余正寧 趙育善

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191）

帶冷罩的自旋彈頭在液氮消耗時(shí)的姿態(tài)模型

余正寧 趙育善

（北京航空航天大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100191）

研究了帶液氮冷屏蔽罩（冷罩）的自旋彈頭在自由飛行段中，冷罩多孔介質(zhì)層內(nèi)液氮不斷消耗時(shí)彈頭姿態(tài)的變化規(guī)律.針對(duì)工程上無(wú)法利用數(shù)值計(jì)算直接研究多孔介質(zhì)中液氮消耗對(duì)彈頭姿態(tài)運(yùn)動(dòng)影響的問(wèn)題，以均相模型分析多孔介質(zhì)層內(nèi)氣液混合物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了均相介質(zhì)在離心力作用下的滲流運(yùn)動(dòng)方程.對(duì)此方程進(jìn)行無(wú)量綱化，分析了均相介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到了變質(zhì)量彈頭的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型.通過(guò)分析與仿真發(fā)現(xiàn)，自旋角速度隨冷罩內(nèi)液氮消耗而不斷增大，非自旋方向角速度不為零時(shí)，其運(yùn)動(dòng)頻率不斷增大，且會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)阻尼，但頻率變化很小，運(yùn)動(dòng)阻尼量級(jí)也極小，工程中可忽略冷罩中液氮消耗對(duì)非自旋方向的影響.

冷屏蔽罩;滲流;多孔介質(zhì);姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

為了達(dá)到彈頭紅外隱身的目的，美國(guó)物理學(xué)家協(xié)會(huì)提出了用液氮冷屏蔽罩（簡(jiǎn)稱冷罩）冷卻彈頭的方案［1］.冷罩由雙壁面錐體構(gòu)成，內(nèi)外壁之間形成空腔，通入液氮，液氮在雙壁面形成的空隙間流動(dòng)與蒸發(fā)，使冷罩維持在低溫條件下，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)紅外隱身的目標(biāo).為使液氮在空腔中分布均勻，在腔內(nèi)填充多孔介質(zhì)材料.

研究表明［2］:攜帶冷罩的彈頭在5μm波段的紅外輻射能量比沒(méi)有攜帶冷罩的普通彈頭低1012倍，對(duì)于導(dǎo)彈攔截器上5 μm波段紅外探測(cè)器，這意味著原來(lái)可發(fā)現(xiàn)距離1 000 km處的普通彈頭，卻只能發(fā)現(xiàn)距離1 m處的攜帶冷罩的彈頭.因此，冷罩在彈道導(dǎo)彈紅外隱身方面非常有應(yīng)用前景.

當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外有關(guān)冷罩的研究資料很少，僅有的資料也只是針對(duì)冷罩的熱交換機(jī)理［2］、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)與熱應(yīng)力［3－4］等進(jìn)行分析.總體設(shè)計(jì)師們則更關(guān)心冷罩及其內(nèi)部液體對(duì)彈頭軌道、姿態(tài)的影響，而這方面的研究尚無(wú)公開(kāi)報(bào)導(dǎo).液氮在冷罩多孔介質(zhì)內(nèi)運(yùn)動(dòng)極其復(fù)雜，不僅需要考慮液氮揮發(fā)后的氣液混合物的運(yùn)動(dòng)、還要分析混合物在多孔介質(zhì)中的滲流運(yùn)動(dòng)，很難用數(shù)值仿真直接對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究，而工程應(yīng)用中希望建立簡(jiǎn)單、有效的力學(xué)模型來(lái)描述液氮運(yùn)動(dòng)對(duì)彈頭運(yùn)動(dòng)的影響，目前為止，并未發(fā)現(xiàn)相關(guān)的工程模型.

本文以兩相均相模型分析多孔介質(zhì)層內(nèi)氣液混合物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建立了離心力作用下的均相介質(zhì)滲流運(yùn)動(dòng)方程.經(jīng)無(wú)量綱化分析，總結(jié)出多孔介質(zhì)層中氣液混合物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，得到均相介質(zhì)在冷罩中的質(zhì)量變化模型，進(jìn)而建立了可用于工程實(shí)際的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型.

1 多孔介質(zhì)中的液氮運(yùn)動(dòng)分析

1.1 兩相均相模型

液氮在多孔介質(zhì)層中蒸發(fā)、流動(dòng)，表現(xiàn)為氣液兩相.處理兩相流問(wèn)題有兩種模型:兩相均相模型與兩相分相模型，前者指的是把兩相介質(zhì)看成均勻介質(zhì)，介質(zhì)的參數(shù)取兩相平均參數(shù)，然后再根據(jù)單相均勻介質(zhì)建立兩相流基本方程;后者把兩相分成兩種單相流動(dòng)（氣相和液相），介質(zhì)參數(shù)分別取各自的介質(zhì)參數(shù).

