劉麗軍，蔡金錠

(福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州350108)

1 引言

近年來多種啟發(fā)式優(yōu)化算法如遺傳算法、Tabu算法、模擬退火算法等被用來求解電力系統(tǒng)無功電壓優(yōu)化控制問題［1－4］。改善了電力系統(tǒng)電壓質(zhì)量不穩(wěn)定、電能損耗比較大的狀況。但這類算法也存在容易陷入局部最優(yōu)、后期搜索效率不高的問題。

許多文獻(xiàn)驗(yàn)證，在同樣求解精度條件下，Tabu算法可節(jié)約20%的求解時(shí)間［5］。但常規(guī)Tabu算法對(duì)初始解具有較強(qiáng)的依賴性，且可能在大范圍(超出禁忌表長(zhǎng))內(nèi)迂回搜索。模擬退火能以較大的概率獲得全局最優(yōu)，要求退火過程不能太快，使得算法收斂較緩慢。遺傳算法適用范圍比較廣，尋優(yōu)能力較強(qiáng)，程序?qū)崿F(xiàn)簡(jiǎn)單，適合于求解類似無功規(guī)劃優(yōu)化等復(fù)雜非線性優(yōu)化問題，但計(jì)算速度比較慢。與遺傳算法相比，粒子群算法的信息共享機(jī)制很不同:在遺傳算法中，染色體互相共享信息，整個(gè)種群的移動(dòng)是比較均勻地向最優(yōu)區(qū)域移動(dòng)，在粒子群優(yōu)化算法中，信息單向流動(dòng)，即只有粒子歷史最優(yōu)位置gbest將信息傳給其他的粒子，搜索更新過程跟隨當(dāng)前最優(yōu)解。據(jù)實(shí)驗(yàn)分析可得出粒子群優(yōu)化算法在多數(shù)的情況下，比遺傳算法更快地收斂于最優(yōu)解［6］。

粒子群算法［7］因其簡(jiǎn)單易行，優(yōu)化效率高，魯棒性較好等特點(diǎn)，能方便地被用于求解帶離散變量的非線性、不連續(xù)、多約束、多變量的復(fù)雜優(yōu)化問題中［8-9］。PSO種群的初始化一般隨機(jī)生成，和遺傳算法類似，也存在如早熟與速度爆炸等問題，即算法前期搜索速度較快，但搜索后期粒子不斷向個(gè)體最優(yōu)和群體最優(yōu)兩個(gè)“最優(yōu)值”靠近，粒子漸趨同一化，極易收斂于局部而不是全局最優(yōu)。

本文提出一種自適應(yīng)強(qiáng)引導(dǎo)粒子群的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化算法即在粒子群無功優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上引入強(qiáng)引導(dǎo)思想［10－11］，在搜索初期，利用外推對(duì)粒子位置的更新加以引導(dǎo)，解決傳統(tǒng)粒子群算法隨機(jī)性較強(qiáng)的問題，利用群體適應(yīng)度方差判別種群的多樣性，并相應(yīng)調(diào)整變異概率以作出變異判別實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)調(diào)整全局和局部搜索能力，更有利于跳出局部最優(yōu)，可以更有效地搜索到全局最優(yōu)解。

2 無功優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

2.1 目標(biāo)函數(shù)

在保證系統(tǒng)無功平衡的條件下，以發(fā)電機(jī)端電壓、有載調(diào)壓變壓器電壓比、補(bǔ)償?shù)碾娙萜魅萘康瓤刂谱兞繛榭刂剖侄危越档拖到y(tǒng)網(wǎng)絡(luò)損耗、改善電能質(zhì)量為目標(biāo)，其目標(biāo)函數(shù)如下:其中，nG、nL、n分別為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)總數(shù)、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、網(wǎng)絡(luò)所有支路數(shù);Ploss為系統(tǒng)有功損耗;Ui、Uimax和Uimin為節(jié)點(diǎn)電壓、節(jié)點(diǎn)電壓上限和下限;QGi、QGimax和QGimin為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)無功出力、無功出力上限和下限;λv、λQ為相應(yīng)的越界懲罰系數(shù);Uilim、QGilim的取值為

2.2 變量約束

狀態(tài)變量即發(fā)電機(jī)無功功率QGi和負(fù)荷節(jié)點(diǎn)電壓Ui以及控制變量電容器補(bǔ)償容量QCi、可調(diào)變壓器電壓比Ti和發(fā)電機(jī)端電壓的UGi約束如下:

