孫文超 常 青 徐 勇 齊 巍

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

星間DOWRT中的相對(duì)論效應(yīng)分析與修正

孫文超 常 青 徐 勇 齊 巍

（北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京 100191）

推導(dǎo)了雙向單程測(cè)距與時(shí)間同步（DOWRT，Dual One-Way Ranging/Time Synchronization）的解耦方程，分析了空間動(dòng)態(tài)下DOWRT法的計(jì)算方法及相對(duì)論效應(yīng)在測(cè)距和時(shí)間比對(duì)中的影響，提出了帶有相對(duì)論效應(yīng)修正的DOWRT算法，最后分別仿真分析了低軌編隊(duì)飛行衛(wèi)星和導(dǎo)航星座中的距離與時(shí)間同步測(cè)量中相對(duì)論效應(yīng)引起的誤差.結(jié)果表明:衛(wèi)星間采用DOWRT測(cè)量方法時(shí)，由相對(duì)論效應(yīng)引起的低軌短基線編隊(duì)飛行衛(wèi)星間距離測(cè)量誤差為米級(jí)、時(shí)間同步誤差為亞皮秒級(jí)，而在導(dǎo)航星座測(cè)量中引起近百米級(jí)距離測(cè)量誤差和高達(dá)微秒級(jí)的時(shí)間同步誤差.因此為了實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航衛(wèi)星間高精度距離與時(shí)間同步測(cè)量，必須進(jìn)行相對(duì)論效應(yīng)修正.

雙向單程測(cè)距與時(shí)間同步;衛(wèi)星導(dǎo)航星座;星間鏈路;誤差分析;廣義相對(duì)論

衛(wèi)星編隊(duì)飛行是近年來興起并受到國內(nèi)外航天界普遍關(guān)注的一個(gè)新的研究領(lǐng)域，而編隊(duì)衛(wèi)星間的距離和時(shí)間同步測(cè)量技術(shù)是其中一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)，很多文獻(xiàn)討論了這一問題［1－5］.考慮到衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的影響，文獻(xiàn)［3］對(duì)雙向法進(jìn)行了修正，提出通過預(yù)先估計(jì)衛(wèi)星的徑向速度、星間距離實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)下衛(wèi)星距離和鐘差的精確測(cè)量.

在全球?qū)Ш蕉ㄎ幌到y(tǒng)中，星間鏈路的測(cè)量在輔助地面進(jìn)行精密定軌、增加星歷注入頻度、增強(qiáng)星座自主運(yùn)行和管理等方面起著重要作用.目前，美國GPS BLOCK-IIR衛(wèi)星已具備了星間相對(duì)測(cè)量的能力［4］，一旦有足夠的衛(wèi)星在軌，GPS星座將可以實(shí)現(xiàn)戰(zhàn)時(shí)的自主運(yùn)行，但其星間鏈路的測(cè)量技術(shù)細(xì)節(jié)卻很少公布，很多技術(shù)尚不清楚實(shí)現(xiàn)方法.所以針對(duì)導(dǎo)航星座的星間鏈路測(cè)量技術(shù)的研究與探索在建設(shè)我國全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)過程中有著重要的實(shí)際和戰(zhàn)略意義.文獻(xiàn)［5］介紹了一種導(dǎo)航衛(wèi)星動(dòng)態(tài)雙向時(shí)間同步算法，提出利用星間偽距擬合多項(xiàng)式和鐘差擬合多項(xiàng)式聯(lián)合求解高精度星間鐘差.

在大尺度空間范圍內(nèi)，以歐幾里德空間為基礎(chǔ)的經(jīng)典牛頓力學(xué)理論中時(shí)間觀測(cè)精度在10－8以內(nèi)［6］，遠(yuǎn)不能滿足現(xiàn)代高精度測(cè)量的要求，所以必須在相對(duì)論框架下考慮衛(wèi)星間距離和時(shí)間同步測(cè)量這一問題.對(duì)此國內(nèi)外鮮有文獻(xiàn)提及，本文給出了動(dòng)態(tài)下帶有相對(duì)論效應(yīng)修正的星間距離測(cè)量與時(shí)間同步的解耦方程，并仿真分析了相對(duì)論效應(yīng)對(duì)LEO（Low Earth Orbit）衛(wèi)星編隊(duì)飛行和導(dǎo)航星座中測(cè)距與時(shí)間同步測(cè)量的影響.

