李 瓊，孔令罔，秦實(shí)宏

(1.武漢工程大學(xué)電氣信息學(xué)院，湖北 武漢，430074；2.武漢大學(xué)電子信息學(xué)院，湖北 武漢，430079；3.武漢大學(xué)印刷與包裝系，湖北 武漢，430079)

0 引 言

實(shí)際生產(chǎn)場(chǎng)合所使用的流體密度檢測(cè)儀器主要為壓差式密度計(jì)[1]、浮子式密度計(jì)[2]等，它們的精度在1%～5%左右，對(duì)于越來(lái)越高精度的流體密度測(cè)量與分析而言，它們都存在一定的測(cè)量精度的局限性.為了滿足諸如漿氫、漿氮等特定場(chǎng)合高精度測(cè)量的需求，電容式流體密度計(jì)的設(shè)計(jì)[3-4]以及低振動(dòng)雷諾數(shù)下橫紋管內(nèi)脈沖流流動(dòng)[5]等也有研究.但電容式流體密度計(jì)對(duì)溫度及濕度非常敏感，難以適應(yīng)野外現(xiàn)場(chǎng)的惡劣環(huán)境.

在前期研究工作的基礎(chǔ)上，利用振動(dòng)管的振動(dòng)頻率與被測(cè)介質(zhì)密度有確定函數(shù)關(guān)系的原理，設(shè)計(jì)了一種新型的基于振動(dòng)測(cè)量的流體密度計(jì).樣機(jī)實(shí)驗(yàn)表明，該新型流體密度計(jì)的測(cè)量精度遠(yuǎn)高于壓差式密度計(jì)、浮子式密度計(jì)等傳統(tǒng)測(cè)量手段，與電容式流體密度計(jì)相比較，測(cè)量精度稍低但具有非常優(yōu)越的抗惡劣環(huán)境性能.

1 梁及梁的橫向振動(dòng)方程

1989年，英國(guó)的Sultan和Hemp發(fā)表了U 形管科氏質(zhì)量流量計(jì)建模的論文[6].在下述4點(diǎn)假定的基礎(chǔ)上，將其振動(dòng)理論應(yīng)用于流體質(zhì)量流量的測(cè)量：

①測(cè)量管處于近似無(wú)阻尼振動(dòng)狀態(tài)；②測(cè)量管

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及剪切變形可忽略不計(jì)；③振動(dòng)激勵(lì)發(fā)生器質(zhì)量及測(cè)量傳感器質(zhì)量可忽略不計(jì)；④流體壓力可忽略等.

上述理論也可用于測(cè)量流體密度，基于振動(dòng)測(cè)量的流體密度計(jì)的精度很大程度上取決于振動(dòng)模型(即振動(dòng)方程)的建立.

物理上，如果一直桿在通過(guò)桿的軸線的一個(gè)縱向平面內(nèi)受到力偶，或垂直于軸線的外力作用，桿的軸線就變成一條曲線，桿的這種變形稱為彎曲變形.凡在外力作用下產(chǎn)生彎曲變形的，或者以彎曲變形為主的桿件，在結(jié)構(gòu)力學(xué)上都稱為梁.不失一般性，幾何上梁的橫截面存在一根或幾根對(duì)稱軸.由橫截面的對(duì)稱軸和梁的軸線組成縱向?qū)ΨQ面.在外力作用下，梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)出現(xiàn)平面彎曲[7].

如圖1所示的歐拉—伯努利梁，具有縱向?qū)ΨQ面的橫向微振動(dòng).在假設(shè)只有彎矩引起撓度V(x,t)，考察梁上x(chóng)處的微分dx.

圖1 梁的模型Fig.1 Model of the beam

如圖2所示，設(shè)dx微分段上梁的質(zhì)量為M，若在瞬時(shí)t梁上x(chóng)處單位體積的質(zhì)量為ρ(x)，截面積為A(x)，這時(shí)x+dx截面上中點(diǎn)的力矩平衡方程為

(1)

若略去上式的高階項(xiàng)d2x后，得到：

(2)

圖2 具有縱向?qū)ΨQ面的梁的橫向振動(dòng)Fig.2 Beam’s horizontal vibration with the vertical symmetric plane

定義E為梁的彈性模量，I為梁橫截面慣性矩.由材料力學(xué)知，彎矩與由之產(chǎn)生的位移的關(guān)系可表示為

(3)

所以，微分段dx沿V方向的運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

設(shè)梁是均質(zhì)、等截面的，則有

(5)

對(duì)等截面梁，兩端固定的情況下邊界條件為

(6)

這樣，便可以得到主振型函數(shù)為

Yi(x)=

(7)

2 振動(dòng)管中流體密度的求解

在瞬時(shí)t，流體與其容器管在物理上可以視為具有不同密度的兩端固定的梁[8]；在外置激勵(lì)補(bǔ)償?shù)那疤嵯拢瑢?duì)該梁的無(wú)阻尼自由振動(dòng)進(jìn)行分析，計(jì)算其諧振頻率與內(nèi)盛流體密度之間的關(guān)系，有：

(8)

式(8)中所有變量記號(hào)的物理含義同上.

