冉 政

(上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072)

盡管有關(guān)湍流的理論研究十分復(fù)雜，進(jìn)展緩慢［1－2］，但沒(méi)有人否定湍流研究的重要性.本文選取湍流研究中的能量級(jí)串問(wèn)題，作為主要的關(guān)注對(duì)象，試圖分析湍流能量級(jí)串這一概念的起源和演化，以及目前的發(fā)展?fàn)顩r.簡(jiǎn)單地講，湍流的多尺度和湍流的能量級(jí)串 (cascade)是湍流研究中一個(gè)十分重要的概念，由于非線性相互作用，湍流中存在尺度之間的逐級(jí)能量傳遞，一般是大尺度旋渦向小尺度旋渦輸送能量.然而，這一簡(jiǎn)單的物理圖象卻蘊(yùn)涵十分令人困惑的數(shù)學(xué)物理問(wèn)題，它一直是湍流理論研究的核心問(wèn)題.在湍流研究發(fā)展過(guò)程，包括 Taylor，Richardson，Kolmogorov，Mandelbrot，F(xiàn)risch等許多科學(xué)家均對(duì)此問(wèn)題做出過(guò)貢獻(xiàn)，但是，到目前為止，基于第一原理的認(rèn)識(shí)卻一直沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展.本文在簡(jiǎn)單闡述這些工作后，介紹了最近的一個(gè)理論進(jìn)展.

1 Richardson能量級(jí)串的唯象分析

湍流能量級(jí)串的概念起源于Richardson一首廣為流傳的詩(shī)［3］，詩(shī)中并無(wú)精確的數(shù)學(xué)物理內(nèi)容，但卻存在清晰的物理圖象:在能量級(jí)串過(guò)程中，第1級(jí)大渦的能量來(lái)自外界，大渦失穩(wěn)后，產(chǎn)生第2級(jí)小渦，小渦失穩(wěn)后又產(chǎn)生更小的旋渦，最后，由于Re數(shù)非常大，所有可能尺度的運(yùn)動(dòng)模式都被激發(fā).Richardson的湍流級(jí)串圖象已經(jīng)影響了湍流理論和實(shí)驗(yàn)工作者幾十年.1941年，Kolmogorov對(duì)于湍流的刻畫［4］實(shí)際上已經(jīng)使用了這一物理圖象.Richardson的湍流級(jí)串圖象引入了如下的思想:在湍流場(chǎng)中，能量從大尺度向小尺度的傳輸中，要經(jīng)歷多步的離散過(guò)程，這一過(guò)程與旋渦的拉伸變形相關(guān)聯(lián).這種圖象自然涉及到一系列的旋渦層次結(jié)構(gòu)以及分岔過(guò)程.其中最基本的是認(rèn)為級(jí)串是一個(gè)多步過(guò)程，這就涉及到不同旋渦尺度的層次結(jié)構(gòu)，一般可以簡(jiǎn)單地想象為不同直徑的球形旋渦組成的層次結(jié)構(gòu).長(zhǎng)期以來(lái)，這一過(guò)程僅在唯象的分析中得到了部分的理解，而目前的研究表明:Richardson的湍流級(jí)串圖象具有一定合理的物理性質(zhì).但是，由此帶來(lái)了一系列基本理論問(wèn)題:①是否存在內(nèi)在的自然過(guò)程導(dǎo)致能量從大尺度旋渦到小尺度旋渦傳輸;②為什么湍流的能量級(jí)串必須是一個(gè)多步離散的過(guò)程.

2 Kolmogorov湍流理論

Kolmogorov［4］是 第 一 個(gè) 用 數(shù) 學(xué) 公 式 表 述Richardson湍流能量級(jí)串圖象的學(xué)者，他認(rèn)為:在Re數(shù)很大時(shí)，湍流可以看成由相差很大的、各種不同尺度旋渦組成，最大的旋渦直接由平均流動(dòng)的不穩(wěn)定性或邊界條件產(chǎn)生.類似Richardson湍流能量級(jí)串圖象，這些大尺度旋渦又將破裂成較小的旋渦，較小的旋渦又分岔成更小的旋渦，這樣就形成了一串無(wú)窮多級(jí)的大大小小的旋渦.與Richardson不同的是，Kolmogorov關(guān)注的是小尺度湍流的各向同性統(tǒng)計(jì)特性，他認(rèn)為這種湍流統(tǒng)計(jì)特性具有一定的普適性.最為主要的思想是:在高Re數(shù)條件下，大尺度旋渦級(jí)串到小尺度旋渦的過(guò)程要經(jīng)過(guò)許多級(jí)，以致到慣性區(qū)非各向同性的大尺度的影響可以忽略，而認(rèn)為湍流小尺度是局部各向同性的，并且此時(shí)湍流的統(tǒng)計(jì)特征與粘性無(wú)關(guān)，而主要取決于湍流的平均能量耗散.Kolmogorov使用量綱分析的方法得到了兩條定律，這實(shí)際上可以看成目前湍流理論研究的主要成就.

