王 素 白 鑫

(北京航空航天大學 交通科學與工程學院，北京100191)

陳仕賢

(北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京100191)

離散齒諧波傳動［1－6］是對現(xiàn)有諧波傳動結(jié)構(gòu)的改進:用離散齒輪代替諧波傳動結(jié)構(gòu)中的柔輪，可解決諧波傳動結(jié)構(gòu)采用柔輪帶來的剛度問題;剛輪輪廓曲線不是漸開線而是按等速共軛原理設(shè)計的離散齒包絡(luò)曲線，嚙合齒數(shù)多，可解決諧波傳動的精度;離散齒諧波傳動的傳動比范圍可在12°～80°范圍內(nèi)，滿足實際應用需求，這是諧波傳動不能達到的.因此，對離散齒諧波傳動性能和結(jié)果進行研究極具理論價值和應用前景.

1 離散齒諧波傳動結(jié)構(gòu)

離散齒諧波傳動結(jié)構(gòu)是由離散齒輪、剛輪和波發(fā)生器3個基本構(gòu)件組成，與諧波傳動結(jié)構(gòu)具有相同的組件，如圖1所示.其中，波發(fā)生器與諧波傳動結(jié)構(gòu)相同，由一個雙波或多波的凸輪外套薄壁軸承組成，以橢圓凸輪最為常用;離散齒輪是由一個開有若干徑向槽的圓環(huán)和槽中的一組中間可動件離散齒組成，離散齒可以是球形、圓柱形或兩側(cè)做成平面的圓柱體，以圓柱形較好，齒槽則與離散齒相匹配;剛輪與諧波傳動結(jié)構(gòu)類似，為一剛性厚環(huán)，環(huán)內(nèi)壁開有輪齒.不同的是，剛輪齒廓曲線不是漸開線而是按等速共軛原理設(shè)計的離散齒包絡(luò)曲線，即選定離散齒形狀后，在橢圓凸輪波發(fā)生器驅(qū)動下，用等速共軛原理計算出離散齒包絡(luò)曲線，以此曲線作為剛輪齒廓曲線.運動傳遞在波發(fā)生器作用下，使離散齒運動，與剛輪、離散齒體互相作用實現(xiàn)傳動.不同的輸入輸出構(gòu)件、波發(fā)生器波數(shù)及剛輪齒廓曲線工作區(qū)間等可以得到多種不同的離散齒諧波傳動方案，設(shè)計者可以根據(jù)實際使用需求進行選擇.

圖1 離散齒諧波傳動結(jié)構(gòu)簡圖

2 剛輪齒廓形成

剛輪齒廓曲線不是漸開線而是按等速共軛原理計算出的離散齒包絡(luò)曲線，用橢圓波發(fā)生器驅(qū)動圓截面離散齒時，剛輪齒廓曲線的計算方式如圖2所示.

圖2 剛輪齒廓曲線形成原理

圖2所示為剛輪齒廓曲線形成原理圖，圖中，xOy為固定坐標系，x'Oy'為離散齒輪的連體坐標系，x″Oy″為波發(fā)生器連體坐標系，r為離散齒半徑，a為波發(fā)生器長軸半徑，b為波發(fā)生器短軸半徑.令波發(fā)生器在任意時刻轉(zhuǎn)角為j，與此同時離散齒架帶動離散齒相對于旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過h，轉(zhuǎn)角j和h 滿足傳動比:h=j/i，令 a0=a+r，b0=b+r，ρ為離散齒中心O'到旋轉(zhuǎn)中心O的距離，則離散齒中心運動路徑為

由此可得剛輪齒廓曲線的坐標表達式:

3 剛輪齒廓曲線優(yōu)化模型建立

3.1優(yōu)化設(shè)計變量

根據(jù)剛輪齒廓曲線方程可知，在傳動比確定的情況下，剛輪齒廓曲線可由波發(fā)生器長半軸a，短半軸b以及離散齒半徑r確定，因此設(shè)這3個參數(shù)為剛輪齒廓曲線的優(yōu)化設(shè)計變量.令X=(x1，x2，x3)T=(a，b，r)T

3.2 建立目標函數(shù)

剛輪齒廓齒形壓力角αn為剛輪與離散齒嚙合點的法線方向n-n與離散齒中心的圓切線運動方向之間所夾的銳角，見圖 3，其中 αn=α2－α1，α1=h=j/i，α2通過式(4)、式(5)確定.壓力角αn越小，剛輪齒廓與離散齒嚙合副傳遞的力越大，運動表面摩擦越小，嚙合效率越高.