按式(8)求解不同階的諧振頻率為：

(9)

式(9)中，d與D分別為振動(dòng)管的內(nèi)外徑；ρs為振動(dòng)管材料的密度；Ck、Kk為與振動(dòng)管材料及尺寸相關(guān)的常數(shù)，Pk為常數(shù)；fk為k階諧振頻率，ρ為管內(nèi)流體的密度.

式(9)的求解參照文獻(xiàn)[10].

當(dāng)U型管傳感器制成后，D、d、ρs、Pk、l、E便確定了，所以Ck、Kk為常數(shù)，由上式得

(10)

在科氏力流體密度計(jì)初出現(xiàn)時(shí)，測(cè)量原理都是在基于以上模型的，并開(kāi)發(fā)出了高精度的小型的密度計(jì)產(chǎn)品；在進(jìn)一步研究中發(fā)現(xiàn)，該模型有進(jìn)一步完善之處，將輸送流體的管道的自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程修正為，

(11)

其中M=m+ρv，是管的單位長(zhǎng)度質(zhì)量與單位長(zhǎng)度中的流體質(zhì)量之和[9].

3 實(shí)驗(yàn)與分析

實(shí)驗(yàn)選用諧振頻率在10～100 Hz之間的雙U型振動(dòng)管(與直型管相較，彎管型起振容易，激勵(lì)功率較小，精度較高)，外形如圖3所示，采用經(jīng)鈍化的厚管壁以增強(qiáng)其抗腐蝕、耐酸堿能力.另外，采用雙管式振動(dòng)管以期具有很好的自動(dòng)平衡及補(bǔ)償功能.

硬件系統(tǒng)設(shè)計(jì)功能模塊包括單片機(jī)控制下的激勵(lì)、穩(wěn)幅反饋控制、放大整形、濾波、計(jì)數(shù)、溫度補(bǔ)償?shù)?

圖3 雙U型管外形圖Fig.3 Double U type structure

在振動(dòng)管的振動(dòng)試驗(yàn)、傳感器承壓試驗(yàn)、傳感器的溫度試驗(yàn)、電路模擬試驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)行樣機(jī)標(biāo)定和誤差分析[10].實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示.

表1 密度誤差分析數(shù)據(jù)表

注：ε(ρ)為擬合密度與真密度之差.

表1中，ρ為標(biāo)定的密度(視為真密度)，ρ*為最小二乘法擬合出的密度值，ε(ρ)為擬合密度與真密度之差.由表1可知其所測(cè)得密度的最大相對(duì)誤差為0.171 %.可見(jiàn)該流體密度計(jì)的系統(tǒng)誤差已優(yōu)于0.2 %，其精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于壓差式密度計(jì)、浮子式密度計(jì).

另外，該流體密度計(jì)具有較廣的適用范圍和極高的穩(wěn)定性.

4 結(jié) 語(yǔ)

流體密度測(cè)量是現(xiàn)代石油、化工等規(guī)模生產(chǎn)諸多工藝環(huán)節(jié)中進(jìn)行相關(guān)流體監(jiān)測(cè)和控制的主要手段之一，但由于其測(cè)量機(jī)理和抗惡劣環(huán)境等因素的制約，目前在上述領(lǐng)域的野外作業(yè)中所使用的測(cè)量系統(tǒng)規(guī)范存在精度不足現(xiàn)象.鑒于此，在梁振動(dòng)模型分析的基礎(chǔ)上，建立振動(dòng)頻率與被測(cè)介質(zhì)密度的函數(shù)關(guān)系；進(jìn)一步設(shè)計(jì)并開(kāi)發(fā)出基于振動(dòng)管的流體密度計(jì).樣機(jī)實(shí)驗(yàn)表明，其最大測(cè)量相對(duì)誤差為0.171 %，精度高出當(dāng)前野外常用流體密度計(jì)一個(gè)數(shù)量級(jí).

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