李天翼 王明輝 林 濤 余文森

（四川大學(xué) 計算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

基于小波域的圖像椒鹽噪聲密度估計

李天翼 王明輝 林 濤 余文森

（四川大學(xué) 計算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

提出一種基于小波域的椒鹽噪聲密度估計方法.利用圖像信號在小波域的系數(shù)具有穩(wěn)定近似的分布，以及噪聲對小波系數(shù)影響的特點，定量地分析了含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與原始圖像的系數(shù)幅值直方圖之間的偏離程度隨噪聲密度的變化規(guī)律，揭示這種變化關(guān)系對圖像具有強的魯棒性，從而利用這種關(guān)系對噪聲進(jìn)行估計.仿真結(jié)果表明，相對于目前方法，提出算法性能更佳，能夠獲得更準(zhǔn)確的估計值和更小的估計偏差.

小波系數(shù);相關(guān)系數(shù);直方圖;椒鹽噪聲;密度估計

由于成像過程中的短暫停留而造成的椒鹽噪聲是影響圖像質(zhì)量的一種典型噪聲源.該噪聲不僅嚴(yán)重干擾人類的視覺感知，并且經(jīng)常在邊緣提取等處理中引起誤操作，因此在圖像處理之前通常要進(jìn)行椒鹽噪聲的濾除.目前已開發(fā)出多種有效的濾噪算法，如標(biāo)準(zhǔn)中值濾波、自適應(yīng)中值濾波、自適應(yīng)模糊轉(zhuǎn)換濾波、開關(guān)中值濾波、遞進(jìn)開關(guān)中值濾波、極值中值濾波、加權(quán)中值濾波、大范圍相關(guān)濾波、基于相關(guān)性權(quán)值濾波等［1－10］.而在噪聲濾除中一個基礎(chǔ)性的工作是對噪聲的估計，這是因為很多算法都依賴于噪聲的參數(shù)信息進(jìn)行處理，并且噪聲參數(shù)也有助于決策濾波的強度.對于椒鹽噪聲，唯一的參數(shù)就是反映噪聲大小的噪聲密度.

目前國內(nèi)外對于噪聲估計的報道已很多，但其中多是針對高斯噪聲的研究，而對椒鹽噪聲的估計卻鮮見報道.在這方面，國內(nèi)的張旗和曹占輝等作了有益的探索，并取得不錯的結(jié)果［11－12］.張旗等在文獻(xiàn)［11］中提出的方法是根據(jù)小波高頻子帶系數(shù)的方差與椒鹽噪聲密度有關(guān)這一特性，利用多項式擬合求取.而曹占輝等在文獻(xiàn)［12］中的方法則是利用圖像幅度譜與噪聲大小之間的變化規(guī)律進(jìn)行估計.兩種方法都在一定程度上解決了噪聲密度的估計問題，但還不能達(dá)到令人滿意的結(jié)果.文獻(xiàn)［11］方法在噪聲密度較低時估計值較好，噪聲密度偏高時較差，而文獻(xiàn)［12］方法的結(jié)果則正好相反.導(dǎo)致估計不準(zhǔn)的原因，主要還是來自于兩者所采用的依賴關(guān)系并不穩(wěn)健，因而造成較大的偏差.

為此，本文提出一種新的基于小波域的估計算法.該方法首先指出對自然圖像而言，其小波高頻子帶系數(shù)具有近似的分布，并將含噪圖像的小波系數(shù)分布與原始圖像的小波系數(shù)分布之間的偏離程度進(jìn)行量化，揭示出這種偏離與噪聲密度之間的變化規(guī)律，從而利用這種變化關(guān)系對噪聲進(jìn)行估計.這種依賴關(guān)系相對于文獻(xiàn)［11－12］中采用的關(guān)系，更能準(zhǔn)確反映噪聲大小.對大量圖像進(jìn)行計算機(jī)仿真，結(jié)果表明，本文方法能夠獲得相當(dāng)準(zhǔn)確的估計值，性能明顯優(yōu)于前面兩種算法.

