張 俐 丁志耀 王延忠

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

面齒輪齒面的自適應(yīng)采樣方法

張 俐 丁志耀 王延忠

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

面齒輪齒面的數(shù)字化是齒面檢測(cè)的關(guān)鍵技術(shù)之一.針對(duì)在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上進(jìn)行的齒面采樣，提出一種根據(jù)給定精度確定采樣網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量的方法:對(duì)采樣網(wǎng)格邊界線進(jìn)行初步自適應(yīng)，利用截平面法得到初始采樣網(wǎng)格;同時(shí)根據(jù)給定的采樣網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)量，借助基于形狀的采樣算法，對(duì)初始采樣網(wǎng)格進(jìn)行迭代，生成自適應(yīng)采樣網(wǎng)格，最終實(shí)現(xiàn)面齒輪齒面數(shù)字化檢測(cè)采樣的自適應(yīng)規(guī)劃.

面齒輪齒面;采樣網(wǎng)格;自適應(yīng)

面齒輪傳動(dòng)是面齒輪與圓柱齒輪相嚙合的新型齒輪傳動(dòng)，它是采用漸開(kāi)線直齒輪刀具經(jīng)展成加工而成.目前，國(guó)外有關(guān)研究機(jī)構(gòu)已經(jīng)設(shè)計(jì)出采用面齒輪傳動(dòng)的直升機(jī)主減速器，在體積小、重量輕、承載能力高、噪聲低、可靠性高、壽命長(zhǎng)、功率分流效果良好等方面顯示了極大的優(yōu)勢(shì)，作為航空錐齒輪新的代表脫穎而出.因此，對(duì)面齒輪齒面進(jìn)行檢測(cè)，評(píng)定面齒輪的精度，顯得尤為重要.而齒面數(shù)字化（即用離散的采樣點(diǎn)提取齒面的原始形狀信息）是齒面檢測(cè)過(guò)程中的關(guān)鍵步驟.目前，在面齒輪齒面檢測(cè)過(guò)程中，為了保證測(cè)量精度，通常采用縮小測(cè)量間距的方法，這就使測(cè)量效率顯著降低，并增加了后續(xù)數(shù)據(jù)處理的工作量和難度.解決這一問(wèn)題的有效方法是實(shí)現(xiàn)檢測(cè)點(diǎn)的自適應(yīng)分布，使檢測(cè)點(diǎn)的分布隨齒面曲率的變化而變化，即曲率越大，檢測(cè)（采樣）點(diǎn)越密，反之則越疏［1］.這樣就能夠比較真實(shí)地反映齒面的幾何形狀信息.基于此，在研究基于形狀特征的已知齒面數(shù)字化基礎(chǔ)上，本文對(duì)數(shù)字化齒面的自適應(yīng)采樣方法開(kāi)展研究.

1 檢測(cè)（采樣）點(diǎn)數(shù)量的確定

確定合理的檢測(cè)點(diǎn)數(shù)在齒面的數(shù)字化過(guò)程中具有重要的作用.檢測(cè)點(diǎn)數(shù)過(guò)多不僅影響采樣效率，而且有可能導(dǎo)致計(jì)算機(jī)內(nèi)存溢出;但檢測(cè)點(diǎn)數(shù)過(guò)少，則不能精確地描述齒面的幾何特征.

目前對(duì)于檢測(cè)點(diǎn)數(shù)的確定主要集中在規(guī)則曲面上，對(duì)自由曲面的研究比較少.文獻(xiàn)［2］針對(duì)模型已知的自由曲面，對(duì)檢測(cè)點(diǎn)的確定進(jìn)行了比較詳細(xì)的研究，將影響檢測(cè)點(diǎn)數(shù)量的因素概括為2個(gè):設(shè)計(jì)時(shí)給定的公差范圍T和機(jī)床的加工能力P（一般取P=6σ）.假設(shè)加工誤差服從正態(tài)分布:ε=N（0，σ2）.并給出了檢測(cè)點(diǎn)數(shù)量的經(jīng)驗(yàn)公式:

式中，K表示工藝能力系數(shù)，它是公差范圍T和實(shí)際加工誤差（分散范圍6σ）之比，即K=T/6σ;Z1－δ表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布的1－δ分位數(shù);Zr表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布的r分位數(shù).

式（1）檢測(cè)點(diǎn)數(shù)計(jì)算公式考慮了加工設(shè)備的工藝能力、檢測(cè)的置信度和給定公差的大小，符合三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（CMM，Coordinate Measuring Machine）檢測(cè)的特點(diǎn)［3］，然而該公式未考慮曲面的面積因素，而且在K接近1時(shí)，檢測(cè)樣本將趨于無(wú)限大，因此在實(shí)際計(jì)算檢測(cè)點(diǎn)時(shí)，還須根據(jù)自由曲面面積的大小對(duì)式（1）進(jìn)行修正，以符合工程檢測(cè)的特點(diǎn).