圖3 壓力角示意圖

通過計算，在剛輪齒廓齒頂與齒根處，剛輪齒廓齒形壓力角較大，而在剛輪齒廓腹部，剛輪齒廓齒形壓力角達到最小.并且波發(fā)生器長、短半軸之差越小，剛輪齒廓齒形壓力角越大，而離散齒半徑對壓力角的影響較小.因此，以在某參數(shù)下剛輪齒廓齒形壓力的最小值αnmin最小為優(yōu)化設(shè)計目標，使離散齒諧波傳動嚙合效率達到最優(yōu)化.

3.3 約束條件

優(yōu)化設(shè)計過程中，在達到性能最優(yōu)化的同時，還需滿足相應的約束條件.

1)避免剛輪齒廓發(fā)生頂切約束條件.若剛輪齒廓未發(fā)生頂切，即剛輪齒廓曲線是連續(xù)的，傳動重合度最大，嚙合離散齒為離散齒總數(shù)的一半［7］.此時傳動平穩(wěn)性最好，承載能力最強.離散齒結(jié)構(gòu)參數(shù)變化會導致剛輪齒廓發(fā)生頂切，此時離散齒與剛輪齒廓實際嚙合段將減小，嚙合離散齒數(shù)量減少，影響傳動平穩(wěn)性及承載能力.由分析，a，b差值越大，r值越大，剛輪齒廓越不平緩，越容易發(fā)生頂切.在進行剛輪齒廓齒形壓力角最優(yōu)化，提高傳動效率的同時，希望剛輪齒廓不要發(fā)生頂切，即能保證裝置具有良好的傳動性能.

避免剛輪齒廓發(fā)生頂切的條件是，剛輪齒廓理論曲線(即離散齒中心的運動路徑)齒頂處的曲率半徑小于離散齒半徑，見式(8).

式中，k為剛輪齒廓理論曲線齒頂處的曲率，可通過式(2)、式(3)求導確定.

2)保證正常傳動約束條件.在波發(fā)生器與剛輪齒廓之間存在離散齒體，為保證傳動的連續(xù)性，當離散齒運動到齒根時，離散齒不能脫離離散齒槽，離散齒體外圈半徑需滿足:

當離散齒運動到齒頂時，離散齒也不能脫離離散齒槽，則離散齒體內(nèi)圈半徑需滿足:

在保證離散齒體擁有足夠的寬度之后，還需滿足不干涉條件:離散齒體外圈不與剛輪齒廓齒頂發(fā)生干涉，內(nèi)圈不與波發(fā)生器長半軸發(fā)生干涉.即滿足:

聯(lián)立上述式(9)～式(12)不等式，可得到在保證正常傳動情況下的參數(shù)關(guān)系:

3)強度約束條件.離散齒諧波傳動結(jié)構(gòu)是過約束機構(gòu)，受力復雜，每個離散齒在傳動過程中，與波發(fā)生器、剛輪以及離散齒體3處發(fā)生嚙合，設(shè)其嚙合力分別為 FHi，F(xiàn)Ki，F(xiàn)Si.在計算嚙合處受力時，需考慮力平衡方程以及變形協(xié)調(diào)方程，通過連續(xù)取波發(fā)生器輸入角的值可以求出離散齒由進入到退出嚙合.