1 噪聲對小波系數(shù)分布的影響

與圖像信號的強度相比，椒鹽干擾通常較大，因此在一幅圖像中，椒鹽噪聲通常數(shù)字化為圖像灰度的極值.在8 bit圖像中就是0和255，分別代表胡椒和鹽粒噪聲，一般情況下認(rèn)為胡椒和鹽粒所占比重相等.這樣，假定一幅數(shù)字圖像椒鹽噪聲的密度為d，可以為噪聲建立如下的數(shù)學(xué)模型:

式中，f（x，y）和g（x，y）分別表示原始圖像和含噪圖像中像素點（x，y）的灰度值;P（x）表示取值為x的概率.如果圖像像素數(shù)為N，意味著圖像中有N×d個像素點被污染了.

1.1 自然圖像的小波系數(shù)分布

小波是近年迅速發(fā)展起來的一門新興技術(shù)，廣泛應(yīng)用于圖像處理的各個領(lǐng)域.通過一步小波變換，1幅圖像被分解成4幅子圖像，即近似子帶（LL）、水平細(xì)節(jié)子帶（LH）、垂直細(xì)節(jié)子帶（HL）和對角細(xì)節(jié)子帶（HH）.其中LL子帶由圖像與式（2）的二維尺度函數(shù)作內(nèi)積生成:

而其它3個細(xì)節(jié)子帶由圖像與式（3）～式（5）的二維小波函數(shù)作內(nèi)積生成:

變換過程可以迭代執(zhí)行若干次，每次都是在上一尺度的近似子帶上作分解而實現(xiàn).圖1示出了對一幅圖像的二步小波分解.

圖1 圖像的小波分解示意圖

對圖像信號而言，其在高頻子帶中的小波系數(shù)具有稀疏性的特點，即大部分系數(shù)的幅值接近于或等于零，只有少數(shù)系數(shù)的幅值較大，這從圖1的各個細(xì)節(jié)子帶可以清楚地看出.Mallat在文獻(xiàn)［13－14］中提出一種廣義高斯模型（GGD，Generalized Gaussian Distribution）來描述這種分布特征:

為直觀地描繪小波系數(shù)的這種分布，本文以Cameraman（256×256像素）和 Lena（256×256像素）2幅圖像為例，對它們的對角子帶系數(shù)取絕對值，然后作出相應(yīng)的直方圖.原圖及對應(yīng)的直方圖如圖2和圖3所示.由于小波系數(shù)正值和負(fù)值呈近似對稱的分布，所以圖中的直方圖并未丟失負(fù)值部分的信息.

由圖2和圖3可以看出，2幅圖像雖然不同，

圖2 Cameraman圖像的小波系數(shù)分布

圖3 Lena圖像的小波系數(shù)分布

但由它們生成的對角子帶系數(shù)幅值的直方圖卻非常近似.對大量其它圖像處理，也生成近似的直方圖.當(dāng)然圖像大小不同，縱軸的系數(shù)個數(shù)會不同，但所占總系數(shù)個數(shù)的百分比卻近似相同.這表明，圖像經(jīng)過小波變換，其高頻對角子帶中的系數(shù)幅值的直方圖對圖像具有較強的魯棒性，隨具體圖像變化較小.于是該直方圖可以作為一種通用的特征用于任何圖像的計算處理中.為得到魯棒性更強的結(jié)果，本文采用200幅自然圖像（包括一些標(biāo)準(zhǔn)測試圖），對這些圖像的直方圖進(jìn)行統(tǒng)計平均，統(tǒng)計結(jié)果稱為標(biāo)準(zhǔn)直方圖，其數(shù)據(jù)列在表1中.在計算每一圖像的系數(shù)幅值直方圖時，根據(jù)其小波系數(shù)可能的幅值范圍（例如對8 bit表示，就是0～255），將其均分為6個區(qū)間，各區(qū)間數(shù)據(jù)代表的是該區(qū)間系數(shù)個數(shù)占總個數(shù)的比例.