基于此，針對(duì)面齒輪的齒面采樣網(wǎng)格的劃分，本文提出一種確定采樣點(diǎn)數(shù)量的方法，思路如下:①確定齒面檢測(cè)區(qū)域;②分別對(duì)橫縱兩邊界線上的采樣點(diǎn)進(jìn)行初步自適應(yīng)生成;③生成采樣網(wǎng)格，確定采樣點(diǎn)數(shù)量.

1.1 確定齒面檢測(cè)區(qū)域

根據(jù)AGMA（美國(guó)制造商協(xié)會(huì)）2009-B01標(biāo)準(zhǔn)，齒頂和齒根的縮進(jìn)量取為5%工作齒高（考慮到面齒輪齒根附近的過(guò)渡區(qū)，本文中將齒根縮進(jìn)量取為10%工作齒高），內(nèi)外端縮進(jìn)量取為10%齒面寬.利用4個(gè)截平面確定的齒面檢測(cè)區(qū)域如圖1所示.

圖1 齒面檢測(cè)區(qū)域確定示意圖

1.2 邊界采樣點(diǎn)初步自適應(yīng)生成

采用文獻(xiàn)［4－5］提出的基于曲面法曲率信息的算法，對(duì)圖1中AB方向邊界線及DA方向邊界線進(jìn)行采樣點(diǎn)自適應(yīng)生成.

面齒輪齒面方程［6］（工作面）如下:

圖2 采樣結(jié)果

從3種采樣結(jié)果的對(duì)比可看出:

1）當(dāng)步長(zhǎng)及反饋步長(zhǎng)相同時(shí)，給定精度越小，采樣點(diǎn)越多（更密），自適應(yīng)效果減弱;

2）當(dāng)給定精度及反饋步長(zhǎng)相同時(shí)，步長(zhǎng)越小，采樣點(diǎn)越多，自適應(yīng)效果減弱.

考慮到本文中所用面齒輪的尺寸很小，不宜使采樣點(diǎn)過(guò)密，故不推薦使用過(guò)小的精度.圖2b自適應(yīng)效果較為明顯，且采樣點(diǎn)數(shù)比較合理，故本文采用其參數(shù)值:步長(zhǎng) dθs=0.03，反饋步長(zhǎng) δ1=0.003，給定精度 ε=0.2 mm.同理，縱向的各參數(shù)取值為:步長(zhǎng) dφs=0.006，反饋步長(zhǎng) δ2=0.000 6，給定精度同為0.2 mm.

根據(jù)上述要求遍歷橫縱2個(gè)方向的邊界線，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.

圖3 邊界線自適應(yīng)計(jì)算結(jié)果示意圖

圖3可見(jiàn)，橫向邊界線取了12個(gè)采樣點(diǎn)，縱向邊界線取了8個(gè)采樣點(diǎn)，并且各采樣點(diǎn)疏密程度有隨曲率不同而變化的趨勢(shì).需要說(shuō)明的是:為避免分區(qū)域（工作面-過(guò)渡面）求采樣點(diǎn)，這里采用外端邊界線CB而不是DA進(jìn)行縱向初步自適應(yīng).

1.3 生成采樣網(wǎng)格

根據(jù)1.2節(jié)的各采樣點(diǎn)，利用與邊界截面平行的截平面去截齒面，得到的初始采樣網(wǎng)格如圖4所示.

圖4 初始采樣網(wǎng)格示意圖

由圖4可確定齒面的采樣點(diǎn)數(shù)量為96個(gè)（8×12網(wǎng)格）.圖4中右下角的4個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處于過(guò)渡面區(qū)域內(nèi)，它們的坐標(biāo)需要利用面齒輪過(guò)渡面方程［6］重新計(jì)算.

2 自適應(yīng)采樣原理與算法

在給定了采樣點(diǎn)數(shù)量之后，應(yīng)研究如何盡可能真實(shí)地反映齒面的原始形狀，即應(yīng)對(duì)齒面采樣點(diǎn)的分布規(guī)劃進(jìn)行研究.自適應(yīng)采樣方法［7］原理如下.

2.1 形狀函數(shù)

該方法將“質(zhì)心法”原理應(yīng)用到曲面自適應(yīng)采樣.如圖5所示，若質(zhì)點(diǎn)m1和m3分別位于x軸上x(chóng)1和x3處，則質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在x軸上的位置為

圖5 質(zhì)點(diǎn)系

將該原理應(yīng)用于曲面測(cè)量中，以測(cè)點(diǎn)曲率代替質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，可以得到:

式中，?i∈D，D={1，2，…，M}為物理域上采樣點(diǎn)集合;ci=（ui，vi）T為參數(shù)域上采樣點(diǎn);r（c）為反映曲面局部曲率的形狀函數(shù);Ni為采樣網(wǎng)格的鄰域.

