劉 鵬 蒙志君 武 哲

(北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京100191)

近年來，由于共軸直升機具有機身結(jié)構(gòu)緊湊、適合在小場地起降、不存在尾槳事故等特點，共軸式雙旋翼布局在輕型無人直升機中應(yīng)用比較廣泛.共軸直升機飛行動力學(xué)模型是開展操穩(wěn)特性分析、飛行實時仿真、飛行控制系統(tǒng)設(shè)計等研究的基礎(chǔ)［1］.

目前，關(guān)于單旋翼帶尾槳直升機的建模研究非常多，也比較成熟［2－3］.然而由于共軸直升機特有的旋翼布局，引發(fā)了上下旋翼之間強烈的氣動干擾，使得共軸式雙旋翼空氣動力學(xué)問題較單旋翼而言更加復(fù)雜和困難.國內(nèi)外關(guān)于共軸式直升機的研究主要集中在雙旋翼氣動特性的理論分析和風(fēng)洞試驗方面［4－7］，而對共軸直升機飛行動力學(xué)建模的研究非常少.

本文運用一種基于微分進化算法的頻域系統(tǒng)辨識方法得到了共軸直升機懸停狀態(tài)下狀態(tài)空間模型中的氣動參數(shù)，并利用Cramer-Rao(CR)邊界和不靈敏度的有關(guān)理論對辨識參數(shù)進行分析計算，說明辨識得到的參數(shù)具有較高的精度和可信度，辨識得到的模型的時域驗證結(jié)果說明了辨識得到的模型是非常精確的.

1 機理模型建立

利用小擾動理論，得到了共軸直升機懸停狀態(tài)下含有氣動導(dǎo)數(shù)和控制導(dǎo)數(shù)的六自由度線性化狀態(tài)空間模型如下［1，8］:

式中

x表示狀態(tài)向量;u表示控制輸入向量;τ為控制量的延遲時間，具體如下:

狀態(tài)矩陣A由氣動導(dǎo)數(shù)組成，控制矩陣B由控制輸入導(dǎo)數(shù)組成，這些都是狀態(tài)空間模型中的待辨參數(shù)，通過頻域辨識的方法可以獲得這些參數(shù)值的大小.

2 頻域辨識方法及精度分析

2.1 頻域辨識方法

運用拉氏變換，頻率響應(yīng)矩陣T(s)可以表示為狀態(tài)空間方程系統(tǒng)矩陣的函數(shù):

假定系統(tǒng)有nin個輸入，nout個輸出，可以寫成如下多輸入多輸出傳遞函數(shù)矩陣的形式:

選取其中nTF對相干性較高 (相干函數(shù)值≥0.6)的頻域響應(yīng)Tc(ω)，將s=jω代入式(1)傳遞函數(shù)T(s)中，可以得到如下的以誤差形式表示的狀態(tài)空間方程辨識的代價函數(shù):

通常取代價函數(shù)J的平均值Jave=J/nTF進行計算，當(dāng)平均代價函數(shù)滿足Jave≤100時，將獲得一個非常可靠的狀態(tài)空間模型［9］.

將狀態(tài)矩陣A、控制矩陣B和延遲時間τ中的d個待辨識參數(shù)用向量x來表示:

本文采用仿生智能計算方法中的微分進化算法來得到待辨參數(shù)的值.微分進化算法是一種基于群體進化的仿生智能計算方法，通過種群內(nèi)個體間的合作與競爭來實現(xiàn)對優(yōu)化問題的求解.微分進化算法的基本操作包括變異、交叉和選擇3種操作［10］.

設(shè)種群規(guī)模Np可行解空間維數(shù)為d，用x(t)=［x1x2… xd］表示第t迭代時刻的解向量，微分進化算法運行過程的步驟［11］如下:

1)隨機初始化.解空間隨機產(chǎn)生初始種群:

2)變異操作.變異個體的生成過程中用到了父代種群中多個個體的線性組合，最基本的變異成分是父代個體的差分向量.對父代種群中任意個體，經(jīng)如下變異操作生成變異個體

圖1 微分進化算法的變異操作

式中，randb是 ［0，1］間的隨機數(shù);rj是在［1，d］間隨機選擇的整數(shù);交叉常量CR是在［0，1］間的常數(shù)，微分進化算法的變異操作過程如圖2所示.

4)選擇操作.微分進化算法的選擇操作是一種“貪婪”選擇模式，當(dāng)且僅當(dāng)新的向量個體的適應(yīng)度值比目標(biāo)個體的適應(yīng)度值更好時，才會被種群接受為.選擇操作由下式描述:

微分進化算法的選擇操作使得子代個體總是優(yōu)于或等于父代個體，從而使種群始終向最優(yōu)解的方向進化.