表1 標(biāo)準(zhǔn)直方圖數(shù)據(jù)

1.2 噪聲對小波系數(shù)幅值直方圖的影響

對一幅原始圖像（不含噪聲的自然圖像）施加椒鹽噪聲，該圖像就被污染，成為了含噪圖像.一幅含噪圖像包含若干噪聲點，對于椒鹽噪聲，這些點以灰度極值的形式存在，反映在視覺中就是黑點和白點.引入的噪聲點不是圖像本身的有機(jī)組成成分，與其周圍原始圖像本身的像素點通常具有較高的灰度梯度.小波變換的特點是對圖像平緩的區(qū)域生成接近于零的系數(shù)，而對灰度急劇變化的部分（如邊緣）生成幅值較大的系數(shù).由于噪聲點與鄰域像素間的灰度差較大，因此相對于原始圖像，含噪圖像的小波系數(shù)中具有較高幅值的系數(shù)比例應(yīng)該較大，而小幅值（或接近于零）的系數(shù)比例應(yīng)較小，反映在系數(shù)幅值直方圖上，也就是原始圖像和含噪圖像的對應(yīng)直方圖應(yīng)有一定程度的偏離.隨著噪聲密度的增加，噪聲點越來越多，那么這種偏離度應(yīng)該越來越大.為驗證這一推斷，本文對大量圖像施加不同密度的椒鹽噪聲，作出相應(yīng)的系數(shù)幅值直方圖，結(jié)果表明了這一推斷的正確性.這里以Lena圖像為例，其各含噪圖像及對應(yīng)的系數(shù)幅值直方圖顯示在圖4中.

圖4 Lena含噪圖像及對應(yīng)的系數(shù)幅值直方圖

圖4直觀地顯示出了隨著噪聲密度的增大，含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與原始圖像的系數(shù)幅值直方圖（或者說與標(biāo)準(zhǔn)直方圖）的偏離度越來越大.這一關(guān)系對其它圖像也成立，并且這種偏離對噪聲密度非常敏感.例如5%和10%的噪聲差別并不太大，但兩者的直方圖就出現(xiàn)了較大的偏差.這說明含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的偏離度適合用于對噪聲密度的估計.為此，需要對這種偏離程度進(jìn)行量化.令標(biāo)準(zhǔn)直方圖的數(shù)據(jù)為hstd（1∶H），其中H是計算直方圖時所統(tǒng)計的區(qū)間數(shù)，反映在hstd中就是所得一維向量的長度.同樣令含噪圖像直方圖的數(shù)據(jù)為hnoise（1∶H），長度與hstd相等，表示在計算直方圖時采用同樣的區(qū)間劃分.hstd（i）表示對處于第i區(qū)間的系數(shù)統(tǒng)計得出的比例，對hnoise（i）含義類似.這樣，可將含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的偏離度定義為它們之間的相關(guān)系數(shù):

當(dāng)hstd與hnoise相等，也就是2個直方圖完全相同時，所得 ρ（hstd，hnoise）值為 1.隨著 hstd與 hnoise差別越來越大，也就是2個直方圖越來越偏離時，ρ（hstd，hnoise）值也越來越小，直至為0.所以式（7）的定義能夠很好地刻畫2個直方圖的偏離程度.

對包括圖2、圖3和圖5在內(nèi)的6幅原始圖像分別施加不同密度的椒鹽噪聲，作小波分解，然后按式（7）計算得到各含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的相關(guān)系數(shù)，部分噪聲密度下所得相關(guān)系數(shù)值列于表2.

圖5 參與相關(guān)系數(shù)計算的實驗圖像

表2 部分噪聲密度下相關(guān)系數(shù)值

對大量其它圖像作同樣的實驗，可以得到近似的結(jié)果.對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析可以得出以下2條結(jié)論:

1）對任何圖像而言，含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的相關(guān)系數(shù)，隨噪聲密度的增加單調(diào)減小.

