高紅友，于少鵬，姜 宇

（1.船舶重工集團(tuán)723所，揚(yáng)州225001，2.天津大學(xué)仁愛(ài)學(xué)院，天津301636，3.哈爾濱工程大學(xué)，哈爾濱150001）

0 引 言

微帶天線是由導(dǎo)電介質(zhì)薄片粘貼在導(dǎo)體接地板背面介質(zhì)基片上形成的天線，具有重量輕、成本低、平面設(shè)計(jì)、可以與集成電路兼容等優(yōu)點(diǎn)，目前各式各樣的微帶天線被工程人員設(shè)計(jì)出來(lái)，獲得了廣泛的工程應(yīng)用［1］。為了正確設(shè)計(jì)或選擇微帶天線，需要得到天線的電參數(shù)，而根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)對(duì)其進(jìn)行電磁特性分析決定著設(shè)計(jì)出天線的精確度。隨著計(jì)算電磁學(xué)的發(fā)展，目前已經(jīng)提出矩量法（MoM）、有限元法（FEM）、邊界元法（BEM）以及時(shí)域有限差分方法（FDTD）等數(shù)值方法對(duì)電磁問(wèn)題進(jìn)行求解，快速準(zhǔn)確地計(jì)算復(fù)雜微波元器件、天線輻射元及天線的數(shù)值解成為可能［2］。1966年美國(guó)學(xué)者Yee提出的FDTD由于理論成熟，倍受關(guān)注，也早已應(yīng)用到天線的分析和設(shè)計(jì)中［3－4］。本文對(duì)FDTD的計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了較詳細(xì)的推導(dǎo)，并將其應(yīng)用到微帶天線分析中。

1 FDTD基本方程

1.1 Maxwell方程

微帶天線的電磁特性分析過(guò)程本質(zhì)上是結(jié)合實(shí)際電磁參數(shù)求解Maxwell方程的過(guò)程。Maxwell旋度方程為：

式（1）和式（2）2個(gè)旋度方程式是最基本的，也是研究電磁場(chǎng)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。

將式（1）和式（2）電磁場(chǎng)矢量在直角坐標(biāo)系中可寫(xiě)成x，y，z分量，有：

式中：ε為介質(zhì)介電常數(shù)；σ為電導(dǎo)率；μ為磁導(dǎo)率；ρ為磁阻率。

這6個(gè)偏微分方程（式（3）～式（8））是研究FDTD的理論基礎(chǔ)。

1.2 FDTD基本單元

FDTD法通過(guò)微分差分的方法建立式（3）～（8）的差分方程，而建立差分方程的先決條件是構(gòu)建合理的連續(xù)變量離散化的網(wǎng)格單元體系，F(xiàn)DTD基本單元就是一個(gè)經(jīng)典的網(wǎng)格體系［5］，這為后續(xù)深入研究奠定了基礎(chǔ)，其直角坐標(biāo)系的網(wǎng)格示意圖如圖1所示。

圖1 直角坐標(biāo)系中的FDTD基本單元

從圖1可以看出E和H各分量在網(wǎng)格空間相互交叉，每個(gè)坐標(biāo)平面上的E分量由4個(gè)H分量所環(huán)繞，同時(shí)每個(gè)H分量也由4個(gè)E分量所環(huán)繞，電磁相互交換。

1.3 FDTD差分方程

FDTD基本單元利用矩形網(wǎng)格進(jìn)行空間離散，在一個(gè)FDTD網(wǎng)格單元中首先對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)編號(hào)處理，節(jié)點(diǎn)的編號(hào)和空間坐標(biāo)位置點(diǎn)有下列關(guān)系：

則該點(diǎn)的函數(shù)式F（x，y，z，t）在時(shí)刻nΔt的值可寫(xiě)為：

式中：Δx，Δy，Δz分別為x，y，z方向空間步長(zhǎng)；Δt為時(shí)間步長(zhǎng)。

采用差分式代替對(duì)時(shí)間和空間的微分，即：

按照式（11）和式（12）的形式，式（3）～式（8）可化為FDTD差分方程，以式（5）和式（8）為例得到差分式（13）和（14），其他公式的差分格式可類似寫(xiě)出：