兩相均相模型認(rèn)為相變過(guò)程沒(méi)有嚴(yán)格的氣液界面存在，氣態(tài)和液態(tài)共同存在，該模型計(jì)算簡(jiǎn)單;兩相分相模型能較精細(xì)地反映出相變的過(guò)程，但計(jì)算量和難度都較大，不便工程應(yīng)用.本文采用兩相均相模型.

1.2 多孔介質(zhì)中滲流方程

工程上一般采用滲流力學(xué)來(lái)研究液體在多孔介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)，其對(duì)大量流體質(zhì)點(diǎn)利用統(tǒng)計(jì)平均方法來(lái)定義流體的速度、壓力、密度等宏觀物理量，并對(duì)這些物理量在空間的分布規(guī)律和隨時(shí)間的變化規(guī)律進(jìn)行理論研究和數(shù)值計(jì)算.

各向同性多孔介質(zhì)中，液體滲流運(yùn)動(dòng)方程［5］為

式中，u為滲流速度;μ為流體的動(dòng)力粘性系數(shù);ρ為密度;p為流體壓力;ε為多孔介質(zhì)的孔隙率;fg為離心加速度;κ為滲透系數(shù);CF為無(wú)量綱常數(shù).

方程式（1）中等號(hào)右邊依次為離心力項(xiàng)、壓力降項(xiàng)、粘性力項(xiàng)、滲透阻力項(xiàng).滲透阻力可由Darch定律或者加上非線性修正的Darch-Forchheimer定律［6－7］得到，其第 1 部分是與速度成正比的線性部分，第2部分是當(dāng)速度較大時(shí)作修正而附加的非線性部分.

滲透阻力可以根據(jù)厄貢（Ergun）方程［8］進(jìn)行描述，即

式中，Δp為流體通過(guò)厚度為ΔL的多孔介質(zhì)層的壓力降;φs為多孔介質(zhì)中固體顆粒的形狀系數(shù);dp為多孔介質(zhì)顆粒的當(dāng)量直徑.

1.3 滲流方程的無(wú)量綱化

液體滲流運(yùn)動(dòng)受液體各運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及多孔介質(zhì)性質(zhì)影響，直接求解極其困難，本文對(duì)其進(jìn)行定性分析.為使分析更具一般性，將滲流運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行無(wú)量綱化.首先引進(jìn)無(wú)量綱物理量（帶*表示）:

式中，T為特征時(shí)間;L為特征長(zhǎng)度;U為特征速度;P為特征壓力.

引進(jìn)無(wú)量綱參數(shù):

將式（4）代入滲流運(yùn)動(dòng)方程式（1）中，可得無(wú)量綱運(yùn)動(dòng)方程:

1.4 無(wú)量綱方程簡(jiǎn)化

式（5）中的滲透阻力項(xiàng)，其非線性項(xiàng)系數(shù)為

由于 dp/L很小，而 φsε/（1－ε）和 Re不是非常大，所以滲透阻力中非線性項(xiàng)遠(yuǎn)小于線性項(xiàng)，可將非線性項(xiàng)忽略.

式（5）中粘性力項(xiàng)與滲透阻力項(xiàng)的比可寫(xiě)為

由于dp遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于L，所以粘性力遠(yuǎn)小于滲透阻力，可以將其忽略.因此，可將式（5）寫(xiě)為

1.5 液氮運(yùn)動(dòng)分析

1）離心力分析.離心力只受彈頭自旋角速度影響，與滲流性質(zhì)無(wú)關(guān)，相對(duì)于液體運(yùn)動(dòng)來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為其為恒定值.將離心慣性力分解為沿腔方向的力F1與垂直于腔方向的力F2，如圖1所示.

圖1 離心力分解圖

腔的厚度很小，所以在垂直于腔的方向，可以忽略液體運(yùn)動(dòng).沿腔的方向，因?yàn)殄F角很小，所以離心力分量F1也很小，離心力對(duì)該方向的液體運(yùn)動(dòng)的影響也可以忽略.

2）壓力與滲透阻力分析.壓力降變化值與歐拉數(shù)Eu有關(guān)，Eu數(shù)越大，其影響越大.由于沿速度方向壓力變小，所以壓力梯度為負(fù)值，即方程式（6）中壓力降項(xiàng)為負(fù).