1 基于雙向法的DOWRT原理

基于雙向法的雙向單程測(cè)距技術(shù)DOWR（Dual One-Way Ranging）是一種非相干擴(kuò)頻測(cè)距和時(shí)間比對(duì)方法［1－2］，在這種方法中，每顆衛(wèi)星均安裝有發(fā)射機(jī)和接收機(jī)，通過偽碼和載波相位測(cè)量，各自得到觀測(cè)偽距，通過交換偽距消除多種誤差量，實(shí)現(xiàn)星間精密測(cè)距，時(shí)間同步.其基本原理可用圖1說明.

衛(wèi)星A（B）在其鐘面時(shí)刻tAt（tBt）發(fā)射測(cè)距幀信號(hào)，在tAr（tBr）時(shí)刻接收到對(duì)方衛(wèi)星測(cè)距幀信號(hào).其他參數(shù)定義為:①ρA為A衛(wèi)星接收B衛(wèi)星信號(hào)處理解算出來的偽距（基本觀測(cè)量，時(shí)間單位）;②ρB為B衛(wèi)星接收A衛(wèi)星處理解算出來的偽距（基本觀測(cè)量，時(shí)間單位）;③τAB（τBA）為測(cè)距信號(hào)在A星與B星（B星與A星）的天線相位中心之間的幾何傳輸時(shí)延;④Δt為A星與B星發(fā)射（接收）測(cè)距信號(hào)時(shí)兩星之間的鐘差;⑤τAt，τAr，τBt，τBr分別為A星發(fā)射設(shè)備和接收設(shè)備的時(shí)延與B星發(fā)射設(shè)備和接收設(shè)備的時(shí)延.分析過程中以測(cè)距信號(hào)傳播時(shí)延關(guān)系來推導(dǎo)測(cè)距衛(wèi)星天線相位中心之間的幾何距離，當(dāng)忽略各種測(cè)量誤差時(shí)，顯然有

圖1 DOWRT法的時(shí)空分析圖

如圖1b所示，由于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)，測(cè)距信號(hào)在A星與B星（B星與A星）的天線相位中心之間的幾何傳輸時(shí)延τAB（τBA）不同.R為信號(hào)發(fā)射時(shí)刻衛(wèi)星A，B天線相位中心之間的幾何距離矢量，vAlos，vBlos為衛(wèi)星A，B速度在它們幾何距離矢量上的投影，根據(jù)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)學(xué)原理有

由式（1）、式（2）可以得到經(jīng)典理論下動(dòng)態(tài)衛(wèi)星間距離與時(shí)間同步測(cè)量的解耦方程:

2 DOWRT的廣義相對(duì)論效應(yīng)與修正

經(jīng)典的牛頓理論認(rèn)為同時(shí)性是瞬時(shí)的、絕對(duì)的，亦即慣性系中不同地點(diǎn)發(fā)生的事件都可以在一個(gè)時(shí)間軸上（用一只鐘）給予記錄.但是相對(duì)論理論認(rèn)為（假設(shè)）:①光的傳播速度不滿足疊加性，光速恒定不變;②愛因斯坦同時(shí)性，即利用光信號(hào)將發(fā)生在不同地點(diǎn)的事件的時(shí)間維聯(lián)系起來［6－8］.狹義相對(duì)論解決了相互做勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系中時(shí)空度量的問題，廣義相對(duì)論解決的是在任意慣性系之間時(shí)空度量的問題.經(jīng)典理論中測(cè)量精度為10－8，不能滿足高精度測(cè)量的要求.

在廣義相對(duì)論中，時(shí)空坐標(biāo)系是由與物質(zhì)分布及引力場(chǎng)等有關(guān)的度規(guī)張量gαβ定義的，時(shí)空中四維不變弧元ds2表示如下［8］:

時(shí)空的測(cè)量與度規(guī)張量gαβ的選取有關(guān)，事實(shí)上，很難嚴(yán)格給出某一坐標(biāo)系下度規(guī)的完整表達(dá)形式.

在地心非旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下，采用1991年IAU第21次大會(huì)決議A4推薦的后牛頓精度近似下（c－2的精度對(duì)星間距離測(cè)量與時(shí)間同步而言已經(jīng)足夠）的時(shí)空度規(guī):

其中，U為地球的牛頓引力勢(shì)和太陽等外部天體的引潮力之和;δij為科羅內(nèi)克符號(hào).