2.3 功率約束方程

功率約束方程見式(4)。式中，PGi、QGi分別為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)有功、無功出力;PLi、QLi分別為負(fù)荷節(jié)點(diǎn)有功、無功功率;Gij、Bij、δij分別為節(jié)點(diǎn)i、j之間的電導(dǎo)、電納和電壓相角差;n為節(jié)點(diǎn)總數(shù);nPQ為系統(tǒng)PQ節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

3 粒子群算法及其實(shí)現(xiàn)

3.1 粒子群算法基本原理

在d維的目標(biāo)搜索空間中，PSO初始化為n個(gè)隨機(jī)粒子，其中第i個(gè)粒子表示為一個(gè)d維的位置向量xi=(xi1，xi2，…xid)，i=1，2，…n。每個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的空間位置都是一個(gè)潛在解，把空間位置向量xi代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算出相應(yīng)的適應(yīng)值f(xi)，根據(jù)適應(yīng)值評(píng)價(jià)粒子xi的優(yōu)劣。對(duì)于最小化問題，目標(biāo)函數(shù)值越小，對(duì)應(yīng)的適應(yīng)值越理想。第i個(gè)粒子的飛行速度以d維向量:vi=(vi1，vi2，…vid)，i=1，2，…n表示，第i個(gè)粒子以及整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置分別為pgs=(pg1，pg2，…pgd)和pis=(pi1，pi2，…pid)，i=1，2，…n。粒子根據(jù)式(5)和式(6)來更新自己的飛行速度和位置［12-13］:

式中，x(t+1)id、x(t)id、v(t+1)id、v(t)id分別表示第i個(gè)粒子在t+1和t次迭代的空間位移與運(yùn)動(dòng)速度;ω為慣性系數(shù)，按式(7)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整隨進(jìn)化線性減少［14］。ωmax、ωmin慣性系數(shù)上下限;itermax、iter分別表示迭代最大值和當(dāng)前迭代次數(shù);非負(fù)常數(shù)c1、c2是學(xué)習(xí)因子，分別表示粒子個(gè)體和群體的加速權(quán)重;r1、r2分別表示與粒子個(gè)體及群體加速權(quán)重系數(shù)相關(guān)的隨機(jī)初值，為［0，1］間的隨機(jī)數(shù);為防止粒子逃離解空間，每維粒子速度vid∈［－vmax，vmax］，迭代終止條件一般為設(shè)定的最大迭代次數(shù)或粒子群已搜索到的最優(yōu)位置滿足預(yù)定最小適應(yīng)閾值。

3.2 強(qiáng)引導(dǎo)型粒子群算法

本文的粒子群算法引入強(qiáng)引導(dǎo)思想，結(jié)合隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生虛擬位置，搜索過程較傳統(tǒng)的PSO尋優(yōu)位置更新多樣化。結(jié)果表明該算法在穩(wěn)定性、收斂性以及搜索效率上比基本粒子群算法有明顯的改進(jìn)。

設(shè)兩個(gè)變量x1=(x11，x12，…x1n)，x2=(x21，x22，…x2n)，xi∈［ximin，ximax］，i=1，2，…n，且f(x1)＜f(x2)，利用外推技巧調(diào)節(jié)變量得x3=(x31，x32，…x3n)則x3i=x1i+k(x1i－x2i)，使f(x3)＜f(x1)＜f(x2)成立。

其中，k＞0為調(diào)節(jié)系數(shù)，決定調(diào)節(jié)的幅度，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取0.1。

對(duì)于單變量函數(shù)f(x)利用外推調(diào)節(jié)原理求極小值的情況［11］。設(shè)變量x1、x2，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為f(x1)、f(x2)，非極值，且f(x1)＜f(x2)，則

若x1＞x2，可通過式(8)得x3＞x1，滿足f(x3)＜f(x1)。

若x1＜x2，可通過式(8)得x3＜x1，滿足f(x3)＜f(x1)。

利用粒子適應(yīng)值的差異引導(dǎo)外推方向［11］。結(jié)合隨機(jī)數(shù)，使PSO位置更新式(6)在粒子附近產(chǎn)生虛擬位置，表示粒子尚未達(dá)到最優(yōu)點(diǎn)時(shí)，連續(xù)函數(shù)在它附近存在適應(yīng)值更小即更優(yōu)點(diǎn)如式(9)，其中:rand［］∈［0，1］。