離散齒處于工作狀態(tài)時，3處嚙合副可分別看成兩同軸圓柱體的接觸.由赫茲公式可知，接觸應力表達式為［8］

式中，F(xiàn)為嚙合力 FHi，F(xiàn)Ki，F(xiàn)Si;Lb為離散齒寬度;ρ1，ρ2為接觸處兩物體的曲率半徑;μ1，μ2為泊松比;E1，E2為彈性模量.通過編程計算可求出離散齒與波發(fā)生器、剛輪以及離散齒體的最大接觸應力值σHM，σKM，σSM，在對離散齒諧波傳動結(jié)構(gòu)中剛輪齒廓曲線參數(shù)進行優(yōu)化設(shè)計時，各參數(shù)下計算的最大接觸應力均需分別小于各嚙合構(gòu)件材料的許用接觸應力［σ］H，［σ］K，［σ］S.

4 設(shè)計計算實例

已知離散齒諧波傳動機構(gòu)，其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)為:波發(fā)生器的長半軸和短半軸分別為 a=72 mm，b=69 mm，r=5 mm，Lb=15 mm，離散齒齒數(shù)ZG=24，剛輪齒廓齒數(shù)ZK=22，假設(shè)彈性模量E=210 GPa，泊松比 μ=0.3，輸出力矩為 280 N·m，σH=σK=2 300 MPa，σS=1 200 MPa，優(yōu)化計算結(jié)果經(jīng)圓整后見表1.

表1 離散齒諧波傳動機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)圓整后優(yōu)化計算結(jié)果

優(yōu)化前后齒形對比如圖4所示.

圖4 優(yōu)化前后齒形對比

優(yōu)化計算結(jié)果表明:在滿足約束條件的情況下，剛輪齒廓最小壓力角αnmin減小了18%，使離散齒諧波傳動嚙合效率得以提高.

5 結(jié)論

通過建立離散齒諧波傳動結(jié)構(gòu)剛輪齒廓齒形優(yōu)化設(shè)計模型，提出了優(yōu)化設(shè)計方法，使傳動嚙合效率得到提高，為進行機型設(shè)計時剛輪齒廓齒形的確定提供了理論依據(jù)，具有實際工程意義.計算結(jié)果表明，用上述算法對剛輪齒廓曲線進行優(yōu)化，能夠得到優(yōu)質(zhì)的剛輪齒廓曲線，有效提高傳動嚙合效率.

References)

［1］Chen Xiaoxia，Lin Shuzhong，Xing Jingzhong.Modeling of flexspline and contact analyses of harmonic drive［J］.Key Engineering Materials，2010:419－420，597－600

［2］GaoWei，F(xiàn)urukawaM，KiyonoS，etal.Cuttingerror measurement of flexspline gears of harmonic speed reducers using laser probes［J］.Precision Engineering，2004，28(3):358－363

［3］Kayabasi O，Erzincanli F.Shape optimization of tooth profile of a flexspline for a harmonic drive by finite element modeling［J］.Materials and Design，2007，28(2):441－447

［4］Ostapski W.Analysis of the stress state in the harmonic drive enerator-flexspline system in relation to selected structural arameters and manufacturing deviations［J］.Technical Sciences，2010，58(4):683－698

［5］毛彬彬.諧波齒輪的齒形研究和發(fā)展概述［J］.煤礦機械，2008，29(7):6－8

Mao Binbin.Research and development outlined of tooth profile of harmonic gear［J］.Coal Mine Machinery，2008，29(7):6－8(in Chinese)

［6］陳仕賢.離散齒諧波傳動:中國，200810172261.6［P］.2008-11-04

Chen Shixian. Discrete teeth harmonic drives:China，200810172261.6［P］.2008-11-04(in Chinese)

［7］曲繼方.活齒傳動理論［M］.北京:機械工業(yè)出版社，1993:125－139

Qu Jifang.Theory of movable teeth transmission［M］.Beijing:China Machine Press，1993:125－139(in Chinese)

［8］章希勝，武震，張景春.機械零件的接觸應力計算［J］.機械，2000，27(1):24－26

Zhang Xisheng，Wu Zhen，Zhang Jingchun.The calculation of mechanic parts contacting［J］.Machinery，2000，27(1):24－26(in Chinese)