測(cè)距與時(shí)間同步的基礎(chǔ)是測(cè)時(shí)，即前述問題的本質(zhì)是對(duì)時(shí)間的計(jì)量.不同地點(diǎn)的時(shí)鐘比對(duì)，除了與同時(shí)性的定義有關(guān)以外，還與信號(hào)的傳播時(shí)延有關(guān).式中的偽距觀測(cè)值ρA，ρB就是接收衛(wèi)星鐘面時(shí)tAr（tBr）與發(fā)射衛(wèi)星鐘面時(shí)tBt（tAt）的比對(duì)（求差）.

在廣義相對(duì)論框架下，形如式的通過無線電進(jìn)行時(shí)間比對(duì)（求差）的問題，必須對(duì)相對(duì)論效應(yīng)進(jìn)行修正，即

其中，δBA（δAB）是測(cè)距信號(hào)由衛(wèi)星A到衛(wèi)星B（衛(wèi)星B到衛(wèi)星A）的相對(duì)論效應(yīng)修正項(xiàng)，它們主要表現(xiàn)為引力時(shí)延.根據(jù)式（4）～式（6）且只考慮地心引力項(xiàng)，可以得出如下的表達(dá)式（皮秒量級(jí)）:

其中，RBA（RAB）表示由衛(wèi)星B指向衛(wèi)星A（衛(wèi)星A指向衛(wèi)星B）的幾何距離矢量;vA（vB）和aA（aB）分別表示衛(wèi)星A（B）在地心非旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的速度和加速度矢量;rA（rB）則表示衛(wèi)星A（B）到地心的距離值;GM為地心引力常數(shù).因?yàn)榻七^程只考慮了地心引力影響，所以只有在地球附近2×105km的范圍內(nèi)式（7）、式（8）才有效.

式（7）、式（8）中，等號(hào)右邊第1項(xiàng)，在地心地固坐標(biāo)系中表現(xiàn)為Sagnac效應(yīng)，在星間時(shí)鐘比對(duì)中影響量級(jí)為102ns;第2項(xiàng)中衛(wèi)星的加速度項(xiàng)的影響很小可以忽略.第3項(xiàng)為引力勢(shì)項(xiàng)，并且有

而且根據(jù)圖1有 RAB≈R，RBA≈－R，所以式（7）、式（8）可以近似表達(dá)為

需要說明的是，廣義相對(duì)論框架中式中的τBA，τAB稱為幾何時(shí)延，且有

這樣結(jié)合式（6）、式（10）、式（11）就可以得到動(dòng)態(tài)下進(jìn)行了相對(duì)論效應(yīng)修正（后牛頓精度下）的衛(wèi)星間測(cè)距與時(shí)間同步解耦方程:

3 數(shù)值仿真分析

文獻(xiàn)［9］給出了相對(duì)論效應(yīng)對(duì)衛(wèi)星時(shí)鐘的影響.表1中摘錄了4種衛(wèi)星的相對(duì)論效應(yīng)中影響量級(jí)較大的Sagnac效應(yīng)典型值.其中第3行給出按式（7）、式（8）中等式右邊第1項(xiàng)計(jì)算的Sagnac效應(yīng)值.可見通過式（7）、式（8）計(jì)算的Sagnac效應(yīng)值與典型值基本吻合.

表1 Sagnac效應(yīng)典型值與計(jì)算值比較

下面通過仿真對(duì)比分析LEO衛(wèi)星編隊(duì)間和導(dǎo)航星座衛(wèi)星間DOWRT法測(cè)量中的相對(duì)論效應(yīng)引起的誤差.假設(shè) LEO衛(wèi)星編隊(duì)軌道高度約240 km，基線長(zhǎng)度約370 km;導(dǎo)航星座由24顆MEO（Medium Earth Orbit）衛(wèi)星（Walker24/3/2）、3顆GEO（Geostationary Earth Orbit）衛(wèi)星和3顆IGSO（Inclined Geosynchronous Orbit）衛(wèi)星組成，其中MEO衛(wèi)星軌道高度為24126km，GEO/IGSO衛(wèi)星軌道高度35 780 km.并忽略接收機(jī)測(cè)量誤差、原子鐘變化誤差、測(cè)量設(shè)備延時(shí)誤差、天線相位中心的偏差.