由方程式（6）可得，滲透阻力不僅受多孔介質(zhì)材料特性Dc影響，還與流體流動(dòng)特性Re有關(guān).一般情況下，Dc很小，而工程上常見(jiàn)的滲流Re也不是非常大，所以二者乘積仍然很小，故而導(dǎo)致滲透阻力很大，且其始終與速度方向相反.

由以上分析可知，壓力降與滲透阻力導(dǎo)致的加速度均為負(fù)，即液體運(yùn)動(dòng)要克服較大的阻力，始終為減速運(yùn)動(dòng).初始時(shí)液體運(yùn)動(dòng)速度不大，因此，在整個(gè)飛行過(guò)程中，液體均不會(huì)有太大的運(yùn)動(dòng)，即液氮分布變化不大.

3）液氮運(yùn)動(dòng)情況.綜上所述，多孔介質(zhì)層內(nèi)液體分布在各項(xiàng)力的作用下不會(huì)發(fā)生太大變化，即均相介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)很小，可忽略其速度變化，但均相模型的參數(shù)，如密度，會(huì)隨著液氮蒸發(fā)而改變.

由以上理論分析，可以合理假設(shè)冷罩多孔介質(zhì)內(nèi)一直充滿均勻介質(zhì)，該介質(zhì)不發(fā)生對(duì)流等相對(duì)于彈頭的運(yùn)動(dòng)，但密度會(huì)隨液氮消耗而變化，導(dǎo)致彈頭轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化，進(jìn)而導(dǎo)致姿態(tài)改變.

2 彈頭姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系定義

固連坐標(biāo)系S1:原點(diǎn)O與不考慮液氮情況下彈頭質(zhì)心重合，x軸指向彈頭前方，Oy垂直于彈頭縱軸指向上，Oz與Ox，Oy成右手系.

本體坐標(biāo)系S2:原點(diǎn)C位于彈頭真實(shí)質(zhì)心（考慮液氮），各軸與S1系各軸方向平行.

S1系與S2系如圖1所示.

2.2 慣性矩陣計(jì)算

關(guān)于S2系3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可寫(xiě)為

式中，mg為彈頭剛性部分（包括多孔材料）的質(zhì)量;mc為 t時(shí)刻均相介質(zhì)質(zhì)量;I'x，I'y，I'z以及 Igx，Igy，Igz分別為均相介質(zhì)、彈頭剛性部分（包括多孔材料）對(duì)S1系3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;d為彈頭質(zhì)心C與S1系原點(diǎn)O點(diǎn)之間的距離.

2.3 均相介質(zhì)密度變化

設(shè)液氮受熱后均勻蒸發(fā)，消耗速率恒定，為Δm，g/s，初始時(shí)腔內(nèi)充有質(zhì)量為m1的液氮，則腔內(nèi)液氮質(zhì)量變化可寫(xiě)為

進(jìn)而可得密度變化為

式中，ε為孔隙率;V為多孔介質(zhì)層的體積.

由于多孔介質(zhì)層體積、孔隙率均一定，液氮質(zhì)量呈線性變化，所以均相介質(zhì)密度也呈線性變化.

2.4 姿態(tài)方程

對(duì)冷罩質(zhì)心應(yīng)用動(dòng)量矩定理，可得自旋彈頭的姿態(tài)方程為

式中，IC為關(guān)于質(zhì)心的慣性矩陣;為作用于剛體上的所有外力對(duì)質(zhì)心的主矩;為所有反推力對(duì)質(zhì)心的主矩.

3 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)分析及仿真

3.1 理論分析

將其寫(xiě)為分量形式，有

由式（12a）可得

式中，Cx為常數(shù)，可通過(guò)初始轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度求得.將式（12b）變形為

兩邊求導(dǎo)后，將求導(dǎo)結(jié)果與式（14）代入（12c）可得有關(guān)ωy的二階微分方程，同樣的方法可得到ωz的表達(dá)式.由于二者形式相同，可將其寫(xiě)為

其中

由式（13）、式（15）可知，非自旋方向姿態(tài)角速度變化為有阻尼振蕩，頻率與阻尼分別為

若無(wú)冷罩影響，則角速度為等幅無(wú)阻尼振蕩，頻率為

可見(jiàn)，冷罩的加入，不但使系統(tǒng)產(chǎn)生阻尼，而且也使頻率隨液氮消耗不斷變化.