2）對不同的圖像，如果噪聲密度相同，則所得相關(guān)系數(shù)值很接近.通常圖像細(xì)節(jié)較多，所得值偏小，圖像較平緩，則所得值偏大，但這種差別并不大.例如圖5a（細(xì)節(jié)非常豐富）和圖5c（具有完全平坦的區(qū)域），從細(xì)節(jié)的角度差別巨大，分別代表了2個極端，但在相同噪聲密度上所得相關(guān)系數(shù)值差別卻并不太大.對大量其它介于其間的圖像，所得值就更加接近.這表明，含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的相關(guān)系數(shù)，極大程度上是由噪聲密度決定，受具體圖像特征影響較小.

以上分析揭示了含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的相關(guān)系數(shù)非常適合用于對噪聲密度的估計.為使這種變化關(guān)系更具魯棒性，將各個噪聲密度下對大量圖像獲得的相關(guān)系數(shù)值進(jìn)行平均，部分噪聲密度下的統(tǒng)計平均結(jié)果示于表3，由表3數(shù)據(jù)繪出相應(yīng)的曲線見圖6.

表3 相關(guān)系數(shù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)

圖6 相關(guān)系數(shù)隨噪聲密度變化的統(tǒng)計曲線

將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按照最小均方誤差準(zhǔn)則進(jìn)行多項式擬合，得出如下擬合公式:

式中，ρ是按式（7）計算所得的相關(guān)系數(shù)值;d是噪聲密度.如果式（8）所得值為γ，則表示噪聲密度為γ%.該公式形式化地描述了相關(guān)系數(shù)與噪聲密度之間的變化關(guān)系.對于精度要求不高的場合，擬合可以取二次多項式.

2 噪聲的估計

上述分析揭示了含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的相關(guān)系數(shù)隨噪聲密度的變化規(guī)律，并將這種關(guān)系以式（8）形式化地表達(dá).通過實驗論證了這種變化關(guān)系對圖像具有較強的魯棒性，這說明利用式（8）通過相關(guān)系數(shù)值去估計噪聲密度能夠獲得穩(wěn)健的結(jié)果.本文正是利用這樣的關(guān)系，將表1的標(biāo)準(zhǔn)直方圖和式（8）作為先驗知識用于含噪圖像的估計，獲得了比其它方法更優(yōu)的結(jié)果.

對一幅含噪圖像的椒鹽噪聲密度估計描述如下:

1）對含噪圖像執(zhí)行小波分解;

2）對分解所得的高頻對角子帶系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，生成系數(shù)幅值直方圖;

3）對標(biāo)準(zhǔn)直方圖與生成的系數(shù)幅值直方圖，采用式（7）計算它們之間的相關(guān)系數(shù);

4）將計算所得相關(guān)系數(shù)值代入式（8），計算所得即為含噪圖像中椒鹽噪聲密度的估計值.

這里要注意的是對含噪圖像作小波分解時，所采用的小波基與獲得先驗知識所采用的小波基應(yīng)相同.在本文中采用的小波基為sym4.另外，在生成含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖時，所劃分的區(qū)間數(shù)必須與標(biāo)準(zhǔn)直方圖所統(tǒng)計的區(qū)間數(shù)相等，并且這個數(shù)目的設(shè)定不宜過大，但也不能太小.如果過大，則會對系數(shù)隨機(jī)的微小變化過于敏感，造成估計不穩(wěn)定.如果太小，則又不能靈敏地檢測出2種系數(shù)分布之間的差別.本文通過大量實驗確定采用的數(shù)目為6時是最優(yōu)的.第1節(jié)獲得的先驗知識就是在這個數(shù)目基礎(chǔ)上計算得出的.

3 仿真實驗

為驗證本算法的有效性，本文在Matlab 7.0中［15］進(jìn)行仿真實驗.隨機(jī)地選取30幅原始圖像，分別施加密度為 5%，10%，15%，20%，25%，30%，35%和40%的椒鹽噪聲，采用本文方法進(jìn)行估計，估計結(jié)果列于表4.為便于比較，文獻(xiàn)［11－12］方法的結(jié)果也列于表中.為表明本算法的有效性，這里所選擇的30幅實驗圖像與前面獲得先驗知識所采用的圖像是完全不同的2組圖像.部分實驗圖像示于圖7.