2.2 辨識參數(shù)精度分析

參數(shù)精度理論分析的基礎(chǔ)是Cramer-Rao不等式:σi≥Pi.CR邊界值Pi是多次重復(fù)試驗所得參數(shù)估計的標(biāo)準(zhǔn)差σi的最小值，各辨識參數(shù)的CR邊界值是改進模型結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵準(zhǔn)則.如果某參數(shù)的CR邊界值過大，則表明參數(shù)辨識結(jié)果可信度很低，意味著該參數(shù)應(yīng)當(dāng)從模型結(jié)構(gòu)中去除或進行調(diào)整改進.

對于個別的CR邊界值超過要求的辨識參數(shù)，辨識得到的模型也是可以接受的［9］.

3 狀態(tài)空間模型辨識

3.1 飛行掃頻試驗設(shè)計

飛行試驗數(shù)據(jù)必須充分包含動力學(xué)模型的豐富信息，故采用掃頻試驗獲得飛行數(shù)據(jù)，即通過操控手逐漸增加輸入的頻率［13］.

通過大量飛行掃頻試驗總結(jié)，共軸直升機和單旋翼帶尾槳直升機做辨識試驗的主要區(qū)別在于共軸直升機掃頻時操縱量輸入不能太大，否則會造成上下旋翼打槳，輸入量幅值一般應(yīng)控制在±10%行程內(nèi).

橫向通道掃頻數(shù)據(jù)如圖3所示，從圖中可看到，橫向掃頻輸入A1和橫滾角速度輸出p有很高的一致性，這為系統(tǒng)辨識提供了很好的頻譜特性.

圖3 橫向通道掃頻數(shù)據(jù)

3.2 狀態(tài)空間模型辨識

在獲得了滿足要求的辨識數(shù)據(jù)后，用偏相干分析去除其他通道的耦合效應(yīng)，通過輸入輸出信號的功率譜密度計算得到包含共軸直升機動力學(xué)模型耦合特性的非參數(shù)頻率響應(yīng)，如圖4所示.

利用前面介紹的微分進化算法來搜索最小代價函數(shù).表1列出了懸停狀態(tài)下辨識得到的模型的代價函數(shù)，從表中可看出，頻率響應(yīng)的代價函數(shù)都小于標(biāo)準(zhǔn)值，并且平均的代價函數(shù)值低于100，說明辨識得到的模型與試驗數(shù)據(jù)匹配得很好.

表1 辨識過程傳遞函數(shù)的代價函數(shù)值J

圖4比較了辨識得到的模型與試驗數(shù)據(jù)計算得到的主通道頻率響應(yīng)，可以看出模型與試驗數(shù)據(jù)取得了很好的一致性.

那些具有較大Cramer-Rao邊界值和不靈敏度值的參數(shù)在辨識過程中從待辨模型中去除.表2列出了參數(shù)辨識的結(jié)果、Cramer-Rao邊界和不靈敏度值，結(jié)果都滿足辨識要求，說明辨識參數(shù)的精度比較高.

圖4 飛行數(shù)據(jù)和辨識模型的頻率響應(yīng)比較

表2 共軸直升機懸停狀態(tài)下辨識結(jié)果

3.3 模型驗證

把一組用于模型驗證的Doublet輸入信號［13］作為辨識得到的共軸直升機狀態(tài)空間模型的輸入值，比較辨識得到的模型的預(yù)測輸出和實際的飛行數(shù)據(jù).航向通道的模型驗證結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看出，實際飛行數(shù)據(jù)和辨識模型的吻合度是比較理想的，說明此辨識模型的結(jié)果的準(zhǔn)確性是比較高的.

圖5 航向通道模型驗證

4 結(jié)論

通過以上論述，可以得出以下結(jié)論:①通過大量飛行掃頻試驗，總結(jié)得到共軸直升機和單旋翼帶尾槳直升機辨識試驗主要的區(qū)別在于操縱手在掃頻時操縱量輸入不能太大，否則會造成上下旋翼打槳，輸入量幅值一般應(yīng)控制在±10%行程內(nèi);②在辨識過程中，將微分進化算法應(yīng)用到搜索代價函數(shù)的最小值中，通過擬合由試驗數(shù)據(jù)得到的頻率響應(yīng)曲線，得到了共軸直升機狀態(tài)空間模型中的待辨參數(shù);③利用Crame-Rao邊界和不靈敏度的有關(guān)理論對辨識參數(shù)結(jié)果進行分析，辨識參數(shù)的Cramer-Rao邊界和不靈敏度值都滿足辨識要求，說明辨識參數(shù)的精度比較高;④通過時域交叉驗證，說明了基于該頻域辨識方法建立的共軸直升機狀態(tài)空間模型的精確性和有效性，可以在該狀態(tài)下以此模型進行自主飛行控制器設(shè)計.

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