圖2、圖3為L(zhǎng)EO衛(wèi)星編隊(duì)間和導(dǎo)航星座中MEO衛(wèi)星間DOWRT法中相對(duì)論效應(yīng)引起的誤差.結(jié)果表明:對(duì)低軌短基線編隊(duì)飛行的衛(wèi)星而言，相對(duì)論效應(yīng)對(duì)DOWRT法測(cè)量的影響較?。ň嚯x測(cè)量誤差為米級(jí)、時(shí)間同步誤差為亞納皮級(jí)），而在導(dǎo)航星座中MEO衛(wèi)星間的距離測(cè)量誤差為百米級(jí)、（異軌中）時(shí)間同步誤差為微秒級(jí).可見，衛(wèi)星的軌道高度和星間的相對(duì)距離決定著相對(duì)論效應(yīng)誤差的量級(jí).

圖2 LEO衛(wèi)星編隊(duì)星間測(cè)量相對(duì)論效應(yīng)誤差

圖4為導(dǎo)航星座中MEO與GEO（IGSO）衛(wèi)星測(cè)量的相對(duì)論效應(yīng)誤差分析.由圖可知，相對(duì)論效應(yīng)對(duì)不同軌道高度衛(wèi)星MEO與GEO（IGSO）衛(wèi)星間的距離測(cè)量引起百米量級(jí)的誤差，引起的時(shí)間同步測(cè)量誤差為微秒量級(jí).

圖4 導(dǎo)航星座中MEO與GEO（IGSO）衛(wèi)星間測(cè)量的相對(duì)論效應(yīng)誤差

4 結(jié)論

本文通過研究與分析相對(duì)論效應(yīng)對(duì)DOWRT法測(cè)量的影響，得到了以下結(jié)論:①相對(duì)論效應(yīng)引起的誤差與測(cè)距衛(wèi)星相對(duì)距離和在此距離方向上的速度投影有關(guān);②衛(wèi)星的軌道高度和星間相對(duì)距離決定了相對(duì)論效應(yīng)引起的誤差量級(jí);③相對(duì)論效應(yīng)對(duì)短基線LEO衛(wèi)星編隊(duì)距離測(cè)量產(chǎn)生的誤差為米級(jí)、時(shí)間同步誤差為亞皮秒級(jí)，但在導(dǎo)航星座中，相對(duì)論效應(yīng)引起的距離測(cè)量誤差為百米級(jí)、時(shí)間同步誤差為微秒級(jí).

綜上，為實(shí)現(xiàn)導(dǎo)航星座衛(wèi)星間的高精度DOWRT，必須考慮相對(duì)論效應(yīng)的影響，并按修正公式進(jìn)行解耦計(jì)算.

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Analysis and correction on relativistic effect of inter-satellites using dual one-way ranging/time synchronization

Sun Wenchao Chang Qing Xu Yong Qi Wei
（School of Electronics and Information Engineering，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

The calculation of dual one-way ranging/time synchronization（DOWRT）between dynamic satellites was analyzed.In addition，relativistic effect on ranging/time synchronization was presented.A calculation with relativistic correction of DOWRT was proposed.Measurement errors of ranging/time synchronization in low earth orbit（LEO）formation constellation and in navigation constellation caused by relativistic effect were simulated and comparatively analyzed.Simulation results demonstrate that when inter-satellite DOWRT method is adopted，ranging measurement and time synchronization errors during LEO formation flying caused by relativistic effects are in meter-scale and sub-picosecond level respectively，while in navigation constellation measurement，the corresponding errors would be in hundred-meter scale and microsecond level.As a result，relativistic correction should be included in order to realize high-precision ranging and time synchronization measurement between navigation satellites.

dual one-way ranging/time synchronization（DOWRT）;navigation constellation;inter-satellite links;error analysis;general relativity

TN 927;TN 961

A

1001-5965（2012）03-0335-05

2010-11-30;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2012-03-09 10:37

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120309.1037.017.html

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（60872062）;國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃（“863”計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2007AA12Z336，2009AA12Z313）;航天科技重點(diǎn)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（2009-06）

孫文超（1986－），男，天津人，碩士生，wenchao35092207@yahoo.com.cn.

（編 輯:婁 嘉）