陳旭勇

(武漢工程大學(xué)環(huán)境與城市建設(shè)學(xué)院, 湖北 武漢430074)

0 引 言

優(yōu)化搜索法是進(jìn)行非概率可靠性研究的主要工具，其主要計(jì)算量花費(fèi)在搜索驗(yàn)算點(diǎn)，避免了區(qū)間運(yùn)算，因此，不存在區(qū)間擴(kuò)張的問題.驗(yàn)算點(diǎn)又稱最可能失效點(diǎn)(Most Probable failure Point，簡稱MPP)，可用于判定結(jié)構(gòu)的安全可靠性能.非概率可靠性指標(biāo)本質(zhì)上是標(biāo)準(zhǔn)化空間中坐標(biāo)原點(diǎn)到失效面的最短距離(按無窮范數(shù)度量)，即坐標(biāo)原點(diǎn)到MPP的距離，其求解過程是一個有等式約束的優(yōu)化問題.在極限狀態(tài)函數(shù)不是很復(fù)雜的情況下，郭書祥[1]提出了3種計(jì)算方法：定義法、轉(zhuǎn)換法及優(yōu)化法.這些方法各有其特點(diǎn)和不足，對于定義法，在極限狀態(tài)方程較復(fù)雜的情況下，計(jì)算工作量非常大，甚至計(jì)算無法實(shí)施；轉(zhuǎn)換法主要實(shí)用于區(qū)間變量的單調(diào)性易于確定的情況，但對于非線性方程，多數(shù)區(qū)間變量的單調(diào)性不易確定；而優(yōu)化法是一種近似解法，且對于復(fù)雜函數(shù)，其上、下邊界往往不易求得.也可以經(jīng)簡單優(yōu)化法求解[2]，一般情況下，極限狀態(tài)函數(shù)形式復(fù)雜，沒有統(tǒng)一規(guī)律可循，需要采用優(yōu)化、加速、迭代進(jìn)行搜索求解.羅陽軍等[3]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)非線性程度較高時(shí)，迭代過程經(jīng)常會發(fā)生迂回振蕩現(xiàn)象，甚至不收斂.為了解決此問題，在Hasofer-Lind Rackwitz-Fiessler(HL-RF)算法的基礎(chǔ)上，針對非概率可靠性指標(biāo)的計(jì)算，以夾角θ值的相對大小為檢測嚴(yán)重迂回振蕩的判據(jù)，提出了一種能有效消除迂回振蕩的修正迭代算法.馬超等[4]針對凸集模型比例因子的非概率可靠性指標(biāo)相對隱式極限狀態(tài)方程難以求解問題，提出一種基于支持向量機(jī)(support vector machine, 簡稱SVM)回歸的非概率可靠性指標(biāo)分析方法.針對區(qū)間運(yùn)算非概率可靠性指標(biāo)擴(kuò)張的問題，文獻(xiàn)[5]利用仿射型表示變量的不確定性，由仿射運(yùn)算計(jì)算出結(jié)構(gòu)的響應(yīng)區(qū)間(功能函數(shù)的上下界)，并由響應(yīng)區(qū)間與其許用區(qū)間獲得非概率可靠性指標(biāo).江濤等提出了響應(yīng)面法的非概率可靠性指標(biāo)求解[6]，主要通過多樣本點(diǎn)進(jìn)行響應(yīng)面的擬合，再求解非概率可靠性指標(biāo)，通過計(jì)算驗(yàn)證了所提方法的有效性，但該方法沒有明確樣本點(diǎn)選擇多少是合適的.江濤等[7]提出了一維優(yōu)化算法，證明了非概率可靠性指標(biāo)只可能存在于標(biāo)準(zhǔn)化區(qū)間變量張成的對稱凸域及其擴(kuò)展空間中通過原點(diǎn)和凸域頂點(diǎn)的有限條射線與失效面的某一個交點(diǎn)處，在此證明的基礎(chǔ)上提出了求取非概率可靠性指標(biāo)的一維優(yōu)化方法，該方法將求取非概率可靠性指標(biāo)轉(zhuǎn)化成有限個一元代數(shù)方程的求根問題.一維優(yōu)化方法能很好的計(jì)算非概率可靠性指標(biāo)，優(yōu)于其它計(jì)算方法，但當(dāng)方程的變量較多時(shí)，計(jì)算量較大.在此基礎(chǔ)上，陳旭勇等[8]提出了改進(jìn)一維優(yōu)化算法，使得非概率可靠性指標(biāo)的計(jì)算量極大減小，但主要針對極限狀態(tài)方程明確的求解.總體來說，通用的有效搜索方法并不存在，原因是算法上客觀存在數(shù)學(xué)困難，但研究者們根據(jù)具體的研究對象可以尋求解決問題的途徑.因此，為了非概率可靠性理論在實(shí)踐工程中得到有效利用，發(fā)展一種有效的非概率可靠性計(jì)算方法是必要的.

