項(xiàng)立銀，陳 楊

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 210003)

0 引言

網(wǎng)格劃分是有限元計(jì)算的基礎(chǔ)，高質(zhì)量的網(wǎng)格對(duì)有限元計(jì)算的結(jié)果至關(guān)重要。數(shù)值計(jì)算中采用的網(wǎng)格通常可以分為兩類，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格與非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格［1］。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格是指網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)都具有相同數(shù)目的毗鄰單元，具有所需單元數(shù)量少、計(jì)算速度快、計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)，但適應(yīng)性差，適用于形狀規(guī)則的幾何體;非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格是指網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的內(nèi)部點(diǎn)不具有相同的毗鄰單元，即與網(wǎng)格剖分區(qū)域內(nèi)的不同內(nèi)點(diǎn)相連的網(wǎng)格數(shù)目不同。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格消除了結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)性限制，節(jié)點(diǎn)和單元的分布可控性好，因而能較好地處理邊界。適用于模擬真實(shí)復(fù)雜外型，但收斂特性較差，計(jì)算精度低。

為了兼顧有限元計(jì)算對(duì)精度和效率的要求，本文將結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分技術(shù)融合起來(lái)。對(duì)于大型的三維模型，其相對(duì)規(guī)則部分用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分，不規(guī)則部分用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分。通過(guò)網(wǎng)格拓?fù)滢D(zhuǎn)化技術(shù)將交界面處的四面體網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格來(lái)滿足拓?fù)湟恢拢瑢?shí)現(xiàn)網(wǎng)格連接，生成高質(zhì)量的有限元計(jì)算網(wǎng)格。

1 方法原理

工程或物理學(xué)中的許多問(wèn)題通常是以未知函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程和邊界條件的形式提出來(lái)的，可以一般地表示為未知函數(shù)u 應(yīng)滿足微分方程組［2-3］:

同時(shí)，未知函數(shù)u 還應(yīng)滿足邊界條件:

其中，Ω為域，Γ為域Ω的邊界。

假如邊界條件(2）同時(shí)滿足邊界上的每一點(diǎn)，則等效積分方程

在求解域Ω中，若場(chǎng)函數(shù)u 是精確解，則在域Ω中任一點(diǎn)都滿足微分方程(1），同時(shí)在邊界Γ 上任一點(diǎn)都滿足邊界條件(2），此時(shí)等效積分形式(3）必然得到嚴(yán)格滿足。但是，對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此需要找到具有一定精度的近似解。

假設(shè)u 可以采用近似函數(shù)來(lái)表示，一般形式為

其中，ai是待定參數(shù)，Ni為已知形函數(shù)。

對(duì)于三維力學(xué)問(wèn)題，可取近似解:

顯然，在通常n 取有限項(xiàng)數(shù)的情況下近似解是不能精確滿足(1）和(2）的，形函數(shù)Ni的項(xiàng)數(shù)n 越多，近似解的精度將越高。對(duì)于三維力學(xué)問(wèn)題，四面體的形函數(shù)n=4，六面體的形函數(shù)n=6，顯然在相同條件下六面體的計(jì)算精度要高于四面體。

有限元計(jì)算的精度和效率一直是一對(duì)矛盾體。采用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以自動(dòng)化分，但計(jì)算精度低，有時(shí)為了得到較精確結(jié)果而細(xì)化網(wǎng)格，計(jì)算量又太大甚至導(dǎo)致現(xiàn)有計(jì)算機(jī)無(wú)法計(jì)算。采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格計(jì)算精度高，但現(xiàn)有軟件通常不能自動(dòng)劃分，需要用戶手動(dòng)參與，對(duì)幾何體進(jìn)行分割等操作［4］。對(duì)于一些特別復(fù)雜的模型，即便人工參與劃分網(wǎng)格，要將三維模型切割成幾十甚至上百塊，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格難以實(shí)現(xiàn)。

為了取長(zhǎng)補(bǔ)短，充分利用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的各自優(yōu)勢(shì)，在網(wǎng)格劃分的時(shí)候把幾何拓?fù)湎鄬?duì)規(guī)則的部分化成六面體網(wǎng)格，而把相對(duì)復(fù)雜的部分化成四面體網(wǎng)格，但六面體網(wǎng)格無(wú)法向四面體網(wǎng)格自由過(guò)渡。本文采用網(wǎng)格拓?fù)滢D(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格連接，將六面體網(wǎng)格的交界面四邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格來(lái)滿足連接拓?fù)湟恢拢ㄟ^(guò)將轉(zhuǎn)化而來(lái)的三角形網(wǎng)格作為網(wǎng)格邊界實(shí)現(xiàn)連接面的節(jié)點(diǎn)匹配，最終生成期望的高質(zhì)量網(wǎng)格。

2 算例

2.1 網(wǎng)格劃分方法

以一簡(jiǎn)單例子說(shuō)明本文的網(wǎng)格劃分方法。如圖1所示，將模型分為兩個(gè)區(qū)域(六面體網(wǎng)格區(qū)域和四面體網(wǎng)格區(qū)域），首先進(jìn)行六面體網(wǎng)格區(qū)域的網(wǎng)格劃分，并將圖示交界面區(qū)域的四邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格，以轉(zhuǎn)化的三角形網(wǎng)格作為四面體網(wǎng)格劃分的邊界條件，進(jìn)行四面體網(wǎng)格劃分［5］。從最終的網(wǎng)格模型可以看出，在交界處這兩類的網(wǎng)格匹配得相當(dāng)好。