結(jié)合式(8)和式(9)得到下一個(gè)虛擬位置

將式(9)代入式(10)整理得到

對(duì)多變量?jī)?yōu)化問題，每個(gè)粒子位置分量較多，使某些分量非常接近甚至相同的兩個(gè)粒子，此時(shí)對(duì)虛擬位置的更新變化不大。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)可在式(11)后加上ε作為幅度微調(diào)算子［10］，當(dāng)|x1－x2|較小加強(qiáng)微調(diào)幅度，一般隔10代判斷進(jìn)化效果，若效果差，則逐步減小微調(diào)幅度。得位置公式［15］:搜索過程利用式(5)、式(7)和式(12)更新粒子的速度和位置。

3.3 自適應(yīng)強(qiáng)引導(dǎo)粒子群

3.3.1 粒子種群多樣性測(cè)試

PSO算法在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，搜索初期收斂速度比較快，但到后期可能所有粒子的速度漸趨為零，使種群失去進(jìn)一步進(jìn)化的能力，粒子聚集在一起，易陷入局部最優(yōu)即種群多樣性損失過快。搜索過程各粒子的位置通過適應(yīng)度函數(shù)值來體現(xiàn)，通過種群中所有粒子適應(yīng)度函數(shù)值的變化來實(shí)現(xiàn)對(duì)各粒子聚集程度的描述。本文選取群體適應(yīng)度方差作為測(cè)試種群多樣性指標(biāo)。群體適應(yīng)度方差σ2為［16］:

其中，粒子總數(shù)為n;第i個(gè)粒子適應(yīng)度函數(shù)值為fi;favg為群體目前的平均適應(yīng)度;f為歸一化定標(biāo)因子，其作用是限制σ2的大小，取值為:

群體適應(yīng)度方差σ2用于反映粒子群中所有粒子的收斂程度即種群中各個(gè)體相互間的分布離散程度，其值越小，粒子群越趨于收斂，種群越集中，多樣性越差;反之，粒子群處于隨機(jī)搜索階段。

3.3.2 速度自適應(yīng)變異操作

為讓粒子在算法搜索過程漸趨于停滯時(shí)重新激活使之朝新方向搜索，自適應(yīng)變異的引入應(yīng)根據(jù)群體的聚集程度來決定即變異概率的大小隨σ2的大小而變化。本文采用的變異概率pm為其中，pm、σ2m分別表示第m次迭代中群體全體極值的變異概率、群體適應(yīng)度方差;pmax、pmin分別為當(dāng)前變異概率的最大值、最小值。

從式(15)可看出，適應(yīng)度方差越小，種群越集中，多樣性越差，全局極值的變異概率越大;反之，全局極值的變異概率越小。算法可根據(jù)群體中粒子位置狀態(tài)自適應(yīng)地調(diào)整變異概率，以跳出局部最優(yōu)。

本文采用的變異策略是在強(qiáng)引導(dǎo)粒子群搜索的基礎(chǔ)上在對(duì)所有粒子速度的各維配置分布于［0，1］的隨機(jī)數(shù)γ，如果γ小于由式(15)得到的變異概率pm，則該粒子速度的該維向量在解空間初始化:

其中，vid為第i個(gè)粒子速度向量的第d個(gè)分量;vmax、vmin為vid的上、下限;變異操作后，搜索過程仍記憶粒子迄今找到的最優(yōu)位置，對(duì)n個(gè)粒子實(shí)施上述變異操作，則種群變異完成，進(jìn)入新一輪的強(qiáng)引導(dǎo)粒子群尋優(yōu)，尋求全局最優(yōu)解。