1 非概率響應(yīng)面法

1951年，Box和Wilson最早提出了響應(yīng)面法(RSM)，通過一系列的輸入與對應(yīng)的響應(yīng)擬合一個近似功能函數(shù)，用近似功能函數(shù)模擬實(shí)際功能函數(shù).實(shí)際工程中，極限狀態(tài)方程一般沒有解析表達(dá)式，結(jié)構(gòu)是用有限元分析得到相應(yīng)數(shù)值，因此，傳統(tǒng)的可靠性方法不能求解.在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)aravelli等[9]首次將響應(yīng)面法引入到概率模型中求解可靠性問題，此后，響應(yīng)面法在概率模型中得到了極大的發(fā)展并用于實(shí)踐工程中.響應(yīng)面法中近似的響應(yīng)面函數(shù)的模擬精度和計(jì)算效率是最關(guān)心的問題，函數(shù)的次數(shù)越高，模擬的精度將越高，所需的樣本點(diǎn)越多，其計(jì)算量較大，效率比較低，同時(shí)，精度不一定有較大的提高.因此，找到一計(jì)算效率高且模擬精度也高的響應(yīng)面是科學(xué)家關(guān)心的問題.大量的研究顯示，二次多項(xiàng)式能兼顧精度和效率的要求.蘇永華等[10]對含一次項(xiàng)及二次交叉項(xiàng)與不帶交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式的響應(yīng)面函數(shù)進(jìn)行了對比研究，發(fā)現(xiàn)兩者精度相差不大，但后者的計(jì)算效率高得多.程進(jìn)[11]對5種響應(yīng)面函數(shù)模型進(jìn)行對比分析，得出了不帶交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式的響應(yīng)面函數(shù)所需樣本點(diǎn)最少，但計(jì)算精度較高的結(jié)論.因此，工程中一般用不帶交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式的RSM法進(jìn)行求解.構(gòu)造失效面函數(shù)：

(1)

式(1)中：a，bi(i= 1,2，…,n)，ci(i= 1,2，…,n)均為待定系數(shù)，共2n+1個待定系數(shù).

對于結(jié)構(gòu)的非概率可靠性求解，計(jì)算中需進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析、方程組求解、非概率可靠性指標(biāo)的求解.因此，要用到兩個工具，如結(jié)構(gòu)分析可采用商業(yè)有限元軟件MIDAS、ANSYS或SAP等.方程組及可靠性指標(biāo)的求解可利用MATLAB進(jìn)行編程得到.

1.1 非概率響應(yīng)面法

目前，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠性評估的響應(yīng)面研究與應(yīng)用主要集中在隨機(jī)變量，而區(qū)間變量不同于隨機(jī)變量，因此，不能用隨機(jī)變量的響應(yīng)面法進(jìn)行可靠性分析.江濤[6]等將RSM的思想與基于區(qū)間變量的非概率可靠性模型結(jié)合，提出了一種基于區(qū)間模型的非概率響應(yīng)面法，該法能很好地解決極限狀態(tài)方程沒有解析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)非概率可靠性問題，是目前解決此類結(jié)構(gòu)的一種有效方法.但該算法存在兩個問題：一是該模型選擇的含一次項(xiàng)及和二次交叉項(xiàng)函數(shù)，當(dāng)變量較大時(shí)，計(jì)算量非常大；二是樣本點(diǎn)數(shù)量的選擇不明確，從而對其結(jié)果無法驗(yàn)證.本節(jié)在已有的研究基礎(chǔ)上，構(gòu)造出一種基于響應(yīng)面法和改進(jìn)一維優(yōu)化算法相結(jié)合的非概率響應(yīng)面法.

對n個區(qū)間變量x1,x2,...,xn的情況，二次多項(xiàng)式表達(dá)為同公式(1).應(yīng)用響應(yīng)面法構(gòu)造一函數(shù)來近似模擬真實(shí)功能函數(shù)，再利用改進(jìn)一維優(yōu)化算法[8]進(jìn)行非概率可靠性分析的步驟如下：

a. 選取2n+1組初始點(diǎn)x10,x20,...,xn0和x10±x1r,x20±x2r, …,xn0±xnr，其中x10,x20,...,xn0為區(qū)間變量中值，xir為xi0的離差，利用結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值分析方法求得2n+1個功能函數(shù)值g.

b. 求解線性方程組(1)式，得到2n+ 1個待定系數(shù)a，bi，ci(i= 1,2，…,n)，從而得到由二次多項(xiàng)式表示的響應(yīng)面函數(shù)M0=g(x0)(初始響應(yīng)面函數(shù)).

d. 令初始響應(yīng)面函數(shù)G(δ)=0，利用改進(jìn)一維優(yōu)化算法求解非概率可靠性指標(biāo)η*(k)，其中k=0, 1,…為迭代步數(shù)[11].

