付耀龍，溫澤勝，張喜和

(1.長春理工大學，長春 130022;2.中國石油集團東北煉化工程有限公司 吉林機械制造分公司，吉林省 吉林市 132000)

0 引言

長脈沖激光對半導體的破壞主要以熱破壞為主［1］。當半導體受到激光輻照的時候，由于吸收激光的能量，從而在材料體內產(chǎn)生不均勻分布的瞬態(tài)溫度場［2］。當激光功率密度不高的情況下時，材料表面僅發(fā)生簡單的加熱現(xiàn)象;在中等功率密度下材料將發(fā)生熔融或汽化。激光作用于材料的加熱效應與激光參數(shù)和材料特性以及其表面狀況有著密切的關系，物理過程很復雜。文中采用軸對稱模型，在高斯長脈沖激光的輻照下，在不考慮材料的熱物性參數(shù)隨溫度變化的情況下，用Matlab軟件模擬了長脈沖高斯激光輻照硅材料的溫升分布，并分析了激光能量和輻照時間對硅材料溫升的影響。

1 理論模型

假設入射激光呈高斯分布形狀，建立了空間軸對稱模型，見圖1所示。硅材料厚度為h，半徑為b，作用激光光斑半徑為a0。

三維熱傳導方程在柱坐標系下可表示為:

T為溫度，t、c、K、分別為時間變量、比熱容、熱導率，ρ為材料密度，A(x，y，z，t)為每單位時間、單位體積傳遞給固體材料的加熱速率。實際中材料的熱物理參數(shù)是關于溫度的函數(shù)，因此上面方程是非線性的，很難得到解析解。事實上大部分材料的熱物性參數(shù)隨溫度的變化并不明顯，所以通?？杉俣ú牧蠠嵛锢韰?shù)不隨溫度變化，取其平均值進行計算，這樣方程(1)才可能得到解析解。

為了求解熱傳導方程，進行如下的假定［3］:

(1)被加熱材料是各向同性的;

(2)材料的熱物性參數(shù)是常數(shù);

(3)忽略材料表面的對流和輻射散熱，只考慮材料表面的熱傳導;

假定激光的光強分布是呈高斯型的，這時材料表面的激光功率密度為

其中P0為光束中心的功率密度，a為光束的高斯半徑。

長脈沖激光輻照下半導體材料的溫度可用下式表示:

2 計算結果和討論

2.1 激光和材料參數(shù)

根據(jù)上面的溫度場表達式，采用Matlab軟件對激光輻照硅材料的溫度場進行了模擬，在計算中，模型如圖1所示，取b=2mm，h=1mm，作用激光波長為1064nm，激光能量取50J、70J，激光半徑取1mm，激光脈寬取1ms。硅材料參數(shù)如表1所示。

1 長脈沖激光輻照硅材料的理論模型示意圖

表1 硅材料參數(shù)

2.2 計算結果和分析

圖2和圖3為采用Matlab模擬高斯光束的長脈沖激光輻照硅材料的徑向溫升情況。

圖2 功率密度P=2.3×106 W/cm2的激光輻照硅材料的徑向溫升分布圖

圖3 功率密度P=1.6×106 W/cm2的激光輻照硅材料的徑向溫升分布圖

圖2為激光光斑半徑為1mm，脈寬為1ms，激光能量為70J，功率密度為P=2.3×106W/cm2的激光輻照硅材料的徑向溫升分布圖。從圖2(a)可以看出隨著激光作用時間的增加，硅表面的溫升逐漸上升，并且激光輻照中心區(qū)域的溫度上升的最快，沿徑向逐漸降低，這恰好說明了入射激光在上表面呈高斯分布的特征。在t=1.3ms時，上表面中心點溫度達到1202K。圖2(b)看出在固定時間，溫度隨徑向距離的增大而減小，在固定的位置，溫度隨時間的增大而增大。

圖3為激光光斑半徑為1mm，脈寬為1ms，激光能量為50J，激光功率密度P=1.6×106W/cm2時激光輻照硅材料的徑向溫升分布圖?？梢钥闯?，在固定時間，溫度隨熱擴散距離的增大而減小，在固定位置，溫度隨時間的增大而增大。在t=1.3ms，激光功率為P=1.6×106W/cm2時，上表面中心點溫度達到831.8K。

圖4 功率密度P=1.6×106 W/cm2的激光輻照硅材料的全場溫升分布圖

圖5 功率密度P=2.3×106 W/cm2的激光輻照硅材料的全場溫升分布圖

圖4 和圖5分別為激光功率密度不同，輻照時間不同的全場溫度分布圖。從圖中可以看出:當激光輻照硅材料時，中心點溫度迅速上升，而且溫升速率很大，輻照時間越長，激光輻照區(qū)域溫升上升越快。隨著徑向與軸向方向的延伸，溫升變化逐漸減小。

3 結論

利用熱傳導方程建立了長脈沖高斯激光與硅材料相互作用模型。通過Matlab軟件數(shù)值模擬了長脈沖激光輻照硅材料的徑向與全場溫升分布。結果表明:

(1)當激光作用在硅材料上時，材料輻照區(qū)域溫度迅速升高，表面的溫升分布與入射激光束光強分布有相同特征，都呈高斯分布，并且中心溫度最高，隨著徑向與軸向的延伸，溫度逐漸降低;

(2)在某一固定時刻，不同激光功率密度的全場溫升分布不同;激光功率密度相同的情況下不同時刻的全場溫度分布也不同;

(3)改變激光能量，材料表面的溫升不同，激光能量越大，材料表面的溫升越快;激光能量相同時，不同的輻照時間其溫升分布也不同，輻照時間越長，材料表面中心的溫升分布越高。對數(shù)學建模成績的影響也比較大;省一等獎、省二等獎的指標，分別為0.162和0.148，對數(shù)學建模成績的影響略低于前兩項;最后，省三等獎影響相對于其他幾項較小，它的權重為0.063。結合得出的權重，我們得到如下的吉林省各高校數(shù)學建模成績排名。

從上表中我們可以知道，在本科組中排名前五的學校有:吉林大學、長春理工大學、吉林化工學院、東北電力大學、長春工業(yè)大學、吉林大學、長春理工等三所學校的評價得分較高，在吉林省賽區(qū)名列前茅，同時也說明了吉林大學、長春理工大學、吉林化工學院等院校師資力量非常雄厚，并且對數(shù)學競賽活動工作十分重視。

［1］韓中庚.數(shù)學建模方法與應用［M］.北京:高等教育出版社，2版.2005.6.

［2］劉宏.綜合評價中指標權重確定方法的研究［J］.河北工業(yè)大學學報，1996(4):44-46.

［3］阮曉青.數(shù)學建模引論［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［4］朱少平.企業(yè)競爭力評價指標體系及模糊判斷［J］.陜西經(jīng)貿學院報，2002(5):57-58.

［5］胡曉冬.matlab從入門到精髓［M］.北京:人民郵電出版社，2010.