代金輝

(山東工商學(xué)院數(shù)學(xué)系，山東煙臺(tái) 264005)

0 引言

其中，yn×1=(y1，…，yn)是觀測(cè)值向量，Xn×p是n×p設(shè)計(jì)矩陣，β是p×1未知系數(shù)向量，f是未知非參平滑項(xiàng)，e是獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量誤差項(xiàng)，均值為0協(xié)方差矩陣為σ2V.這里σ2已知或未知均可，V為n×n非負(fù)定陣，M為已知正常數(shù).

對(duì)上述半?yún)?shù)回歸模型中的非參項(xiàng)的估計(jì)方法，主要有樣條估計(jì)、近鄰估計(jì)、小波估計(jì)，核估計(jì)等.核估計(jì)是較早且較成熟的方法，但有一定的缺陷，為此 Fan 和 Gijbels[1]，Hoover等[2]提出局部多項(xiàng)式方法擬合非參數(shù)回歸中的未知函數(shù)，能很好地彌補(bǔ)核估計(jì)的不足，同時(shí)保留了它的優(yōu)點(diǎn).筆者受此啟發(fā)，文中對(duì)非參數(shù)部分進(jìn)行局部線性擬合，對(duì)線性部分采用約束最小二乘法，構(gòu)造出的估計(jì)量具有很好的性質(zhì).

對(duì)于半?yún)⒛Ｐ驮跓o(wú)約束情形下已有了很多結(jié)果，見(jiàn)文獻(xiàn)[3～5].而參數(shù)的模長(zhǎng)受約束的情形還未得到研究，本文首先提出了范數(shù)約束問(wèn)題，并針對(duì)模型給出了參數(shù)的約束最小二乘估計(jì)，并近一步研究了該估計(jì)的一些性質(zhì)如有偏性，及協(xié)方差的單調(diào)性質(zhì).考慮帶非參平滑項(xiàng)的約束半?yún)⒒貧w模型

1 范數(shù)約束參數(shù)估計(jì)

對(duì)模型(1)，由于V＞0，故存在唯一正定對(duì)稱矩陣

(1)若S(β)的無(wú)條件極小值使得β′β≤M2，則該極小值就是所需解.

(2)若S(β)的無(wú)條件極小值使得 β′β＞M2(事實(shí)上，當(dāng)設(shè)計(jì)陣病態(tài)時(shí)，總會(huì)是這種情況)，則根據(jù)β′β≤M2知，該約束極小值必在β′β=M2處取到.即β的約束估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解下述懲罰最小二乘問(wèn)題:

則

由(4)式得到

于是

由于X′V－1X＞0，故存在正交矩陣Q，使得Q′X′V－1XQ=Λ=diag(λ1，……，λp)，其中 λi＞0，i=1，…，p由(7)式可得

可見(jiàn)，上述結(jié)果與通常的嶺估計(jì)形式比較近似，只是這里的λ不是常數(shù)，依賴于樣本，屬于自適應(yīng)非線性估計(jì).借助嶺估計(jì)的幾何意義，限定λ＞0是合理的，λ＜0可以看成范數(shù)約束平方后的增根.(若無(wú)特別說(shuō)明，都限定λ＞0)

下面給出λ的表達(dá)式.由(6)式可得

2 估計(jì)性質(zhì)

引理 設(shè)A，B均為n×n陣，并且A＞0，B＞0則A－1－(A+B)－1≥0定理1E((λ))=(I－2Λ0B－1

λ)β，其中Bλ=X′V－1X+2Λ0，Λ0=diag(λ，…，λ)，從而(λ)為β的有偏估計(jì).

證明:

E((λ))=E[(X′V－1X+2Λ0)－1X′V－1(y－f)]

=(X′V－1X+2Λ0)－1X′V－1Xβ

=(X′V－1X+2Λ0)－1[(X′V－1X+2Λ0)β－2Λ0β]=β－2Λ0(X′V－1X+2Λ0)－1β=(I－2Λ0B－1λ)β此外，易求得(λ)的協(xié)方差為即.還知在L¨owner[6]偏序意義下估計(jì)量(λ)的協(xié)方差一致優(yōu)于廣義最小二乘估計(jì)bGLSE的協(xié)方差，即Cov((λ))≤Cov(bGLSE)，事實(shí)上

因此

由上述限定λ＞0知顯然成立.

[1]Fan J，Gijbels I.Local Polo Nominal Modeling and Its Applications.London:Chapman and Hall，1996.

[2]Hoover，D.R.，Rice，J.A.，Wu，C.o.，and Yang，L.P.Nonparametric Smoothing Estimates of Time－varying Coefficient Models with Longitudinal Data.Biometrika，1998，85，809－822.

[3]Hecman，N.(1986).Spline Smoothing in a Partly Linear Model Journal of Royal Statistic Society，Series B，48，244－248.

[4]Speckman，P.(1998).Kernel Smoothing in Partial Linear Models.Journal of Royal Statistical Society，Series B，50，413－436.

[5]Engle，R.F.，Granger，C.W.J.，Rice，J.and Weiss，A.(1986).Semiparametric Estimates of the Relation between Weather and Electricity Sales.Journal of American Statistical Association，81，310－320.

[6]王松桂，賈忠貞.矩陣論中不等式[M].安徽:安徽教育出版社，1994.