3.2 數(shù)值仿真

假設(shè)彈頭質(zhì)量為2000kg，高2.0m，彈頭與冷罩的半錐角（圖1中α）均為15°，多孔介質(zhì)層厚度為1 cm.初始轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ix=400，Iy=Iz=1000，初始姿態(tài)角速度為 ωx=2π rad/s，ωy=0.01 rad/s，ωz=0.02 rad/s.初始時(shí)刻多孔介質(zhì)層內(nèi)充滿液氮，飛行過(guò)程中液氮以15 g/s的消耗量減少，則液氮、彈頭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化如圖2、圖3所示.

圖2 液氮的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化

圖3 彈頭的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化

由圖2、圖3可以看出，對(duì)3個(gè)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量基本都是線性變化.其原因在于，多孔介質(zhì)層內(nèi)液氮消耗速度均勻，則腔內(nèi)均相介質(zhì)密度線性變化，導(dǎo)致其對(duì)各軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也線性變化.式（7）雖然不是線性表達(dá)式，但彈頭質(zhì)心距原點(diǎn)O的距離d太小，其影響可以忽略，則計(jì)算所得的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量基本呈線性.

不考慮冷罩時(shí)，角速度變化頻率為

冷罩內(nèi)液氮分布對(duì)彈頭的姿態(tài)角速度變化頻率、阻尼及角速度大小影響如圖4所示.

圖4 頻率、阻尼變化圖

由圖4可知，非自旋方向姿態(tài)角速度的運(yùn)動(dòng)頻率隨著液氮消耗不斷增大，由約3.76 Hz增大到約3.96 Hz，接近線性增長(zhǎng)，但影響作用不是很大，每百秒增大約0.1 Hz.角速度運(yùn)動(dòng)阻尼非常?。考?jí)為10－6），對(duì)姿態(tài)角速度的影響可以忽略，角速度仍近似為等幅振蕩，如圖5所示.

圖5 姿態(tài)角速度

自旋方向的角速度隨液氮消耗而不斷增大，究其原因，是因?yàn)樵摲较蜣D(zhuǎn)動(dòng)慣量隨液氮消耗而減小，根據(jù)式（13）可知，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量減小時(shí)角速度增大.

4 結(jié)論

由本文中液氮均相模型以及彈頭姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型可得以下結(jié)論:

1）均相模型在多孔介質(zhì)層內(nèi)的速度變化不明顯，故認(rèn)為腔內(nèi)介質(zhì)不發(fā)生運(yùn)動(dòng)，充滿整個(gè)多孔介質(zhì)層，僅隨著液氮消耗而發(fā)生密度改變，進(jìn)而導(dǎo)致腔內(nèi)質(zhì)量分布變化，影響彈頭姿態(tài)運(yùn)動(dòng).

2）液氮的消耗使得自旋方向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不斷減小，導(dǎo)致自旋角速度不斷增大.

3）非自旋角速度不為零時(shí)，液氮消耗使得角速度運(yùn)動(dòng)頻率有所改變，但改變緩慢且幅度不大，同時(shí)，會(huì)使角速度運(yùn)動(dòng)方程中出現(xiàn)阻尼項(xiàng)，但阻尼值很小，可以忽略其對(duì)非自旋方向角速度的影響，角速度仍近似做等幅振蕩.

綜上所述，帶冷罩的自旋彈頭在自由飛行過(guò)程中，液氮消耗僅會(huì)影響到自旋方向運(yùn)動(dòng)，對(duì)非自旋方向運(yùn)動(dòng)影響很小，工程應(yīng)用中可以忽略.

致謝 感謝駱振華師弟在研究過(guò)程中所做的相關(guān)配合工作.

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Attitude model of spinning warhead with cooled shroud when liquid nitrogen is consuming

Yu Zhengning Zhao Yushan
（School of Astronautics，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

An attitude dynamics model of spinning warhead flying at free stage with a cooled shroud was established while liquid nitrogen filled in porous medium layer was consuming.The effect of liquid nitrogen movement to spinning warhead is difficult to calculate and simulate directly in engineering，according to this，an infiltration movement model of mixture in porous medium was gained by using homogeneous assumption，then was analyzed by applying dimensionless method，and an applied attitude model was obtained.Simulation shows that angular velocity is increasing in spinning direction，but in other directions，frequencies of angular velocities are increasing while these velocities are not zero，meanwhile，damp effects are appeared in the angular movement.Because of little impaction to attitude angular，both frequencies increase and damp effects could be ignored in practical project.

cooled shroud;infiltration;porous medium;attitude dynamics model

V 412.4

A

1001-5965（2012）02-0208-05

2010-11-03;< class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2012-02-21 11:47;

CNKI:11-2625/V.20120221.1147.022

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1147.022.html

余正寧（1984－），男（回族），寧夏海原人，博士生，null_yzn@139.com.

（編 輯:張 嶸）