4 基于自適應(yīng)強(qiáng)引導(dǎo)粒子群的電力系統(tǒng)無功優(yōu)化實(shí)現(xiàn)過程

本文的優(yōu)化算法，首先初始化一個(gè)規(guī)模為n的種群，設(shè)定粒子的各邊界條件，在滿足控制變量約束條件下隨機(jī)賦予各粒子初始位置和速度，解算潮流，評(píng)估粒子適應(yīng)度。引入強(qiáng)引導(dǎo)思想對(duì)粒子速度和位置進(jìn)行更新，重新評(píng)估粒子的適應(yīng)度，更新個(gè)體最優(yōu)pis和全局最優(yōu)pgs。利用式(14)計(jì)算出群體適應(yīng)度方差值σ2，據(jù)式(15)得出變異概率pm，產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)γ，據(jù)式(16)判斷是否進(jìn)行變異操作，若是則對(duì)n個(gè)粒子都實(shí)施上述變異操作，則種群變異完成，進(jìn)入新一輪的強(qiáng)引導(dǎo)粒子群尋優(yōu)搜索，尋求全局最優(yōu)解。對(duì)算例利用強(qiáng)引導(dǎo)粒子群進(jìn)行搜索后，若未達(dá)到設(shè)定的最大迭代次數(shù)或滿足收斂標(biāo)準(zhǔn)，更新粒子速度和位置，重新更新個(gè)體最優(yōu)pis和全局最優(yōu)pgs，反之，輸出計(jì)算結(jié)果。改進(jìn)的算法改善了粒子群算法擺脫局部極值點(diǎn)的能力，提高了算法的收斂性和精度。具體實(shí)現(xiàn)過程如圖1所示。

圖1 無功優(yōu)化流程圖Fig．1 Flow chart of reactive power optimization

5 結(jié)果分析

如圖2示，系統(tǒng)有25條支路，15臺(tái)變壓器，2個(gè)電源節(jié)點(diǎn)，17個(gè)負(fù)荷節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)9為系統(tǒng)的平衡節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)都為PQ節(jié)點(diǎn)。PQ節(jié)點(diǎn)電壓限值0.95～1.05pu，PV節(jié)點(diǎn)電壓限值為0.9～1.1pu，可調(diào)變壓器共10臺(tái)，電壓比為0.9～1.1，12個(gè)待補(bǔ)償點(diǎn)，可調(diào)電容器容量限值為0～0.5pu，粒子數(shù)目為50，最大迭代次數(shù)為50。c1=c2=1.8，ω從1.0到0.4按式(7)隨進(jìn)化線性減少，k=0.10，ε=10－6*rand［］。算例初始潮流網(wǎng)損為3.745MW，最低電壓為0.8950pu。采用遺傳(GA)、模擬退火(SA)、傳統(tǒng)粒子群(PSO)、強(qiáng)引導(dǎo)粒子群(IPSO)、強(qiáng)引導(dǎo)與混沌優(yōu)化(ICPSO)以及本文算法(AIPSO)等不同方法按精度10－4運(yùn)行50次所得結(jié)果如表1和表2所示。本文算法優(yōu)化后平均降損率為12.20%，最優(yōu)降損率可達(dá)15.3%，最低電壓為0.9973pu，雖然平均無功補(bǔ)償量及計(jì)算時(shí)間需求較某些方法略高，但從降損、電壓質(zhì)量提高的總體效果充分說明采用自適應(yīng)強(qiáng)引導(dǎo)粒子群較傳統(tǒng)人工智能算法具備更強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力。

圖2 高壓配電網(wǎng)接線圖Fig．2 Diagram of high voltage distribution network

表1 幾種不同優(yōu)化方法結(jié)果比較Tab．1 Comparison of several different optim ization methods

表2 三種算法尋優(yōu)過程解的比較Tab．2 Comparison of results of three different optimization methods

6 結(jié)論

本文提出的自適應(yīng)強(qiáng)引導(dǎo)粒子群無功優(yōu)化算法，改善傳統(tǒng)粒子群隨機(jī)性較強(qiáng)、后期搜索速度較緩慢的問題，搜索初期對(duì)粒子位置的更新加以引導(dǎo)，為進(jìn)一步讓強(qiáng)引導(dǎo)粒子在算法陷入搜索趨于停滯時(shí)，自適應(yīng)變異粒子搜索方向重新激活粒子使之朝新方向搜索，根據(jù)群體的適應(yīng)度方差判別群體的聚集程度并相應(yīng)調(diào)整變異概率作出變異判別實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)更新粒子位置和速度，更有利于跳出局部最優(yōu)，可有效地搜索到全局最優(yōu)解。采用幾種算法對(duì)福建某高壓配電網(wǎng)的具體分析計(jì)算，從表1、表2降損、電壓質(zhì)量提高、收斂時(shí)間、搜索解的平均值與最差值的差距小所表明的結(jié)果，穩(wěn)定性等總體效果充分說明采用自適應(yīng)強(qiáng)引導(dǎo)粒子群應(yīng)用在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化問題的可行性和有效性。

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