2 FDTD建模及結(jié)果分析

下面以微帶天線為例進(jìn)行FDTD建模分析，微帶天線輻射單元尺寸為25.15mm×16.3mm，基板材料為聚四氟乙烯纖維板，其相對(duì)介電常數(shù)εr＝2.33，基板厚度為0.787mm，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 微帶天線結(jié)構(gòu)示意圖

利用Matlab軟件編寫(xiě)FDTD程序完成計(jì)算，具體FDTD建模步驟如下：

（1）確定空間步長(zhǎng)，采用等長(zhǎng)空間步長(zhǎng)設(shè)置，網(wǎng)格細(xì)化 Δx＝0.465mm、Δy＝0.359mm，Δz＝0.202mm，整個(gè)微帶天線空間為100Δx×60Δy×26Δz，將空間步長(zhǎng)代入時(shí)間步長(zhǎng)必須滿足Courant穩(wěn)定性條件的計(jì)算公式，得到Δt＝0.548 8ps；

（2）設(shè)置吸收邊界，這里設(shè)置10層，在FDTD計(jì)算空間截止邊界區(qū)域設(shè)置；

（3）設(shè)置激勵(lì)源，采用高斯脈沖形式，激勵(lì)源的激勵(lì)位置在（0，30，0）處。

得到時(shí)間步長(zhǎng)為100，500，1 000，2 000時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度分布，如圖3所示。

圖3 不同時(shí)刻微帶天線的電場(chǎng)分布

由電場(chǎng)強(qiáng)度分布得到微帶天線輸入端反射波和入射波曲線，從圖4中可見(jiàn)由于吸收邊界不可能完全吸收，還存在一定的反射，產(chǎn)生誤差，隨著計(jì)算時(shí)間的增加，反射波逐漸衰減，影響計(jì)算精度有限，再經(jīng)過(guò)FFT變換得到反射系數(shù)S11變化曲線，如圖5所示。FDTD計(jì)算結(jié)果與電磁仿真軟件XFDTD比較，兩者數(shù)據(jù)比較吻合，滿足計(jì)算精度。

3 結(jié)束語(yǔ)

微帶天線是現(xiàn)代微波技術(shù)在天線領(lǐng)域的重要應(yīng)用，已廣泛應(yīng)用在電子、雷達(dá)、導(dǎo)航以及無(wú)線電設(shè)備上。為了正確設(shè)計(jì)微帶天線，需了解天線的電性能參數(shù)，用數(shù)值方法對(duì)微帶天線進(jìn)行分析，精確度高，可以大大降低天線設(shè)計(jì)時(shí)間。

圖4 天線輸入端入射波和反射波

圖5 天線反射系數(shù)S11

本文介紹常用的時(shí)域有限差分方法分析微帶天線，導(dǎo)出FDTD的計(jì)算過(guò)程，總結(jié)出FDTD分析問(wèn)題的一般步驟，最后，又用FDTD分析了一款微帶天線，得出不同時(shí)刻天線的電場(chǎng)分布和天線回波損耗S11，數(shù)值結(jié)果和仿真結(jié)果比較吻合，可以看出利用FDTD分析無(wú)疑利于設(shè)計(jì)微帶天線，這對(duì)FDTD分析電磁問(wèn)題提供了一定的參考依據(jù)。

［1］鐘順時(shí).微帶天線理論與應(yīng)用［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，1991.

［2］劉波，高本慶.電磁場(chǎng)時(shí)域數(shù)值方法及其混合技術(shù)概述［J］.微波學(xué)報(bào)，2006，22（2）：1－6，25.

［3］葛德彪，閆玉波.電磁波時(shí)域有限差分方法［M］.西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2005.

［4］姚廣鋒，王積勤，劉剛.采用PML的FDTD方法對(duì)矩形微帶天線的研究［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，2003（11）：36－38.

［5］Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302－307.