Kolmogorov理論的主要問(wèn)題在于沒(méi)有直接與流體運(yùn)動(dòng)方程建立聯(lián)系，沒(méi)有動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，同時(shí)沒(méi)有計(jì)及湍流間歇性的影響，在之后的文獻(xiàn)［5］中，湍流的間歇性得到了一定的刻畫，但是第一原理的問(wèn)題依然沒(méi)有解決.

3 湍流能量級(jí)串的唯象模型

1949 年 Batchelor和 Townsend［6］在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了湍流小尺度結(jié)構(gòu)的間歇性質(zhì)，在最初的研究中主要是有關(guān)湍流能量耗散率的刻畫.這一問(wèn)題的深入研究最終導(dǎo)致了使用多重分形結(jié)構(gòu)刻畫湍流，這是現(xiàn)代湍流研究極其重要的一步，多重分形結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)表明各向同性湍流是具有動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)的系綜.1962 年，Kolmogorov［5］和 Obukhov［7］分別提出有關(guān)湍流耗散率的對(duì)數(shù)正則分布模型，Novikov［8］和 Mandelbrot［9］探討了對(duì)數(shù)正則模型的內(nèi)在問(wèn)題.另外一種多步間歇湍流模型則是1964 年由 Novikov和 Stewart［10］提出的.1974 年，Mandelbrot［11］引入了分形幾何的概念，用于理解上述模型的特征，這是該領(lǐng)域的一個(gè)重要進(jìn)展.1974年，Kraichnan［12］分析了在廣義自相似意義下湍流能量級(jí)串的物理內(nèi)涵.在湍流學(xué)術(shù)界影響比較大的是β-模型［13］，這一唯象模型在描述湍流多重分形特性方面較為成功.

值得注意的是，上述的模型實(shí)質(zhì)上屬于唯象性質(zhì)的模型，缺乏動(dòng)力學(xué)支持［13］.

4 湍流能量級(jí)串的低維動(dòng)力學(xué)模型

自1963年Lorenz［14］的開創(chuàng)工作以來(lái)，非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)混沌的研究發(fā)展迅速，極大地刺激了湍流理論研究的發(fā)展.非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)混沌的研究提供了一種革命性的新觀點(diǎn)和新方法，如何應(yīng)用這一新觀點(diǎn)和新方法充分發(fā)展湍流研究一直是湍流學(xué)術(shù)界的挑戰(zhàn)［15］.多年來(lái)，許多學(xué)者提出了一些具有完全發(fā)展湍流特征的混沌動(dòng)力學(xué)模型，盡管這些模型能夠再現(xiàn)一些N-S(Navier-Stokes)湍流的本質(zhì)特征，但仍屬于簡(jiǎn)化模型，因此屬于唯象模型，可以歸納為湍流的低維動(dòng)力學(xué)模型范疇.最為著名的是 Burgers方程模型［16］，它可以看成是N-S方程的一維簡(jiǎn)化模型，但是它的解不是混沌的，Kolmogorov能譜律也不成立.由 Desnyansky 和 Novikov［17］，以及 Kerr和Siggia［18］，Gloaguen［19］等人提出的殼模型雖然得到了Kolmogorov能譜律，但作為運(yùn)動(dòng)方程的定態(tài)解，對(duì)應(yīng)相空間中的固定點(diǎn).中國(guó)學(xué)者錢儉［20］在1988年也提出一個(gè)簡(jiǎn)化的湍流級(jí)串模型，雖然該模型的相空間維度僅為20，但能模擬充分發(fā)展湍流的主要特征，包括Kolmogorov能譜，相比之下，該模型能更好地模擬湍流的動(dòng)力學(xué)特征和統(tǒng)計(jì)特征.

