(shù)

一般地，對單頻大采樣率載波相位數(shù)據(jù)，其本身受到噪聲污染的因素很多(比如接收機(jī)鐘差，衛(wèi)星鐘差，大氣影響等)，而且很難消除。用星間－歷元間的二次差分結(jié)合多尺度小波分析的方法可以準(zhǔn)確探測到2周的周跳。其技術(shù)關(guān)鍵在于:在處理高頻數(shù)據(jù)時(shí)，結(jié)合高斯白噪聲經(jīng)過多層多尺度小波分析后幅度(能量)以約 2－1/2倍速快速衰減的特性［1，8，9］，把相鄰兩個(gè)細(xì)尺度層上的小波變換對應(yīng)相乘，形成空間屏蔽濾波器，用其與最細(xì)層的小波變換相乘，可以很好的消除噪聲影響，為大采樣率載波相位數(shù)據(jù)的小周跳探測創(chuàng)造了條件。

5 結(jié)論

本文對大采樣率單頻GPS載波相位數(shù)據(jù)的周跳的探測做了探討:對觀測數(shù)據(jù)做星間－歷元間二次差分，對差分后的序列做db2小波分析，并經(jīng)過由db2小波分析的最細(xì)兩個(gè)尺度組成的空間屏蔽濾波器濾波后，可以準(zhǔn)確探測到2周以上的周跳，但對1周的周跳探測效果不十分明顯。該方法與高次差法探測周跳的主要區(qū)別是:該方法充分利用了白噪聲隨小波變換尺度的增加快速衰減的特性探測到信號突變點(diǎn)，而高次差法只是在歷元間求差，其不能削弱白噪聲的影響，因此，高次差法不能探測到小的周跳。

對1周左右的周跳，如果采取小波變換后通過設(shè)置軟閾值的方法對數(shù)據(jù)濾波，在抑制噪聲的同時(shí)，可以認(rèn)為在一定程度上對1周的周跳進(jìn)行了修復(fù)，這是對后期工作的展望，不在本文討論之內(nèi)。

［1］徐長發(fā)，李國寬.實(shí)用小波方法(第二版)［M］.武漢:華中科技大學(xué)出版社，2005，98 ～119.

［2］陳煒，馮玉光.一種基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障診斷方法［J］.電子工程師，2005，31(8):67～70.

［3］郭際明.GPS與GLONASS組合測量及變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理研究［D］.武漢大學(xué)博士論文，2001.

［4］潘洋宇，李東波，童一飛.基于小波技術(shù)的數(shù)據(jù)降噪［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2006，23(1):31 ～32.

［5］蔣東方，陳明.一種實(shí)時(shí)小波降噪算法［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2004，25(6):781 ～783.

［6］趙軍祥.基于小波變換的GPS載波相位周跳檢測與修復(fù)［J］.飛行器測控學(xué)報(bào)，2006，25(1):6 ～9.

［7］張文愛，寧愛平.混沌背景下基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的弱信號檢測［J］.太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，37(3):281～238.

［8］劉濤，曾祥利，曾軍.實(shí)用小波分析入門［M］.北京.國防工業(yè)出版社，2006，132 ～151.

［9］Ingrid Daubechies.Ten lectures on wavelets［M］.Philadelphia:Society for Industrial and Applied Mathematics，1992，chapter3－chapter5