通過表4的分析可以看出，本文算法相比其它2種方法有明顯的改進(jìn).除真值為5%時比文獻(xiàn)［11］方法略為遜色外，在其它所有密度上的估計都比2種方法更接近真值.文獻(xiàn)［11］方法隨著噪聲密度增大性能越來越差，而文獻(xiàn)［12］方法則在噪聲較小時誤差較大.本文算法并沒有這樣的特點，在不同的密度上，估計均值總是在真值上下波動，其偏差程度不隨噪聲大小而變化，這表明本文所依賴的變化關(guān)系適用于更寬廣的噪聲范圍.就估計標(biāo)準(zhǔn)差而言，本文算法明顯比其它2種方法要小很多.這意味著在本文方法中，對不同圖像所得估計值波動較小，這實際上證明了本文算法所采用的變化關(guān)系對圖像具有強的魯棒性，幾乎不隨具體圖像的不同而變化，而這個特性對估計結(jié)果的可靠性是至關(guān)重要的.

表4 噪聲密度估計結(jié)果

圖7 部分實驗圖像

4 結(jié)論

本文從研究圖像信號在小波域的系數(shù)分布著手，指出對所有自然圖像而言都有近似的系數(shù)幅值直方圖，進(jìn)而揭示含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與自然圖像的系數(shù)幅值直方圖之間的偏離程度隨噪聲密度變化的規(guī)律，通過相關(guān)系數(shù)的引入定量地研究了這種變化關(guān)系，并在大量統(tǒng)計數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上通過擬合公式予以形式化的描述.利用這種關(guān)系對椒鹽噪聲密度進(jìn)行估計，獲得了令人滿意的結(jié)果.

相比現(xiàn)有算法，本文方法所采用的變化關(guān)系具有明顯的優(yōu)勢:

1）對圖像具有更強的魯棒性.這決定了本文算法的估計值更準(zhǔn)確.

2）適用于更寬廣的噪聲范圍.這決定了本文算法的應(yīng)用面更廣.

不過，在噪聲密度特別大（＞70%）的情況下，本文方法性能有所降低.這可以解釋為噪聲密度很大時，噪聲點與噪聲點聚集在一起，這時噪聲點的鄰域中也包含很多噪聲點，并且這些噪聲點有一半的概率與中心噪聲點像素值相等，這樣中心噪聲點與周圍像素的灰度差別不僅不大，反而非常接近，所得小波系數(shù)的幅值自然不會偏大.這時含噪圖像的系數(shù)幅值直方圖與標(biāo)準(zhǔn)直方圖之間的偏離度不再隨噪聲密度單調(diào)變化，由此來估計噪聲自然不會得到準(zhǔn)確的結(jié)果.針對高椒鹽噪聲估計不準(zhǔn)的問題也同樣存在于包括文獻(xiàn)［11－12］的其它算法中.如何提高算法在高椒鹽噪聲下的估計性能，是下一步的研究方向.

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Estimation of salt-pepper noise in images in wavelet domain

Li TianyiWang Minghui Lin Tao Yu Wensen
（College of Computer Science，Sichuan University，Chengdu 610065，China）

A novel approach was proposed for estimating the density of salt-pepper noise in images using wavelet transform.On the basis of the fact that the wavelet coefficients of all natural images conform to stable and close distribution，as well as such distribution of the noisy image may be influenced by the noise，the proposed algorithm exhibits how the wavelet coefficients magnitude histogram of the noisy image deviates from that of original image along with the density of the salt-pepper noise in quantitative form，and indicates that the degree of such deviation is nearly determined by the noise density，i.e.，the change relation is robust to image traits.The proposed algorithm thus takes advantage of this relation to make estimation.Compared with those of existing methods，simulation results show that the proposed approach has more exact estimation value and less deviation.

wavelet coefficient;correlation coefficient;histogram;salt-pepper noise;density estimation

TP 391

A

1001-5965（2012）02-0239-05

2010-11-08;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時間:

時間:2012-02-21 11:47;

CNKI:11-2625/V.20120221.1147.026

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1147.026.html

李天翼（1970－），男，四川合江人，博士生，scu_lty@eyou.com.

（編 輯:文麗芳）