點(diǎn)p處任一方向的法曲率kn與主曲率k1和k2滿(mǎn)足歐拉（Euler）公式:

式中，φ為該方向與主曲率k1所在方向的夾角.由于主曲率k1和k2具有幾何不變性，故將曲率測(cè)度定義為［8］

形狀函數(shù) r（c）取為［1］

2.2 算法的實(shí)現(xiàn)

將式（4）改寫(xiě)為［9］

它可以通過(guò)如下迭代算法求解:

可見(jiàn)，ci等于它的鄰域值加權(quán)之和.為充分反映迭代過(guò)程中網(wǎng)格的實(shí)時(shí)變化影響，在迭代循環(huán)過(guò)程中，ci要實(shí)時(shí)更新網(wǎng)格點(diǎn)的矢量，故式（8）改寫(xiě)成:

3 自適應(yīng)迭代實(shí)例

在對(duì)齒面網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算之前，應(yīng)先設(shè)置邊界條件.本文針對(duì)面齒輪齒面網(wǎng)格所設(shè)置的邊界條件為:網(wǎng)格的4個(gè)角點(diǎn)保持不變，邊界上的點(diǎn)只能沿所在邊界方向變化.設(shè)置邊界條件之后，需要確定鄰域形式.圖6描述了本文中所采用的鄰域形式.可見(jiàn)，邊界點(diǎn)（4個(gè)角點(diǎn)除外）采用二鄰域形式，中間點(diǎn)采用四鄰域形式.

圖6 采樣點(diǎn)的鄰域形式

根據(jù)形狀函數(shù)的定義，可求得面齒輪齒面初始網(wǎng)格各點(diǎn)（圖4）的形狀函數(shù)r（ci），見(jiàn)表1.

表1 初始網(wǎng)格點(diǎn)形狀函數(shù)r（ci）值

表1可見(jiàn)齒面的變化趨勢(shì):由右至左（內(nèi)端至外端），由上至下（齒頂至齒根），形狀函數(shù)r（ci）依次變小，即曲率依次變小.需要注意的是:曲率主要變化方向是橫向，縱向曲率變化不大.

圖7為q=0.3時(shí)齒面自適應(yīng)網(wǎng)格生成過(guò)程.

圖7 齒面自適應(yīng)網(wǎng)格的生成

可見(jiàn)，該算法具有自組織特征，采樣點(diǎn)有向曲率大的區(qū)域（右下角）逐漸靠攏的趨勢(shì)，采樣的疏密依賴(lài)于齒面曲率.采用迭代100次后的自適應(yīng)采樣網(wǎng)格（圖8），將盡可能充分地提取齒面的真實(shí)形狀信息.

圖8 迭代100次后的齒面采樣點(diǎn)網(wǎng)格

4 結(jié)論

本文針對(duì)數(shù)學(xué)模型已知的面齒輪齒面，研究了提高采樣精度和采樣效率的齒面網(wǎng)格點(diǎn)自適應(yīng)規(guī)劃方法.首先提出一種確定采樣點(diǎn)數(shù)量的方法:根據(jù)齒面法曲率信息對(duì)采樣網(wǎng)格邊界線進(jìn)行初步自適應(yīng)，生成邊界采樣點(diǎn)，之后利用截平面法得到初始采樣網(wǎng)格;在給定了采樣點(diǎn)數(shù)量之后，再根據(jù)質(zhì)心概念推導(dǎo)出基于形狀函數(shù)的采樣算法，由迭代實(shí)例表明該算法具有如下優(yōu)點(diǎn):①極強(qiáng)的自組織能力;②網(wǎng)格采樣點(diǎn)的疏密可根據(jù)齒面的曲率自行調(diào)整.基于該算法，可在給定采樣點(diǎn)數(shù)條件下較合理地提取齒面形狀信息，減小形狀的采樣失真，提高采樣效率，從而實(shí)現(xiàn)面齒輪齒面數(shù)字化檢測(cè)過(guò)程中采樣的自適應(yīng)規(guī)劃.

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Adaptive sampling method of face gear tooth surface

Zhang Li Ding Zhiyao Wang Yanzhong
（School of Mechanical Engineering and Automation，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

Digitizing of face gear tooth surface is one of the key technologies on the tooth surface measurement.Aiming at the sampling of tooth surface on CMM（coordinate measuring machine），a method to determine the quantity of the sampling mesh points according to given precision was presented.The boundary lines of sampling mesh were adapted firstly and the initial sampling mesh could be achieved by the method of cutting-planes.According to the given quantity of the sampling mesh points，there was iterative computation for the initial sampling mesh by the adaptive sampling algorithm based on the measure of curvature，and then the adaptive programming method of face gear tooth surface was developed.

face gear tooth surface;sampling mesh;adaption

TH 132.41

A

1001-5965（2012）02-0247-05

2010-09-30;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.006

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.006.html

航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目（20090451008）;國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（50875009）

張 俐（1961－），女，北京人，副教授，gracejune@buaa.edu.cn.

（編 輯:文麗芳）