e. 利用上步求得的η*(k)，確定新的驗(yàn)算點(diǎn).在改進(jìn)一維優(yōu)化算法確定單調(diào)性的基礎(chǔ)上：若

f. 選取2n+1組驗(yàn)算點(diǎn)x1k+1,x2k+1,...,xnk+1和x1k+1±m(xù)fx1k+1,x2k+1±m(xù)fx2k+1,...,xnk+1±m(xù)fxnk+1，其中f對應(yīng)的各變量變異系數(shù)，m為離差控制系數(shù)，在迭代計(jì)算中，第一個迭代步(k=1)時(shí)m=1/2，以后(k>1)取m=1/4,利用結(jié)構(gòu)有限元數(shù)值分析方法求得2n+1個功能函數(shù)值g，求解線性方程組(1)式，得到第k個迭代步的 2n+1個待定系數(shù)a，bi，ci(i= 1, 2，…,n)，從而得到第k個迭代步的響應(yīng)面函數(shù)Mk=g(xk).

g. 重復(fù)第d～f步，進(jìn)行非概率可靠性指標(biāo)的求解，直到滿足收斂條件：│Mk│<ε│M0│和│η*(k)-η*(k-1)│<ε│η*(k-1)│，迭代終止，取非概率可靠性指標(biāo)η=η*(k)，其中ε為容許誤差極限值，本文中ε按10-4取值，若收斂條件不滿足，迭代兩次后，用線性插值得新非概率可靠性指標(biāo)：

(2)

以加速迭代過程.

1.2 程序?qū)崿F(xiàn)

在求得近似功能方程后，可借助現(xiàn)有編程軟件MATLAB進(jìn)行求解，現(xiàn)對程序中主要問題進(jìn)行闡述.上述步驟中除判斷函數(shù)的單調(diào)性外，其它都容易實(shí)現(xiàn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性需進(jìn)行自編程，現(xiàn)闡述其主要思路及證明.

將式(1)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化得：

(3)

對δi求一階偏導(dǎo)得：

(4)

由于式(4)中存在變量，不易用程序判斷其正負(fù).因此，對式(4)再求導(dǎo)，得：

(5)

2 算例分析

如圖1所示懸臂梁[6]，梁長L=1 m，梁高h(yuǎn)=0.2 m，梁寬b=0.1 m，繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz=6.67×10-5m4，彈性模量E∈[21×1011，2.3×1011]N/m2.y軸方向集中荷載P∈[800，1 000]Pa.自由端容許撓度fcr∈[2.4×10-5，2.6×10-5] m.假定自由端撓度輸出f>fcr時(shí)，結(jié)構(gòu)發(fā)生失效.用本文所提非概率響應(yīng)面法和失效點(diǎn)尋優(yōu)法求結(jié)構(gòu)的非概率可靠性指標(biāo)η.

建模過程：將長1 m的懸臂梁劃分10個單元，一端固結(jié)，即6個變量都約束，梁高和梁寬為一定值，代入不同的E和P值，有限元分析得到自由端不同的撓度值f.構(gòu)造響應(yīng)面方程z=f-fcr，按照1.1節(jié)介紹的計(jì)算步驟，采用非概率響應(yīng)面法得到的結(jié)果見表1.

圖1 懸臂梁受力圖Fig.1 Force diagram of cantilever beam

表1 非概率響應(yīng)面法Table 1 Non-probabilistic response surface method

表1中從第3次開始是前兩次的內(nèi)插值.

從表1可知，非概率響應(yīng)面法得到的非概率可靠性指標(biāo)η=1.044 768，為了驗(yàn)證結(jié)果的正確性和有效性，分別與文獻(xiàn)[6]采用的方法和解析法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對比，見表2.

表2 各種計(jì)算方法比較Table 2 Comparison of different caculating method

從表2分析可得以下結(jié)論：

a. 本文提出的非概率響應(yīng)面法得到的結(jié)果很好，與解析值一致(有限位小數(shù)內(nèi))，從而驗(yàn)證了方法的有效性.

b. 非概率響應(yīng)面法雖然有限元計(jì)算的次數(shù)較文獻(xiàn)[6]多，但由于它不需進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，是傳統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)面法的擴(kuò)展，更易被接受，且其精度較文獻(xiàn)[6]高.

c. 文獻(xiàn)[6]中20樣本點(diǎn)得到的值比12樣本點(diǎn)的效果差(相對解析)，使得樣本點(diǎn)個數(shù)的選擇不明確.

d. 通過以上分析，對極限狀態(tài)方程不易確定結(jié)構(gòu)，非概率響應(yīng)面法是一種理想的算法.

3 結(jié) 語

對于極限狀態(tài)方程沒有解析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出一種基于響應(yīng)面法和改進(jìn)一維優(yōu)化算法相結(jié)合的單循環(huán)迭代法-非概率響應(yīng)面法，并給出了相應(yīng)的計(jì)算步驟，同時(shí)，闡述了程序化的思路.通過一算例，將本文所提算法與解析法及文獻(xiàn)[6]方法進(jìn)行比較，證明了本文所提方法計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確、效率高.

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