在湍流能譜空間，上述所有模型均未提供湍流的大尺度動(dòng)力學(xué)的任何信息，這是除有限截?cái)嗤?，最為主要的理論缺陷，另外，上述的模型?duì)于湍流多尺度結(jié)構(gòu)的起源也沒(méi)有對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)支持，大多數(shù)在譜空間討論.一個(gè)自然而然的問(wèn)題是:能否在湍流方程中存在一個(gè)自然的動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，對(duì)湍流級(jí)串進(jìn)行更為理性的 (基于第一原理)刻畫.有關(guān)各向同性湍流Karman-Howarth方程的精確解的進(jìn)展［21－24］部分回答了上述問(wèn)題.

5 各向同性湍流的映射動(dòng)力系統(tǒng)

出發(fā)方程是三維不可壓縮流體的Karman-Howarth方程

式 (1)不封閉，需要引入一定的封閉條件.采用Sedov提出的封閉方法，可以證明存在以下湍流空間尺度自封閉的演化方程［21－24］:

其中a1，a2為兩個(gè)積分常數(shù).這是一個(gè)第二類非線性Lienard型方程，并且可以按標(biāo)準(zhǔn)方法得到精確解.研究以下形式解 (冪次解)，這兩類解為

在滿足大波數(shù)情況的冪次能譜條件下，可以證明所設(shè)的湍流參數(shù)必須是離散值

為了有效地度量旋渦系統(tǒng)尺度，必須選擇一定的參考尺度，一旦選定參考尺度，其他量與參考尺度做比例，則可以得到對(duì)應(yīng)的度量.本文得到了兩種不同的旋渦尺度，如果選擇的參考尺度為

由式 (2)可知，lm是遞減函數(shù)，結(jié)合到湍流場(chǎng)中旋渦尺度的范圍 (L是湍流外尺度，η是湍流內(nèi)尺度)L＞lm＞η，則在湍流流場(chǎng)中存在一個(gè)遞減的旋渦譜系:

完全按照上述思路，如選取測(cè)量的尺度是

利用兩種遞增和遞減的旋渦譜系，可以建立對(duì)應(yīng)的尺度遞推關(guān)系.

注意到兩點(diǎn)的邊界條件，可得如下線性方程組:

其解可以寫為

代入有關(guān)的定義，有:

同理有

式 (4)減去式 (3)，有

同樣的方法可以得到第二特征尺度對(duì)應(yīng)的一個(gè)新的遞推公式

簡(jiǎn)單的計(jì)算如下:

如果引入條件:A?1，則可以有近似關(guān)系:

可以證明:各向同性湍流系統(tǒng)的旋渦尺度動(dòng)力系統(tǒng)拓?fù)涞葍r(jià)如下標(biāo)準(zhǔn)Logistic映射:

由上述分析可以得到:根據(jù)本文新得到的各向同性湍流尺度演化方程，在各向同性湍流系統(tǒng)中存在以湍流Taylor微尺度為動(dòng)力學(xué)量的非線性動(dòng)力系統(tǒng)

其中

xm為湍流Taylor微尺度面積測(cè)度;Rc為 線性穩(wěn)定性理論得到的臨界Re數(shù)，注意到僅僅由Re數(shù)確定，這與實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)相符合.

根據(jù)上述理論，可以認(rèn)為:湍流能量級(jí)串由一系列的旋渦非線性分岔過(guò)程刻畫，呈現(xiàn)Feigenbaum倍周期分岔的途徑.有關(guān)的分岔序列計(jì)算可以參見(jiàn)文獻(xiàn) ［24］.

從簡(jiǎn)單的對(duì)比可以看到本文提出的湍流級(jí)串旋渦動(dòng)力學(xué)模型與β-模型有許多類似之處，但存在如下根本的區(qū)別:

1)β-模型中的離散來(lái)自假設(shè)的旋渦的概念，沒(méi)有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，而本文新模型中離散的出現(xiàn)有物理數(shù)學(xué)原因;

2)β-模型中尺度的演化只有遞減的模態(tài)，并且是人為設(shè)定的，沒(méi)有動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ).

6 結(jié)論

本文簡(jiǎn)要回顧了有關(guān)湍流能量級(jí)串問(wèn)題的概念的源起和演化，簡(jiǎn)要評(píng)述了目前各種研究方法的局限性.最后給出了本文在這一方向上基于Karman-Howarth方程的研究進(jìn)展.主要結(jié)果表明:湍流能量級(jí)串由一系列的旋渦非線性分岔過(guò)程刻畫，呈現(xiàn)Feigenbaum倍周期分岔的途徑，這定量地反映出湍流能量級(jí)串中的非線性相互作用.

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