圖1 網(wǎng)格劃分方法示意

2.2 模型介紹

為了驗(yàn)證上述方法的可行性與有效性，選取某通用機(jī)柜對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分析。如圖2所示，該機(jī)柜總體尺寸較大，高度達(dá)到了1510 mm，而兩側(cè)壁較薄，僅為4 mm。但兩側(cè)壁幾何相對(duì)規(guī)則，而頂部和底部幾何形狀復(fù)雜，小特征較多。

圖2 通用機(jī)柜三維模型

2.3 有限元模型

分析機(jī)柜的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以看出，機(jī)柜主體中間兩側(cè)壁部分形狀較為規(guī)則，頂部和底部幾何形狀復(fù)雜。若全部采用非結(jié)構(gòu)化四面體網(wǎng)格劃分，能較好地處理頂部和底部復(fù)雜的邊界，但單元數(shù)較多，達(dá)到了47204個(gè)單元，15778個(gè)節(jié)點(diǎn);若全部采用結(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格劃分，單元數(shù)較少，兩側(cè)壁較容易實(shí)現(xiàn)但頂部和底部幾何過(guò)于復(fù)雜，難以實(shí)現(xiàn)。因此，本文提出結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化相融合的網(wǎng)格對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格剖分。首先，對(duì)兩側(cè)壁進(jìn)行六面體網(wǎng)格劃分，并將交界面區(qū)域的四邊形網(wǎng)格轉(zhuǎn)化成三角形網(wǎng)格，以轉(zhuǎn)化的三角形網(wǎng)格作為頂部和底部網(wǎng)格劃分的邊界條件，進(jìn)行四面體網(wǎng)格劃分。圖3左側(cè)為純四面體網(wǎng)格模型，右側(cè)為融合網(wǎng)格模型，共劃分了28037個(gè)單元，18086個(gè)節(jié)點(diǎn)。

圖3 機(jī)柜兩種網(wǎng)格劃分對(duì)比

2.4 仿真結(jié)果

仿真計(jì)算的約束條件與試驗(yàn)安裝狀態(tài)一致，約束機(jī)柜底部3個(gè)方向的平動(dòng)自由度與轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，對(duì)四面體網(wǎng)格模型和融合網(wǎng)格模型進(jìn)行模態(tài)分析，四面體網(wǎng)格模型的一階模態(tài)為37.13 Hz，振型如圖4所示。融合網(wǎng)格模型的一階模態(tài)為24.87 Hz，振型如圖5所示。

圖4 四面體網(wǎng)格機(jī)柜一階模態(tài)振型

圖5 融合網(wǎng)格機(jī)柜一階模態(tài)振型

2.5 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

在振動(dòng)試驗(yàn)平臺(tái)上固定機(jī)柜底部對(duì)該機(jī)柜進(jìn)行振動(dòng)實(shí)驗(yàn)。由于該實(shí)驗(yàn)平臺(tái)測(cè)量范圍的限制，故只采集了一階模態(tài)，為28 Hz，結(jié)果見(jiàn)圖6。四面體網(wǎng)格模型和融合網(wǎng)格模型一階模態(tài)仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表1。

圖6 機(jī)柜一階模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果

表1 機(jī)柜一階模態(tài)仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

從結(jié)果中可以看出，兩種網(wǎng)格劃分的機(jī)柜的一階模態(tài)振型一致，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果都存在一定的偏差，但四面體網(wǎng)格的結(jié)果誤差較大且偏大，這是由于四面體網(wǎng)格偏剛性所致;混合網(wǎng)格的結(jié)果誤差較小，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文中所述結(jié)構(gòu)化與非結(jié)構(gòu)化相結(jié)合的融合網(wǎng)格，所需單元數(shù)量少、計(jì)算速度快，采用網(wǎng)格拓?fù)滢D(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)網(wǎng)格連接，適用于形狀不規(guī)則的幾何體，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)計(jì)算精度較高，完全滿足工程仿真的需求。

［1］李揚(yáng)，唐巨山，張婷.拓?fù)溆成浞▌澐纸Y(jié)構(gòu)化六面體網(wǎng)格在水利工程方面的應(yīng)用［J］.水利與建筑工程學(xué)報(bào)，2011，9(3）:134-137.

［2］王勖成.有限單元法［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2003:14-20.

［3］朱伯芳.有限單元法原理與應(yīng)用(第3 版）［M］.北京:中國(guó)水利水電出版社，2009:127-128.

［4］劉聲，盛選禹.基于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格自動(dòng)劃分的汽車發(fā)動(dòng)機(jī)強(qiáng)度分析［J］.計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì)，2010，31(10）:2316-2319.

［5］向華平.基于邊界拓?fù)滢D(zhuǎn)化的四面體與六面體網(wǎng)格動(dòng)態(tài)連接技術(shù)［J］.安徽大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，35(2）:43-46.